10.1.2 复数的几何意义(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

第十章　复数 10.1　复数及其几何意义 10.1.2　复数的几何意义 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学1 复平面 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 实轴 虚轴 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学2 复数的几何意义 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学3 共轭复数与复数的模 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 相等 相反数 a－bi 仍是它本身 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 模 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 学业标准 素养目标 1.理解复平面、实轴、虚轴等概念． 2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、难点) 3．掌握复数模的定义及求模公式．(重点) 1.通过学习复数的几何意义，培养直观想象核心素养． 2．借助于复数的模和共轭复数的计算，培养数学运算核心素养. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？ [提示]　一一对应． 实数与数轴上的点有什么对应关系？ [提示]　一一对应． 有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？ [提示]　一一对应． ◎结论形成 复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面．在复平面内，x轴称为_____，y轴称为_____. 平面直角坐标系中的点Z与向量eq \o(OZ,\s\up16(→))有怎样的对应关系？ [提示]　一一对应． 复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？ [提示]　能一一对应． ◎结论形成 复数的几何意义 复数z＝a＋bieq \o(←――→,\s\up17(一一对应))向量eq \o(OZ,\s\up16(→))＝(a，b)eq \o(←――→,\s\up17(一一对应))点Z(a，b). 向量eq \o(OZ,\s\up16(→))＝(a，b)的模如何计算？ [提示]　|eq \o(OZ,\s\up16(→))|＝eq \r(a2＋b2). 设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为z1，则点z1关于实轴的对称点z2所对应的复数是什么？ [提示]　a－bi. ◎结论形成 1．共轭复数 如果两个复数的实部_____，而虚部互为________，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用eq \o(z,\s\up16(－))表示，即当z＝a＋bi时，有eq \o(z,\s\up16(－))＝__________，任一实数的共轭复数_____________． 2．复数的模 (1)定义 向量eq \o(OZ,\s\up16(→))＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的___(或绝对值)，记作|z|，且|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2). (2)共轭复数的模 两个共轭复数的模相等，即|z|＝|eq \o(z,\s\up16(－))|. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数的模一定是正实数．(　　) (2)若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(　　) (3)两个复数互为共轭复数，则它们的模相等．(　　) (4)在复平面内，虚轴上的点对应的复数都是纯虚数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为(　　) A．(1，i)　　　　　 B．(1，－i) C．(1,1) D．(1，－1) 解析　复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1， 故其对应的坐标为(1，－1)． 答案　D 3．已知复数z＝3＋2i，则eq \o(z,\s\up16(－))＝_______；|z|＝_______. 解析　∵z＝3＋2i，∴eq \o(z,\s\up16(－))＝3－2i，|z|＝eq \r(32＋22)＝eq \r(13). 答案　3－2i　eq \r(13) 4．如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则|z|＝_______. 解析　由图可知eq \o(OA,\s\up16(→))对应的复数z＝2－i， 故|z|＝eq \r(22＋－12)＝eq \r(5). 答案　eq \r(5) eq \x(题型一　复数与点的对应) 求实数m分别取何值时，在复平面内，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点Z满足下列条件： (1)在x轴上方； (2)在实轴负半轴上． [解析]　(1)∵点Z在x轴上方，∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2，所以实数m的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)． (2)若复数z对应的点在实轴负半轴上，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2＝0，))解得m＝1. 求解此类问题，应根据点的位置，确定复数的实部和虚部满足的条件，然后列方程(组)或不等式(组)求解．　 [触类旁通] 1．(2024·山东聊城高一期中)复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点位于第四象限时，实数m的取值范围是(　　 ) A．(－2,7)　　　　　 B．(－2,3)∪(5,7) C．(3,5) D．(5,7) 解析　由已知复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点位于第四象限， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15>0，,m2－5m－14<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m<3或m>5，,－2<m<7，))即m∈(－2,3)∪(5,7)，故选B. 答案　B eq \x(题型二　复数与向量的对应) 四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i,2－i，－3＋i，则点D对应的复数为(　　) A．－4＋5i　　　　　　　 B．－2－3i C．6＋i D．2＋3i [解析]　A(1,3)，B(2，－1)，C(－3,1)，设D(x，y)， 因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，－4)，Deq \o(C,\s\up16(→))＝(－3－x,1－y)， 四边形ABCD是复平面内的平行四边形， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＝－3－x，,－4＝1－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝5，)) 所以点D对应的复数为－4＋5i. [答案]　A (1)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． (2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|z－z1|表示点Z到点Z1之间的距离．如|z－i|＝1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1.　 [触类旁通] 2．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i. (1)求向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))对应的复数； (2)判定△ABC的形状． 解析　(1)由复数的几何意义知， eq \o(OA,\s\up16(→))＝(1,0)，eq \o(OB,\s\up16(→))＝(2,1)，eq \o(OC,\s\up16(→))＝(－1,2)， ∴eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(1,1)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(－2,2)， eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝(－3,1)， ∴eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i. (2)∵|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(2)，|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2eq \r(2)，|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝eq \r(10)， ∴|eq \o(AB,\s\up16(→))|2＋|eq \o(AC,\s\up16(→))|2＝|eq \o(BC,\s\up16(→))|2， ∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 一题多变)eq \x(题型三　复数模的取值和范围问题　) 复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，求实数c的取值范围． [解析]　由题意知，eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－3，－4)， eq \o(AC,\s\up16(→))＝(c－3,2c－10)，因为∠BAC为钝角， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))<0，即－3(c－3)－4(2c－10)<0， 所以c>eq \f(49,11). 其中当c＝9时，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(6,8)＝－2eq \o(AB,\s\up16(→))， B，A，C三点共线，故c≠9. 所以实数c的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(49,11)，9))∪(9，＋∞)． [母题变式] 1．(变条件)若∠BAC为锐角，求实数c的取值范围． 解析　由题意知，eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－3，－4)， eq \o(AC,\s\up16(→))＝(c－3,2c－10)，因为∠BAC为锐角， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))>0， 即－3(c－3)－4(2c－10)>0，所以c<eq \f(49,11). 所以实数c的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(49,11))). 2．(变结论)在本例中，求|z3|的最小值． 解析　因为z3＝c＋(2c－6)i， 所以|z3|＝eq \r(c2＋2c－62)＝eq \r(5c2－24c＋36) ＝eq \r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(12,5)))2＋\f(36,5))， 所以当c＝eq \f(12,5)时，|z3|的最小值为eq \f(6\r(5),5). [素养聚焦]　通过对复数的几何意义以及模的应用，培养数学抽象与数学运算核心素养，渗透数形结合思想的应用． 求解关于复数模最值问题的两种方法 (1)转化为函数式求最值：将z＝x＋yi(x，y∈R)直接代入所要求的式子中去，把所要求的模用x，y的函数表示出来，转化为函数最值问题． (2)数形结合求最值：因为复数和图形有着密切的关系，可以利用这种关系把所给条件转化为图形直观地求出最大值和最小值．　 [触类旁通] 3．已知复数z1＝eq \r(3)－i及z2＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i. (1)求|z1|及|z2|的值； (2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？ 解析　(1)|z1|＝eq \r(\r(3)2＋－12)＝2，|z2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝1. (2)由(1)知1≤|z|≤2， 因为不等式|z|≥1的点的集合是圆心在原点，半径为1的圆及其外部所有点组成的集合，不等式|z|≤2的点的集合是圆心在原点，半径为2的圆及其内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示． [缜密思维提能区]　　　　　 　　　　易错辨析 复数几何意义的应用 [典例]　设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)|z|＝2；(2)2<|z|<3. [解析]　(1)因为|z|＝2，即|OZ|＝2， 所以满足|z|＝2的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图①. (2)不等式2<|z|<3可化为不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|z|>2，,|z|<3，))不等式|z|>2的解集是圆|z|＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z|<3的解集是圆|z|＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集． 因此，满足条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图②. [纠错心得] 解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决.要注意掌握复数模的几何意义常与轨迹、最值等问题相结合命题. 知识落实 技法强化 (1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系． (2)复数的模及几何意义． (3)共轭复数. (1)本节课应用了待定系数法、数形结合的思想方法． (2)注意虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小. $$