8.2.2 第2课时 两角和与差的正切(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

第二课时　两角和与差的正切 1.已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（－3，－4），则tan＝（　　） A.－　　　　　　　　B.－7 C. D. 2.已知tan（ α＋）＝3，则sin αcos α＝（　　） A.－ B. C.－ D. 3.若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝（　　） A.m B.（1－m） C.（m－1） D.（m＋1） 4.已知tan α－tan β＝2－2tan αtan β，tan（α－β）＝，则tan α－tan β＝（　　） A.1 B. C. D.2 5.〔多选〕下列结果为的是（　　） A.tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35° B.（1＋tan 20°）（1＋tan 40°） C. D. 6.已知tan（α＋β）＝，tan＝，则的值为（　　） A. B. C. D. 7.已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan（α＋β）＝　　　　. 8.若tan＝－，则tan＝　　　　，tan α＝　　　　. 9.如图所示，三个相同的正方形相接，则α＋β的大小为　　　　. 10.已知tan＝2，tan β＝. （1）求tan α的值； （2）求的值. 11.已知0＜α＜π，－＜β＜，且tan α＝2，cos（α＋β）＝－，则tan β＝（　　） A.　 　B.－　 　C.　 　D.－ 12.已知tan（α＋β）＝，tan＝－2，则tan＝　　　　　　，tan（α＋2β）＝　　　　. 13.在①角α的终边经过点P（1，2）；②α∈，sin α＝；③α∈，sin α＋2cos α＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答. 问题：已知　　　　，且tan（α＋β）＝4，求tan β的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 14.已知α，β都是锐角，且tan（α＋β）＝－1，则tan α·tan β的最小值为　　　　　. 15.已知α，β∈，sin α＝，sin β＝. （1）求cos（α＋β）的值； （2）是否存在x，y∈，使得下列两个式子： ①＋y＝α＋β；②tan ·tan y＝2－同时成立？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　两角和与差的正切 1.B　由三角函数的定义可得tan α＝＝，所以tan＝＝＝－7.故选B. 2.D　由tan（ α＋）＝3得＝3，解得tan α＝，则sin αcos α＝＝＝. 3.B　由公式变形tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan α·tan β）可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°（1－tan 28°tan 32°）＝（1－m）. 4.C　因为tan（α－β）＝，所以＝，故tan α－tan β＝（1＋tan αtan β）. 因为tan α－tan β＝2－2tan αtan β，所以2－2tan αtan β＝（1＋tan αtan β），解得tan αtan β＝，则tan α－tan β＝2－2tan αtan β＝2－2×＝，故C正确. 5.AC　对选项A，因为tan 25°＋tan 35°＝tan（25°＋35°）·（1－tan 25°·tan 35°）＝－tan 25°tan 35°，所以原式＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝.对选项B，（1＋tan 20°）（1＋tan 40°）＝1＋tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝1＋（1－tan 20°tan 40°）＋tan 20°·tan 40°＝1＋－（－1）tan 20°tan 40°≠.对选项C，原式＝＝tan 60°＝.对选项D，原式＝＝. 6.B　＝tan ＝tan［（α＋β）－］ ＝ ＝＝＝，故选B. 7.1　解析：tan β＝＝＝tan，∵－α，β∈且y＝tan x在（－，）上是单调函数，∴β＝－α，∴α＋β＝，∴tan（α＋β）＝tan ＝1. 8.　－4　解析：tan＝＝＝－，解得tan α＝－4，tan＝＝＝. 9.　解析：由题图可知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，所以tan（α＋β）＝＝＝1.因为α＋β∈（0，π），所以α＋β＝. 10.解：（1）因为tan＝2，所以＝2，所以＝2，解得tan α＝. （2）原式＝ ＝ ＝＝tan（β－α） ＝＝＝. 11.A　因为0＜α＜π，tan α＝2＞0，所以0＜α＜.因为－＜β＜，所以－＜α＋β＜π.因为cos（α＋β）＝－＜0，所以＜α＋β＜π，所以sin（α＋β）＝，所以tan（α＋β）＝－，则tan β＝tan[（α＋β）－α]＝＝. 12.－8　　解析：tan ＝tan ＝ ＝＝－8.tan＝＝－2，tan β＝－，tan（α＋2β）＝＝. 13.解：选择条件①，∵角α的终边经过点P（1，2）， ∴tan α＝2，则tan（α＋β）＝＝＝4，解得tan β＝. 选择条件②，∵α∈，sin α＝，∴cos α＝＝，∴tan α＝＝， 则tan （α＋β）＝＝＝4，解得tan β＝. 选择条件③，∵α∈，sin α＋2cos α＝， 由sin2α＋cos2α＝1，则可得sin α＝，cos α＝， ∴tan α＝＝3， 则tan（α＋β）＝＝＝4，解得tan β＝. 14.3＋2　解析：∵α，β都是锐角，所以tan α＞0，tan β＞0，由tan（α＋β）＝－1＝，可得tan α＋tan β＝tan α·tan β－1，由均值不等式有tan α＋tan β≥2，所以tan α·tan β－2－1≥0，可得≥1＋或≤1－（舍），所以tan α·tan β≥3＋2，当且仅当tan α＝tan β＝1＋时，等号成立，故tan α·tan β的最小值为3＋2. 15.解：（1）∵α，β∈，sin α＝，sin β＝， ∴cos α＝，cos β＝ . ∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝. （2）∵α＋β∈（0，π），cos（α＋β）＝， ∴α＋β＝， ∴＋y＝α＋β＝. ∴tan＝＝. ∵tan ·tan y＝2－，∴tan ＋tan y＝3－. ∴tan ，tan y是方程t2－（3－）t＋2－＝0的两个根. ∵x，y∈，∴0＜tan ＜1， ∴tan ＝2－，tan y＝1. ∴＝，y＝，即存在x＝，y＝满足条件. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $