8.1.1 向量数量积的概念(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

8.1.1　向量数量积的概念 1.若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是（　　） A.e1·e2＝1　　　　 　 B.e1·e2＝－1 C.e1·e2＝±1 D.｜e1·e2｜＜1 2.在△ABC中，·＜0，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.已知向量b的模为1，且b在a方向上的投影的数量为，则a与b的夹角为（　　） A.30°　 　B.60°　 　　C.120°　　　D.150° 4.中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“兵”“马”“炮”“帅”分别位于A，B，C，D四点，则（＋）·（－）＝（　　） A.－2 B.－ C.2 D. 5.〔多选〕给出下列判断，其中正确的是（　　） A.若a2＋b2＝0，则a＝b＝0 B.已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则｜a·c｜＝｜b·c｜ C.a，b共线⇔a·b＝｜a｜｜b｜ D.｜a｜｜b｜＜a·b 6.在边长为4的菱形ABCD中∠BAD＝120°，则在方向上的投影的数量为（　　） A.2 B.－2 C.－2 D.2 7.设向量a，b满足＜a，b＞＝，且｜a｜＝2｜b｜，若c为b在向量a上的投影向量，并满足c＝λa，则λ＝　　　　. 8.定义两个向量a，b的运算“ⓧ”：aⓧb＝｜a｜｜b｜sin θ；运算“·”：a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，其中θ是a，b的夹角.若｜x｜＝2，｜y｜＝5，x·y＝6，则xⓧy＝　　　　　. 9.已知正方形ABCD的边长为1，E是边AB上的动点，则·的值为　　　　，·的最大值为　　　　. 10.已知a·b＝－9，a在b方向上投影的数量为－3，b在a方向上投影的数量为－，求a与b的夹角θ. 11.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字.宽与长的比为≈0.618的矩形叫做黄金矩形，它广泛地出现在艺术、建筑、人体和自然界中，在黄金矩形ABCD中，BC＝－1，AB＞BC，那么·的值为（　　） A.－1 B.＋1 C.4 D.2＋2 12.已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝4，且a·b＝4，则a与b的夹角为　　　　.若向量c，d满足c为单位向量，c·d＝4，＜c，d＞＝，则｜d｜＝　　　　. 13.已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61. （1）求a·b的值； （2）若a在b方向上的投影向量为c，求c·（a＋b）的值. 14.〔多选〕对于非零向量a，b，c，下列命题正确的是（　　） A.若a·b＝b·c，则a＝b B.若a⊥b，则a·b＝（a·b）2 C.若a∥b，则a在b上的投影的数量为｜a｜ D.若λ1a＋λ2b＝0（λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0），则a∥b 15.如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝2DC＝4，E为腰BC上的动点.求·的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1　向量的数量积 8.1.1　向量数量积的概念 1.C　因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同时，e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos 0°＝1；当e1，e2方向相反时，e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos 180°＝－1.综上所述，e1·e2＝±1. 2.C　因为·＝｜｜｜｜cos A＜0，所以cos A＜0.所以角A是钝角.所以△ABC是钝角三角形. 3.A　由题意知｜b｜cos θ＝cos θ＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝30°.故选A. 4.A　如图： 可知｜｜＝，｜｜＝2，＜，＞＝135°，故（＋）·（－）＝·＝2××cos 135°＝－2. 5.AB　由于a2≥0，b2≥0，所以若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故A正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以｜a·c｜＝｜b·c｜，故B正确；a，b共线⇔a·b＝±｜a｜｜b｜，所以C不正确；对于D应有｜a｜｜b｜≥a·b，所以D不正确.故选A、B. 6.C　由题意知向量和的夹角为120°，所以在方向上的投影的数量为｜｜cos 120°＝4×＝－2.故选C. 7.　解析：因为c为b在向量a上的投影向量，c＝λa，所以c＝·＝λa，又＜a，b＞＝，且｜a｜＝2｜b｜，所以λ＝＝＝. 8.8　解析：设θ为x，y的夹角，由x·y＝｜x｜｜y｜cos θ＝6得cos θ＝＝，所以sin θ＝＝，所以xⓧy＝｜x｜｜y｜sin θ＝2×5×＝8. 9.1　1　解析：如图所示，根据平面向量的数量积的定义可得·＝·＝｜｜｜｜·cos θ. 由图可知，｜｜cos θ＝｜｜，因此·＝｜｜2＝1. ·＝｜｜｜｜cos α＝｜｜cos α，而｜｜cos α就是向量在上的投影的数量， 当在上的投影的数量最大，即投影的数量为｜｜时，·取得最大值，所以·的最大值为1. 10.解：∵ ∴ 即∴ ∴cos θ＝＝＝－. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 11.C　由黄金矩形的定义，可得AB＝2.在矩形ABCD中，cos∠CAB＝，则·＝｜｜｜｜cos∠CAB＝｜｜2＝4. 12.　8　解析：设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.因为c为单位向量，所以｜c｜＝1，由向量数量积公式得c·d＝｜c｜·｜d｜·cos＜c，d＞，得4＝1×｜d｜×cos ，所以｜d｜＝8. 13.解：（1）∵（2a－3b）·（2a＋b）＝61， ∴4｜a｜2－4a·b－3｜b｜2＝61，又｜a｜＝4，｜b｜＝3， ∴64－4a·b－27＝61，则a·b＝－6. （2）∵c＝×＝－. ∴c·（a＋b）＝－b·（a＋b）＝－（a·b＋b2）＝－×（－6＋9）＝－2. 14.BD　对于选项A，若a·b＝b·c，则（a－c）·b＝0，故A错误；对于选项B，若a⊥b，所以a·b＝0，则a·b＝（a·b）2，故B正确；对于选项C，若a∥b，则a在b上的投影的数量为±｜a｜，故C错误；对于选项D，若λ1a＋λ2b＝0（λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0），推出a＝－b，由平行向量基本定理可知a∥b，故D正确.故选B、D. 15.解：如图，过E作EE'⊥AB，垂足为E'，过C作CC'⊥AB，垂足为C'. 则在上的投影为， ∴在上的投影的数量为｜｜， 由向量数量积的几何意义知·＝｜｜·｜｜＝4｜｜. ∵点E在腰BC上运动， ∴点E'在线段C'B上运动， ∴｜｜≤｜｜≤｜｜， ∴2≤｜｜≤4， ∴8≤4｜｜≤16， ∴·的取值范围是[8，16]. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $