7.3.3 余弦函数的性质与图象(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

7.3.3　余弦函数的性质与图象 1.函数y＝cos x＋｜cos x｜，x∈[0，2π]的大致图象为（　　） 2.下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（　　） A.y＝cos｜x｜　　　 　　B.y＝cos｜－x｜ C.y＝sin D.y＝－sin 3.函数y＝｜cos x｜的一个单调减区间是（　　） A. B. C. D. 4.函数y＝2sin2x＋2cos x－3的最大值为（　　） A.－1　　　B.1　　　　C.－　　　D.－5 5.〔多选〕设函数f（x）＝cos，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的一个周期可为－2π B.f（x）的图象关于直线x＝对称 C.f（x）在上单调递减 D.f（x＋π）的一个零点为x＝ 6.方程sin（ 2x＋）－cos x＝0在[0，4π]上的解的个数为（　　） A.10 B.9 C.8 D.4 7.函数ƒ（x）＝3cos（ω＞0）的最小正周期为，则ƒ（π）＝　　　　. 8.已知函数f（x）＝2cos（2x＋φ）－1的一个零点是，则｜φ｜的最小值是　　　　. 9.函数y＝Acos（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象在同一周期内有最高点，最低点，则该函数的解析式为　　　　　　. 10.（2025·淄博期末）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（ A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象 （如图所示）. （1）求函数f（x）的解析式； （2）当x∈［－，］时，求函数y＝f（x）的最大值和最小值. 11.〔多选〕对于函数f（x）＝下列说法中不正确的是（　　） A.该函数的值域是[－1，1] B.当且仅当x＝2kπ＋（k∈Z）时，函数取得最大值1 C.当且仅当x＝2kπ－（k∈Z）时，函数取得最小值－1 D.当且仅当2kπ＋π＜x＜2kπ＋（k∈Z）时，f（x）＜0 12.已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则满足条件［f（x）－f（ －）］·［f（x）－f（ ）］＞0的最小正整数x为　　　. 13.已知函数f（x）＝cos（ 2x－），x∈R. （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数f（x）在区间［－，］上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值； （3）求不等式－1≤f（x）≤1的解集. 14.重庆朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：拱桥部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合.已知桥拱部分跨度长552 m，两端引桥各长190 m，主桁最高处距离桥面89.5 m，则下列函数中，将其图象上每一点的横、纵坐标等倍扩大后所得到的图象，与朝天门长江大桥主桁形状最接近的是（　　） A.y＝0.45cos x B.y＝4.5cos x C.y＝0.9cos x D.y＝9cos x 15.已知函数f（x）＝2cos ωx（ω＞0），且函数y＝f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为. （1）求f的值； （2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x）的单调递减区间. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.3　余弦函数的性质与图象 1.D　由题意得y＝ 显然只有D合适. 2.C　y＝cos｜x｜在上是减函数，排除选项A；y＝cos｜－x｜＝cos｜x｜，排除选项B；y＝sin＝－sin ＝－cos x，是偶函数，且在（0，π）上单调递增，选项C符合题意；y＝－sin 在（0，π）上是单调递减的.故选C. 3.C　作出函数y＝｜cos x｜的图象如图所示，由图象可知，A、B都不是单调区间，D是单调增区间，C是单调减区间. 4.C　由题意，得y＝2sin2x＋2cos x－3＝2（1－cos2x）＋2cos x－3＝－2－.因为－1≤cos x≤1，所以当cos x＝时，函数有最大值－. 5.ABD　函数f（x）＝cos，则函数的周期为π的倍数，故A正确.当x＝时，f＝－1，故f（x）的图象关于直线x＝对称，故B正确.f（x）的单调递减区间为，故C错误.f＝cos＝0，故f（x＋π）的一个零点为x＝，故D正确. 6.C　方程sin（ 2x＋）－cos x＝0在[0，4π]上的解的个数，即是函数y＝sin（ 2x＋）与函数y＝cos x图象在[0，4π]上的交点个数.在同一平面直角坐标系内，作出两函数图象如下： 由图象可得，函数y＝sin（ 2x＋）的图象与函数y＝cos x的图象在[0，4π]上共8个交点，则方程sin（ 2x＋）－cos x＝0在[0，4π]上的解的个数为8. 7.－　解析：由已知＝得ω＝3， ∴ƒ（x）＝3cos， ∴ƒ（π）＝3cos＝ 3cos＝－3cos＝－. 8.　解析：函数f（x）＝2cos（2x＋φ）－1的一个零点是，则有f（ ）＝2cos（ ＋φ）－1＝0，即cos（ ＋φ）＝，则＋φ＝±＋2kπ（k∈Z），即φ＝±－＋2kπ（k∈Z），所以当φ＝－时，｜φ｜有最小值. 9.y＝4cos－1　解析：∵2A＝3－（－5）＝8，∴A＝4. ∵2b＝3＋（－5）＝－2，∴b＝－1. 又＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2. ∴y＝4cos（2x＋φ）－1. 又函数的图象过点，从而3＝4cos（2×＋φ）－1， ∴cos＝1，即＋φ＝2kπ， k∈Z，∴φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又｜φ｜＜，∴φ＝－， ∴y＝4cos－1. 10.解：（1）观察图象，得f（x）的最小正周期T＝2×［－（ －）］＝，解得ω＝2. 由f（ ）＝0，且x＝在f（x）的单调递减区间内，得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 又｜φ｜＜，则k＝0，φ＝，f（x）＝Acos（ 2x＋），由f（0）＝A＝1，得A＝2， 所以函数f（x）的解析式为f（x）＝2cos（ 2x＋）. （2）当x∈［－，］时，2x＋∈［－，］，当2x＋＝，即x＝时，f（x）min＝－1， 当2x＋＝0，即x＝－时，f（x）max＝2， 所以当x∈［－，］时，函数y＝f（x）的最大值、最小值分别为2，－1. 11.ABC　画出函数f（x）的图象（如图），由图象容易看出：该函数的值域是；当x＝2kπ＋或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；当且仅当2kπ＋π＜x＜2kπ＋，k∈Z时，f（x）＜0，可知A、B、C不正确. 12.2　解析：由图可知T＝－＝，即T＝＝π，所以ω＝2.由五点法可得2×＋φ＝，即φ＝－，所以f（x）＝2cos（ 2x－）.因为f（ －）＝2cos（ －）＝1，f（ ）＝2cos ＝0，所以由［f（x）－f（ －）］［f（x）－f（ ）］＞0可得f（x）＞1或f（x）＜0.因为f（1）＝2cos（ 2－）＜2cos（ －）＝1，所以最小正整数应该满足f（x）＜0，即cos（ 2x－）＜0，解得kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z，令k＝0，可得＜x＜，可得x的最小正整数为2. 13.解：（1）f（x）的最小正周期T＝＝＝π. 当2kπ≤2x－≤2kπ＋π，即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z时，f（x）单调递减， ∴f（x）的单调递减区间是［kπ＋，kπ＋］，k∈Z. （2）∵x∈［－，］，则2x－∈［－，］，故cos（ 2x－）∈［－，1］， ∴f（x）max＝，此时2x－＝0， 即x＝， f（x）min＝－1，此时2x－＝， 即x＝. （3）－1≤cos（ 2x－）≤1， 即－≤cos（ 2x－）≤， ∴2kπ－≤2x－≤2kπ－或2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 即kπ－≤x≤kπ或kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴不等式的解集为［－＋kπ，kπ］∪［＋kπ，kπ＋］（k∈Z）. 14.A　由题意，建立平面直角坐标系，如图所示： 则f（x）＝Acos ωx，其中A＝≈45，T＝552＋190＋190＝932≈900，若按100∶1的比例缩小，则A'＝0.45，T'＝9，ω＝≈＝，所以函数y＝0.45cosx.故选A. 15.解：（1）由题意可知＝π，故ω＝2，则f（x）＝2cos 2x，故f＝2cos ＝. （2）将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到y＝f的图象，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到y＝f的图象，故g（x）＝f（－）＝2cos＝2cos. 当2kπ≤－≤2kπ＋π（k∈Z），即4kπ＋≤x≤4kπ＋（k∈Z）时，y＝g（x）单调递减，故y＝g（x）的单调递减区间为［4kπ＋，4kπ＋］（k∈Z）. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $