11.1.1 空间几何体与斜二测画法-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间几何体的认识与斜二测画法，通过“水立方”抽象长方体的情境导入，引导学生从生活实例抽象几何体，再系统讲解斜二测画法规则（画轴、顶点、连线），结合自我诊断题构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和直观想象为核心，通过例题解析（如等腰梯形、四棱锥直观图绘制）和还原计算（梯形直观图还原求面积）培养空间观念，通性通法总结助学生掌握规律，分层作业满足不同需求，既提升学生作图与空间思维能力，也为教师提供系统教学资源。

11.1.1　空间几何体与斜二测画法 1 1.认识实际生活中各种各样的几何体（数学抽象）. 2.掌握斜二测画法的作图规则（直观想象）. 3.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图（直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　图中的国家游泳中心（又称“水立方”）可以抽象成一个几何体—— 长方体. 【问题】　你能画出一个长方体吗？ 　 　　　　　　 　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 　  　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点一　空间几何体 1. 定义：如果只考虑一个物体占有的空间 和 ，而不考虑 其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体. 2. 常见空间几何体： 形状　 大小　 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点二　用斜二测画法作平面图形的直观图的步骤 数学·必修第四册（B版） 目 录 　　提醒：对斜二测画法的理解：①“斜”：把直角坐标系xOy变为斜坐 标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），即y'轴是斜的，反映投影线是 斜的；②“二测”：平行于x轴，z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段 长度变为原来的一半，即有“两种测度”. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变. （　×　） （2）在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变. （　×　） （3）用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和 y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°. （　×　） （4）用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平 行，且长度不变. （　×　） × × × × 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的 （　　） 解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 下列几何体分别是 、 、 . 球 圆柱 圆锥 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点三　用斜二测画法作立体图形的直观图的步骤 一般地，用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下： （1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水 平平面上图形的 （保留 与 ）. （2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y 轴.过 与 的交点作z轴对应的z'轴，且z'轴垂直于 ⁠. 图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z'轴平行（或重合）的线段，且 长度 ，连接有关线段. （3）擦去有关辅助线，并把 改成虚线（或擦除）. 直观图　 x'轴　 y'轴　 x'轴　 y'轴　 x'轴　 不变　 被面遮挡住的线段　 数学·必修第四册（B版） 目 录 【想一想】 空间几何体的直观图中实、虚线表示什么意思？ 提示：在用斜二测画法画立体图形时，实线表示看得见的部分，虚线表示 看不见（被遮挡）的部分. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）画空间几何体的直观图时，为了增强立体感，被挡住的部分通常用 虚线表示. （　√　） （2）正方体的直观图仍然是正方体. （　×　） √ × 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 若把一个高为10 cm的棱柱的底面画在x'O'y'平面上，则棱柱的高应画成 （　　） A. 平行于z'轴且大小为10 cm B. 平行于z'轴且大小为5 cm C. 与z'轴成45°且大小为10 cm D. 与z'轴成45°且大小为5 cm 解析：　平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都 与原来保持一致.故选A. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜平面图形直观图的画法 【例1】　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图. 解：画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）以O'为中点在x'轴上取A'B'＝AB，在y'轴上取O'E'＝ OE，以E'为 中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD. （3）连接B'C'，D'A'，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形 ABCD的直观图. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 画平面图形直观图的技巧 （1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键， 一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点； （2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不 变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端 点，然后连接成线段. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形OBCD的直观图. 解：（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）画出相应的x'轴、y'轴，使它们相交于O'点，且∠x'O'y'＝45°，如图②所示，在x'轴上取点B'，E'，使得O'B'＝OB，O'E'＝OE；在y'轴上取点D'， 使得O'D'＝ OD；过点E'作E'C'∥y'轴， 使E'C'＝ EC. （3）连接B'C'，C'D'，并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O'B'C'D'就是所求的直观图. 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型二｜空间几何体的直观图 【例2】　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图. 解：画法：（1）画轴.画Ox 轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝ 45°（或135°），∠xOz＝ 90°，如图. （2）画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD. （3）画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高. （4）成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部 分改为虚线，得四棱锥的直观图. