8.2.1 两角和与差的余弦(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

8.2.1　两角和与差的余弦 1.cos 80°cos 35°＋sin 80°cos 55°＝（　　） A. B.－ C. D.－ 2.已知sin α＝，α∈（ ，π），则下列结论不正确的是（　　） A.cos α＝－ B.tan α＝－ C.cos（ α＋）＝－ D.cos（ α－）＝ 3.〔多选〕下列说法中，正确的是（　　） A.存在α，β的值，使cos（α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin β B.不存在无穷多个α，β的值，使cos（α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin β C.对于任意的α，β，都有cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β D.不存在α，β的值，使cos（α＋β）≠cos αcos β－sin αsin β 4.已知cos＝，则cos x＋cos＝（　　） A.－1 B.1 C. D. 5.若cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝，则tan α·tan β＝（　　） A.2 B. C.－2 D.－ 6.〔多选〕已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是（　　） A.cos（β－α）＝ B.cos（β－α）＝－ C.β－α＝ D.β－α＝－ 7.cos（－40°）cos 20°－sin（－40°）sin（－20°）＝　　　　. 8.已知α∈，且cos＝－，则sin（α＋）＝　　　　，cos α＝　　　　. 9.已知cos（ β－）＝，sin（α＋β）＝，其中0＜α＜＜β＜π.则cos（ α＋）的值为　　　　. 10.已知函数f（x）＝cos，x∈R. （1）求f的值； （2）若cos θ＝，θ∈，求f. 11.〔多选〕满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是（　　） A.α＝π，β＝π B.α＝，β＝ C.α＝，β＝ D.α＝，β＝ 12.已知cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，＜α＋β＜2π，＜α－β＜π，则cos 2α＝　　　　. 13.在平面直角坐标系中，已知角α，β的顶点都在坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，角α的终边上有一点A，坐标为（1，－1）. （1）求cos的值； （2）若角β满足下列三个条件之一. ①锐角β满足tan β＝2；②锐角β的终边在直线y＝2x上；③角β的终边与π的终边相同.请从上述三个条件中任选一个，你的选择是　　　，求cos（α－β）的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 14.若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，且0≤α＜β＜γ＜2π，则β－α＝　　　　. 15.如图，设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两点，O为坐标原点，∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈. （1）若Q，求cos的值； （2）设函数f（α）＝·，求f（α）的值域. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2　三角恒等变换 8.2.1　两角和与差的余弦 1.A　原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°＝cos（80°－35°）＝cos 45°＝. 2.D　因为sin α＝，α∈（ ，π），所以cos α＝－＝－，tan α＝＝＝－，所以cos（ α＋）＝－×－×＝－，cos（ α－）＝－×＋×＝－. 3.ACD　对于A，令α＝β＝0，则cos（α＋β）＝1，cos αcos β＋sin αsin β＝1，此时cos（α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin β，故A正确；对于B，令α＝β＝2kπ（k∈Z），cos（α＋β）＝1，cos αcos β＋sin αsin β＝1，此时cos（α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin β，故B错误；对于C，由两角差的余弦公式可知，对于任意的α和β，cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β，故C正确；对于D，不存在α，β的值，使cos（α＋β）≠cos αcos β－sin αsin β，若存在α和β，则与两角和的余弦公式矛盾，故D正确. 4.B　∵cos＝，∴cos x＋cos（x－）＝cos x＋cos x＋sin x＝（cos x＋sin x）＝cos＝×＝1. 5.B　由cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝可得则sin αsin β＝，cos αcos β＝.故tan αtan β＝＝＝. 6.AC　由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得（sin β－sin α）2＋（cos α－cos β）2＝1，∴－2cos（β－α）＝－1，∴cos（β－α）＝，∴A正确，B错误；∵α，β，γ∈，∴sin γ＝sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α＝，∴C正确，D错误. 7.　解析：原式＝cos（－40°）·cos（－20°）－sin（－40°）·sin（－20°）＝cos[－40°＋（－20°）]＝cos（－60°）＝cos 60°＝. 8.　　解析：∵α∈，∴α＋∈，∴sin（α＋）＝＝，∴cos α＝cos［（α＋）－］＝coscos＋sinsin＝×＋×＝. 9.　解析：∵0＜α＜＜β＜π，∴＜β－＜，＜α＋β＜.∵cos（ β－）＝，sin（α＋β）＝，∴sin（ β－）＝，cos（α＋β）＝－，∴cos（ α＋）＝cos［α＋β－（ β－）］＝cos（α＋β）cos（ β－）＋sin（α＋β）sin（ β－）＝－×＋×＝. 10.解：（1）f＝cos＝cos＝×＝1. （2）∵cos θ＝，θ∈， ∴sin θ＜0，∴sin θ＝－＝－＝－. ∴f＝cos ＝cos（θ－） ＝ ＝（cos θ×＋sin θ×） ＝cos θ＋sin θ＝－＝－. 11.BD　由条件cos αcos β＝－sin αsin β得cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos（α－β）＝， α＝，β＝满足题意，α＝，β＝也满足题意，故选B、D. 12.－　解析：因为cos（α＋β）＝，＜α＋β＜2π，所以sin（α＋β）＝－；因为cos（α－β）＝－，＜α－β＜π，所以sin（α－β）＝，所以cos 2α＝cos[（α＋β）＋（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）－sin（α＋β）sin（α－β）＝－. 13.解：（1）角α终边上一点A（1，－1），根据三角函数定义：r＝＝， ∴sin α＝＝－，cos α＝＝， cos＝cos αcos －sin αsin ＝×＝1. （2）若选择①，∵tan β＝＝2，∴sin β＝2cos β， 又∵sin2β＋cos2β＝1， 即（2cos β）2＋cos2β＝1，即5cos2β＝1，cos2β＝， 又∵β为锐角，∴cos β＝， sin β＝＝＝＝， ∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－. 若选择②，∵锐角β的终边在直线y＝2x上； 即角β的终边在第一象限，不妨在直线上取一点B（1，2）， 根据三角函数的定义得r＝＝， sin β＝＝，cos β＝＝， ∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－. 若选择③，∵角β的终边与π的终边相同， 又∵π＝π＝336×2π＋π， 即π与终边相同，∴β与终边相同， ∴sin β＝sin ＝－sin ＝－， cos β＝cos ＝－cos ＝－， ∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝. 14.　解析：∵cos α＋cos β＋cos γ＝sin α＋sin β＋sin γ＝0，∴cos γ＝－cos α－cos β，sin γ＝－sin α－sin β.∵sin2γ＋cos2γ＝1，∴（cos α＋cos β）2＋（sin α＋sin β）2＝1，整理得2＋2（cos αcos β＋sin αsin β）＝1，即cos αcos β＋sin αsin β＝－，∴cos（β－α）＝－.∵0≤α＜β＜2π，∴0＜β－α＜2π，∴β－α＝或①.同理可得cos（γ－β）＝－，解得γ－β＝或②.cos（γ－α）＝－，解得γ－α＝或③.∵0≤α＜β＜γ＜2π，∴由①②③可知β－α＝，γ－β＝，γ－α＝.故β－α的值为. 15.解：（1）因为Q，∠AOQ＝α， 所以sin α＝，cos α＝， 则cos＝cos α·＋sin α·＝. （2）由题意得Q（cos α，sin α），∠AOP＝， 则P， 所以·＝cos α＋sin α， 即函数f（α）＝cos α＋sin α＝cos. 由α∈，得α－∈， 所以f（α）∈. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $