9.1.2 余弦定理-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“余弦定理”，涵盖定理推导、推论及应用。通过“山峰距离测量”情境导入，衔接勾股定理，以“新知初探-想一想-自我诊断”搭建学习支架，帮助学生从具体问题抽象出数学关系。 其亮点是按“已知两边一角、三边解三角形”等题型分类，结合通性通法总结，融入逻辑推理（定理推导）和数学运算（解题步骤）。师生可通过典例解析与跟踪训练，提升学生用数学眼光发现问题、用数学思维解决问题的能力，助力教师高效教学。

9.1.2　余弦定理 1 1.借助向量的运算，能推导余弦定理并掌握余弦定理（逻辑推理）. 2.会运用余弦定理解决三角形的一些问题（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角. 【问题】　如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小.你能根据这三个量求出AB的距离吗？ 　 　　　　　　 　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 　  　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点　余弦定理 文字 语言 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 符号 语言 a2＝ ⁠， b2＝ ⁠， c2＝ ⁠ b2＋c2－2bc cos A　 c2＋a2－2ca cos B　 a2＋b2－2ab cos C　 数学·必修第四册（B版） 目 录 推论 cos A＝ ⁠， cos B＝ ⁠， cos C＝ ⁠ 　 　 　 　　提醒：对余弦定理的理解：①适用范围：余弦定理对任意的三角形都 成立；②结构特征：“平方”“夹角”“余弦”；③揭示的规律：余弦定 理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它描述了任意 三角形中边与角的一种数量关系；④主要功能：实现三角形中边角关系的 互化. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【想一想】 1. 解三角形时利用余弦定理可解决哪几类问题？ 提示：①已知三边，求三角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和另两 个角；③已知两边和其中一边对角求第三边和另两个角. 2. 余弦定理公式c2＝a2＋b2－2ab cos C与勾股定理c2＝a2＋b2很类似，它 们之间有联系吗？ 提示：对于余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C中，若C＝90°，则有c2＝a2 ＋b2，此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况. 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 有人说：公式 cos A＝ 中，可以用b2＋c2－a2的值的符号判断 该三角形是锐角三角形，钝角三角形，还是直角三角形.你认为这种说法 对吗？ 提示：不完全对.若b2＋c2－a2＝0，则△ABC是直角三角形.若b2＋c2－a2 ＜0，则△ABC是钝角三角形，但是若b2＋c2－a2＞0，△ABC不一定是锐 角三角形，还要考虑B，C的大小. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广. （　√　） （2）已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的. （　√　） （3）在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形. （　×　） √ √ × 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 在△ABC中，符合余弦定理的是（　　） A. c2＝a2＋b2－2ab cos C B. c2＝a2－b2－2bc cos A C. b2＝a2－c2－2bc cos A D. cos C＝ 解析：由余弦定理及其推论知只有A正确.故选A. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 在△ABC中，已知a＝9，b＝2 ，C＝150°，则c＝（　　 ） A. B. 8 C. 10 D. 7 解析：　由余弦定理得c＝ ＝ ＝7 .故选D. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ ，c＝ ，则B＝ ⁠. 解析：由余弦定理，得 cos B＝ ＝ ＝－ .又∵0°＜B＜ 180°，∴B＝150°. 150° 数学·必修第四册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜已知两边及一角解三角形 【例1】　（1）在△ABC中，已知b＝60，c＝60 ，A＝ ，则a ＝ ⁠； 解析：由余弦定理得， a＝ ＝ ＝60. 60 （2）在△ABC中，若AB＝ ，AC＝5，且 cos C＝ ，则BC＝ ⁠ ⁠. 解析：由余弦定理得（ ）2＝52＋BC2－2×5×BC× ， 所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5. 4或5 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 三角形中已知的元素 解三角形的方法 两边及其夹角 先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形内角和定理求出第三个角 两边和其中一边的对角 ①先利用正弦定理求出另一条边所对角，再利用三角形内角和定理求出第三个角（这里注意对解的判断），最后用正弦定理求出第三边； ②先利用余弦定理列一元二次方程，求出第三边，再利用正弦定理求其他的两个角 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 在△ABC中，AB＝ ，AC＝2，C＝120°，则 sin A＝（　　） A. B. C. D. 解析：　∵AB＝ ，AC＝2，C＝120°，由余弦定理AB2＝BC2＋AC2 －2BC·AC cos C，得BC2＋2BC－3＝0，解得BC＝1，或BC＝－3（舍 去），∴由正弦定理可得 sin A＝ ＝ . √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝30°，a ＝8，b＝8 ，求△ABC的面积. 解：法一　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，代入数据得c2－24c＋128 ＝0，解得c＝8或c＝16. 当c＝8时，S△ABC＝16 ；当c＝16时，S△ABC＝32 . 