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 画空间图形直观图的原则 （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系O-xyz，并且把它们画成对应 的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45°（或135°），它们确定 的平面表示水平面，再作z'轴与平面x'O'y'垂直； （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段，并 且长度不变； （3）平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来的 一半； （4）平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段，并且长度不变. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD- A'B'C'D'的直观图. 解：（1）画轴.如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴 上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q 作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是 长方体ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD（如图①）. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （3）画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线 上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'（如图①）. （4）成图.顺次连接点A'，B'，C'，D'，去掉辅助线，将被遮挡的部分改 为虚线，就得到长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图（如图②）. 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型三｜直观图的还原与计算 【例3】　如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若 A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1＝ C1D1＝2，A1D1＝O'D1＝1.试画出原 四边形，并求原图形的面积. 数学·必修第四册（B版） 目 录 解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝ O'D1＝1，OC＝O'C1＝2. 在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接 BC，便得到了原图形（如图）. 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度 分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2. 所以面积为S＝ ×2＝5. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【母题探究】 （变条件）若本例中的条件变为：“如图所示的直角梯形是一平面 图形的直观图，若∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC”，求原图 形的面积. 数学·必修第四册（B版） 目 录 解：如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在 Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝ . 而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1.所以BC＝BE＋EC ＝ ＋1. 数学·必修第四册（B版） 目 录 由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形. 在原图形中，A'D'＝1，A'B'＝2，B'C'＝ ＋1，且A'D'∥B'C'，A'B'⊥B'C'，所以原 图形的面积为S＝ （A'D'＋B'C'）·A'B'＝ × ×2＝2＋ . 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 1. 直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行 于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相 应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 2. 直观图与原图面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S'，则有S'＝ S或S＝ 2 S'.利用这一公式可由原图形面积直接求其直观图面积或由直观图面积 直接求原图形面积. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A'B'C'的面积为 （　　） A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　图1，图2分别为正三角形ABC的实际图形和直观图. 由图2可知，B'C'＝BC＝a，O'A'＝ OA＝ a，在图2中作A'D'⊥B'C'于点D'，则A'D'＝ O'A'＝ a，所以S△A'B'C'＝ B'C'·A'D'＝ ×a× a＝ a2. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是（　　） A. 直角三角形的直观图仍是直角三角形 B. 梯形的直观图是平行四边形 C. 正方形的直观图是菱形 D. 平行四边形的直观图仍是平行四边形 解析：　由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标 系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB中OA边上的高 等于（　　 ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 解析：　由题意可知，OA⊥OB，且OB＝2OB'＝4，即OA边上的高为 4. 故选A. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的 坐标为（2，2），则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B'到x'轴 的距离为 ⁠. ​ 解析：画出直观图，BC对应B'C'，且B'C'＝1，∠B'C'x'＝45°，故顶点B'到x'轴的距离为 . 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知 A'O'＝O'B'＝1，B'C'＝1，则四边形ABCD的周长为 ⁠. 解析：由题设知原四边形中AB＝CD＝A'B'＝C'D'＝2且AB∥CD，所以原 四边形ABCD为平行四边形，而O'C'＝ ，则原四边形中OC＝2 ，故 AD＝BC＝ ＝3.综上，四边形ABCD的周长为AB＋CD＋AD ＋BC＝10. 10 数学·必修第四册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 如图所示，平行四边形A'B'C'D'为一个平面图形的直观图，则它的实际 形状四边形ABCD为（　　） A. 平行四边形 B. 梯形 C. 菱形 D. 矩形 解析：　因为∠D'A'B'＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又 因四边形A'B'C'D'为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 下面选项中边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是（　） √ 解析：　可分别画出各组图形的直观图（图略），观察可得C中正△ABC 的直观图不是全等三角形，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起（底面平行于水平 面），其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的 距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为（　　） A. 2 cm B. 3 cm C. 2.5 cm D. 5 cm 解析：　圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间的距离为2＋3 ＝5（cm），在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B'O' ＝C'O'＝1，A'O'＝ ，那么在△ABC中，∠ABC的大小是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 解析：根据斜二测画法，可知在△ABC中，BC＝2，AO＝ ，AO⊥BC，∴AB＝AC＝ ＝2，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 42 5. 用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角 三角形A'B'C'.已知O'是斜边B'C'的中点，且A'O'＝1，则△ABC的边BC上 的高为（　　） A. 1 B. 2 C. 2 D. 解析：因为直观图是等腰直角三角形A'B'C'，∠B'A'C'＝90°，A'O'＝1，所以A'C'＝ ，根据直观图中平行于y轴的长度变为原来的一半，所以△ABC的边BC上的高AC＝2A'C'＝2 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 6. 〔多选〕如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形 A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（　　） A. A'D'＝2 B. AB＝4 C. 四边形ABCD的面积为6 D. 四边形ABCD的周长为6＋ ＋ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：A选项，分别过点C'，D'作C'N，D'M⊥x'轴于点N，M，因为等腰梯形A'B'C'D'中A'B'＝4，C'D'＝2，所以MN＝2，A'M＝B'N＝1，又∠D'A'M＝45°，所以A'D'＝ ，A错误；B选项，由斜二测画法可知AB＝A'B'＝ 4，B正确；C选项，作出原图形，可知AD＝2A'D'＝2 ，AB＝4，CD＝2，AD⊥AB，故四边形ABCD的面积为 ＝6 ，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 D选项，过点C作CH⊥AB于点H，则AH＝CD＝2，BH＝4－2＝2，CH ＝AD＝2 ，由勾股定理得BC＝ ＝2 ，四边形ABCD 的周长为AB＋CD＋AD＋BC＝4＋2＋2 ＋2 ＝6＋2 ＋2 ，D 错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 7. 关于斜二测画法，下列说法不正确的是 ⁠. ①原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x'轴，长度不变； ②原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y'轴，长度变为原来的 ； ③画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时，∠x'O'y'必须是45°； ④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同. 解析：画与直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时，∠x'O'y'也可以是135°. ③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 8. 利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形. 以上结论中，正确的是 （填序号）. 解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系 不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平 行四边形. ①② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 9. 若平行四边形A'B'C'D'是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形 ABCD的直观图.已知A'B'＝4，∠D'A'B'＝45°，平行四边形A'B'C'D'的面积 为8，则原平面图形ABCD中AD的长度为 ⁠. 解析：如图，过点D'作D'E⊥A'B'于点E，则 △A'ED'为等腰直角三角形， 由平行四边形A'B'C'D'的面积为8得A'B'·D'E＝8， ∵A'B'＝4，∴D'E＝2，∴A'D'＝2 ， ∴原平面图形ABCD中，∠DAB＝90°，AD ＝2A'D'＝4 . 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 10. 如图，四边形A'B'C'D'是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积. 解：由已知中四边形A'B'C'D'是边长为1的正方形，又知 它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四 边形的原图形，如图所示，这是一个底边长为2，高为 的平行四边形.故原图形的面积为2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 11. 〔多选〕如图所示，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得 △A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下 列结论中正确的是（　　） A. AB＝2BC B. AD⊥BC C. AC＞AD＞AB＞BC D. AC＞AD＞AB＝BC √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　由直观图画出△ABC如图所示.其中AB＝2BC，∠ABC＝90°，所以AC＞AD＞AB＞BC. 故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 12. 已知△ABC用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形A'B'C' （如图），则△ABC中边长与△A'B'C'的边长相等的边上的高为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：由于△ABC用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形 A'B'C'，则△ABC中边长与△A'B'C'的边长相等的边为A'B'＝AB. 在 △O'A'C'中A'C'＝1，∠A'O'C'＝45°，∠C'A'B'＝60°，所以 ∠C'A'O'＝120°，由正弦定理得 ＝ ，所以O'C'＝ ＝ ，所以△ABC中AB边上的高为OC＝2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 13. 如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直 观图. 解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四 棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧 棱长为2，其直观图如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 14. 若用“斜二测画法”作出边长为2的正三角形ABC的直观图是 △A1B1C1，则△A1B1C1的重心G1到底边A1B1的距离是 ⁠. 解析：如图为正三角形ABC的直观图△A1B1C1， G1F为重心G1到底边A1B1的距离，则O1C1＝2× × ＝ ，∵G1为△A1B1C1的重心，∴O1G1＝ O1C1＝ ，∴G1F＝O1G1 sin 45°＝ × ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 15. 一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的 底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高 为3 cm，画出此机器部件的直观图. 解：（1）如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝ 45°，∠xOz＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）画圆柱的两底面的直观图.在xOy平面上画出底面圆O的直观图，使 AB为3 cm，CD为1.5 cm，在z轴上截取OO'，使OO'＝3 cm，过O'作Ox的 平行线O'x'，Oy的平行线O'y'，在x'O'y'平面上画出底面圆O'的直观图，使 A'B'＝3 cm，C'D'＝1.5 cm. （3）画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO'等于圆锥的高3 cm. （4）成图.连接A'A，B'B，PA'，PB'，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体（机器部件）的直观图，如图②. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 $