数学·必修第四册（B版） 目 录 法二　由 ＝ ，得 sin B＝ sin A， ∴ sin B＝ sin 30°＝ . ∴B＝60°或B＝120°，∴C＝90°或C＝30°. ∴S△ABC＝ ab sin C＝ ×8×8 × sin 90°＝32 或S△ABC＝ ×8×8 × sin 30°＝16 . 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型二｜已知三边（或三边关系）解三角形 【例2】　（1）在△ABC中，a＝7，b＝4 ，c＝ ，则△ABC的最 小角为（　B　） A. B. C. D. 解析：∵c＜a，c＜b，∴角C为最小角且为锐角.由余弦定理得 cos C＝ ＝ .∵0＜C＜π，∴C＝ . B 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶ ∶2，则A＝ 　​ 　. 解析：由于a∶b∶c＝1∶ ∶2，故可设a＝x，b＝ x，c＝2x，x ＞0，∴角A为锐角.由余弦定理的推论，得 cos A＝ ＝ ＝ ，故A＝ . ​ 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 　　已知三角形的三边（或三边关系）解三角形的两种方法 （1）先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余 弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角 形的内角和定理求出第三个角； （2）利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若（a＋b－c） （a＋b＋c）＝ab，则角C＝ ⁠. 解析：由已知可得（a＋b）2－c2＝ab，即a2＋b2－c2＝－ab，∴ cos C ＝ ＝－ .∵C∈（0，π），∴C＝ . ​ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 已知AB＝2，AC＝3，BC＝4，则△ABC的面积是 ⁠. 解析：由余弦定理得 cos A＝ ＝ ＝－ .因为0＜A＜ π，所以 sin A＝ ＝ ，可得S△ABC＝ ×AB×AC× sin A＝ ×2×3× ＝ . ​ 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型三｜判断三角形的形状 【例3】　在△ABC中，若a cos B＝b cos A，试判断这个三角形的形状. 解：法一（边化角）　利用正弦定理知 sin A cos B＝ sin B cos A，即 sin A cos B－ sin B cos A＝0，故 sin （A－B）＝0，因为A，B是三角形内角， 所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形. 法二（角化边）　利用余弦定理知a× ＝b× ，因此a2 ＋c2－b2＝b2＋c2－a2， 即a＝b，故△ABC是等腰三角形. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【母题探究】 （变条件）本例条件变为“若 cos 2 ＝ ”问题不变. 解：在△ABC中，∵ cos 2 ＝ ，∴ ＝ ＋ ，∴ cos A＝ .由余 弦定理，知 ＝ ，∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC 是直角三角形. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 1. 判断三角形形状的常用方法 （1）用余弦定理将条件转化为边之间的代数关系式，利用代数变形对边 的关系进行判断； （2）用正弦定理将条件转化为角的三角函数关系式，利用三角函数变形 对角的关系进行判断. 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 判断三角形形状的常用结论 （1） cos A＝ cos B⇒A＝B； （2） cos （A－B）＝1⇒A＝B； （3） cos A＞0⇔b2＋c2－a2＞0⇔A是锐角 △ABC是锐角三角形； cos A＝0⇔b2＋c2－a2＝0⇔A是直角⇒ △ABC是直角三角形； cos A＜0⇔b2＋c2－a2＜0⇔A是钝角⇒△ABC是钝角三角形. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝a cos B＋b cos A，则△ABC的形状为（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 解析：　∵a＝a cos B＋b cos A，∴由余弦定理可得a＝a× ＋ b× ，整理可得2ac＝2c2，∴a＝c，则△ABC的形状为等腰三 角形. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型四｜余弦定理的综合应用 【例4】　已知向量m＝（0，－1），向量n＝（ cos A，2 cos 2 ），A， B，C是△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，a2＋c2－b2＝ac， a＝1，求｜m＋n｜的取值范围及｜m＋n｜最小时△ABC的周长l. 数学·必修第四册（B版） 目 录 解：∵a2＋c2－b2＝ac， ∴由余弦定理知 cos B＝ ＝ . 又∵0＜B＜π，∴B＝ ，∴A＋C＝ ，即C＝ －A. ∵m＝（0，－1），n＝ ， ∴m＋n＝（ cos A， cos C）. ∴｜m＋n｜＝ ＝ 数学·必修第四册（B版） 目 录 ＝ ＝ ＝ . ∵0＜A＜ ，∴ ＜2A＋ ＜ . ∴－1≤ cos ＜ .∴｜m＋n｜∈ . 当｜m＋n｜最小时，A＝ .∴A＝B＝C＝ ，l＝3a＝3. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 　　本例是一道余弦定理与向量、三角恒等变换相结合的综合题，解此类 问题时要注意条件的变化与已有知识的联系.如本例中首先要发现a2＋c2 －b2＝ac具备余弦定理的结构特征，进而用余弦定理求角B，然后结合向 量与三角函数有关知识正确解题. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 在△ABC中，AB＝4，E是BC边中点，线段AE长为 ，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的角平分线，则AD的长为（　　） A. B. C. 2 D. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　E是BC边中点，则 ＝ （ ＋ ），所以 ＝ （ ＋ ）2＝ （ ＋2 · ＋ ），即3＝ （16＋2×4·AC cos 120°＋AC2），解得AC＝2，BC＝ ＝ 2 ，AD是∠BAC的平分线，则 ＝ ＝ ，BD＝ ，CD＝ ， cos C＝ ＝ ＝ ，在△CAD中，AD＝ ＝ ＝ . 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝ ，b＝ 3，c＝2，则A＝（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 解析：　∵a＝ ，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得， cos A＝ ＝ ＝ ，又由A∈（0°，180°），得A＝60°. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 在△ABC中，若2 cos B sin A＝ sin C，则△ABC的形状一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 解析：　∵2 cos B sin A＝ sin C，∴2· ·a＝c，∴a＝b.故 △ABC为等腰三角形. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为 ，且b＝1，C＝ ，则c＝（　　） A. 7 B. 3 C. D. 解析：　由S△ABC＝ ab sin C＝ a×1× sin ＝ a＝ ，解得a＝3， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝32＋12－2×3×1× cos ＝7，所以 c＝ . √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边， cos B＝ ，a＝ 7，且 · ＝－21，则角C的大小为 ，△ABC的面积为 ⁠. 解析：∵ · ＝－21，∴ · ＝21， ∴ · ＝｜ ｜×｜ ｜ cos B＝ac cos B＝21. 又 cos B＝ ，∴ sin B＝ ，ac＝35. 又a＝7，∴c＝5，∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝32，∴b＝4 . 由正弦定理 ＝ ， 得 sin C＝ sin B＝ × ＝ . ∵c＜b，∴C是锐角，∴C＝45°，S△ABC＝ ab sin C＝ ×7×4 × ＝14. 45° 14 数学·必修第四册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 在△ABC中，若a＝2，b＝ ，c＝ ＋1，则A＝（　　） A. 45° B. 30° C. 135° D. 150° 解析：　在△ABC中，由余弦定理的推论，得 cos A＝ ＝ ＝ ，所以A＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝ ，b ＝3，A＝60°，则c＝（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 解析：　由a2＝c2＋b2－2cb cos A，得13＝c2＋9－2c×3× cos 60°， 即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1（舍去），故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2 ＝ac，且c＝2a，则 cos B＝（　　） A. B. C. D. 解析：　由b2＝ac，又∵c＝2a，∴b＝ a，由余弦定理，得 cos B＝ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 在△ABC中，若B＝ ，AB＝ ，BC＝3，则 sin A＝（　　） A. B. C. D. 解析：　由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC· cos ＝2＋9－ 2× ×3× ＝5，∴AC＝ .由正弦定理，得 ＝ ，∴ sin A＝ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 5. 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，若 ＝ ，（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，则△ABC的形状为（　　） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 解析：　由 ＝ 及正弦定理，得 ＝ ，所以b＝c.因为（b＋c＋ a）（b＋c－a）＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以 cos A＝ ＝ ＝ ，又0＜A＜π，所以A＝ .所以△ABC是等边三角形.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 6. 〔多选〕已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ＝3，b＝4，锐角C满足 sin C＝ ，则（　　） A. △ABC的周长为12 B. cos C＝ C. c＝ D. cos B＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：对于B，由C为锐角，且 sin C＝ ，得 cos C＝ ＝ ，B正确；对于A、C，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋16－2×3×4× ＝19，得c＝ ，则a＋b＋c＝7＋ ，A错误，C正确；对于D，由余弦定理得 cos B＝ ＝ ＝ ，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 7. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cos C＝ ，a＝ 3，b＝4，则 cos B＝ ⁠. 解析：由余弦定理 cos C＝ 可得 ＝ ，解得c＝3，所以 cos B＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 8. 在△ABC中，c cos B＝b cos C且 cos A＝ ，则 sin B＝ 　​ 　. 解析：∵c cos B＝b cos C，∴ sin C cos B＝ sin B cos C，∴ sin （B－C） ＝0，∴B＝C，又∵ cos A＝ ，∴A＝60°，∴B＝60°，∴ sin B＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 9. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程 x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝ ⁠. 解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 10. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋c cos A＝b ＋a cos C. （1）求角C的大小； 解：由题设a＋c× ＝b＋a× ，整理可得ab＝b2＋a2－c2， 所以 cos C＝ ＝ ，又0＜C＜π，故C＝ . （2）若c＝2，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长. 解：由题意 ab sin C＝ ⇒ab＝4，又c2＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab， 所以（a＋b）2＝16⇒a＋b＝4，故△ABC的周长为a＋b＋c＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 11. 〔多选〕已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下 列说法正确的是（　　） A. 若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形 B. 若a3＋b3＝c3，则△ABC是锐角三角形 C. 若A＝60°，a＝6，则△ABC面积的最大值为9 D. 若 ＋ ＜ ，则C＞ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　对于A，由a cos A＝b cos B及正弦定理得 sin A cos A＝ sin B cos B，即 sin 2A＝ sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝ ，△ABC是等腰三角形或直角三角形，A错误；对于B，由a3＋b3＝c3， 得0＜a＜c，0＜b＜c，则C是△ABC的最大内角，又c2＝ ·a2＋ ·b2＜ a2＋b2，则 cos C＝ ＞0，C为锐角，△ABC是锐角三角形，B正 确；对于C，由A＝60°，a＝6及余弦定理得36＝a2＝b2＋c2－2bc· cos 60°≥2bc－bc＝bc，因此S△ABC＝ bc sin A＝ bc≤9 ，当且仅当b ＝c时取等号，C正确；对于D，取a＝b＝2，c＝1，满足 ＋ ＜ ，而C＜A＝B，则3C＜C＋A＋B＝π，即C＜ ，D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 12. 在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2 ，则 AC＝ 　2 　； cos ∠MAC＝ 　​ 　. 解析：法一　由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2 ，及余弦定理可得BM＝ 4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.在△ABC中，由余弦定理可得AC2 ＝AB2＋BC2－2BC·AB· cos B＝4＋64－2×8×2× ＝52，所以AC＝ 2 ，所以在△AMC中，由余弦定理得 cos ∠MAC＝ ＝ ＝ . 2 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 法二　由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2 ，及余弦定理可得BM＝4，因 为M为BC的中点，所以BC＝8.过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点 D，则BD＝4，AD＝2，CD＝4 .所以在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋ AD2＝48＋4＝52，得AC＝2 .在△AMC中，由余弦定理得 cos ∠MAC ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解：∵ sin 2B＋ sin 2C＝ sin 2A＋ sin B sin C， ∴由正弦定理，得b2＋c2＝a2＋bc. ∴由余弦定理，得 cos A＝ ＝ ＝ ， 又∵0＜A＜π，∴A＝ . 13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 sin 2B＋ sin 2C＝ sin 2A＋ sin B sin C. （1）求角A的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）若2 sin B sin C＋ cos 2A＝1，判断△ABC的形状. 解：由2 sin B sin C＋ cos 2A＝1及 cos 2A＝1－2 sin 2 A， 得 sin B sin C＝ sin 2A，由正弦定理，得bc＝a2，　① 易知a2＝b2＋c2－2bc cos ，　② 由①②，得（b－c）2＝0，∴b＝c，∴△ABC为等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 14. 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，已知向 量m＝（a＋b， sin C），n＝（ a＋c， sin B－ sin A），若m∥n， 则角B＝（　　） A. B. C. D. 解析：因为m∥n，所以（a＋b）（ sin B－ sin A）＝ sin C（ a＋c）.由正弦定理，得（a＋b）（b－a）＝c（ a＋c），即a2＋c2－b2＝－ ac，由余弦定理，得 cos B＝－ ，所以B＝ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1＋S3－S2＝ ac. （1）求角B； 解：依题意S1＝ a2 sin 60°＝ a2，S2＝ b2 sin 60°＝ b2，S3＝ c2 sin 60°＝ c2， 则S1＋S3－S2＝ ac＝ a2＋ c2－ b2，即ac＝a2＋c2－b2. 由余弦定理得 cos B＝ ＝ . 因为B∈（0，π），所以B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）已知a＝4，当 取最小值时，求△ABC内切圆的半径. 解：因为a＝4，B＝ ，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝16＋c2－4c， 所以 ＝c＋ －4≥2 －4＝6，当且仅当c＝ ，即c＝5时等号 成立， 此时b2＝16＋c2－4c＝21，所以b＝ ， 则S△ABC＝ ac sin B＝ ×4×5× ＝5 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 设△ABC内切圆的半径为r，则S△ABC＝ （a＋b＋c）r，所以r＝ ＝ ， 所以△ABC内切圆的半径为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 $