7.3.1 第2课时 正弦函数的图象(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

第二课时　正弦函数的图象 1.B　由五点作图法，令2x＝0，，π，π，2π，解得x＝0，，，π，π. 2.AD　根据诱导公式，y＝sin（π－x）＝sin x，故A符合；y＝sin（2π＋x）＝sin x，故D符合. 3.C　注意图象所对应的函数值的正负，可排除选项A、D.当x∈（0，π）时，sin｜x｜＞0，而图中显然小于零，因此排除选项B.故选C. 4.B　由题意可知，f（x）＝sin x＋sin｜x｜ ＝ 作出函数f（x）的图象，如图所示，由图象可知，当x≥0时，f（x）是周期函数，当x＜0时，f（x）＝0是常数函数，故f（x）不是周期函数，故A错误；f（x）在区间［，］上单调递减，故B正确；f（x）的图象不关于直线x＝对称，故C错误；f（x）的图象不关于点（π，0）对称，故D错误.故选B. 5.AD　由三角函数的诱导公式得y＝sin（π－x）－1＝sin x－1，所以函数y＝sin（π－x）－1的图象关于直线x＝对称，关于点（π，－1）对称. 6.AC　已知函数y＝f（x）是偶函数，则f（－x）＝f（x），所以f（ －）＝f（ ）.又因为当x∈［0，］时，f（x）＝2sin x，那么f（ ）＝2sin＝2×＝，所以f（ －）＝，A正确.由于函数周期为π，则f（ ）＝f（ －2π）＝f（ －）.因为函数是偶函数，所以f（ －）＝f（ ）.当x∈［0，］时，f（x）＝2sin x，那么f（ ）＝2sin＝2×＝≠1，B错误.当x∈［－，0）时，－x∈（ 0，］.因为函数是偶函数，所以f（x）＝f（－x），已知当x∈［0，］时，f（x）＝2sin x，那么f（x）＝f（－x）＝2sin（－x）＝－2sin x，C正确.当x∈［，3π）时，x－3π∈［－，0）.因为函数周期为π，所以f（x）＝f（x－3π）.由前面C选项可知当x∈［－，0）时，f（x）＝－2sin x，那么f（x）＝f（x－3π）＝－2sin（x－3π）＝－2sin（x－π）＝2sin x≠－2cos x，D错误. 7.［，1）　解析：画出y＝sin x，x∈［，π］的图象，如图所示.当≤a＜1时，直线y＝a与y＝sin x，x∈［，π］的图象交于两点，故≤a＜1. 8.　解析：画出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象如下： 因为sin＝， 所以sin＝－， sin＝－. 即在[0，2π]内，满足sin x＝－的是x＝或x＝. 可知不等式sin x＜－的解集是. 9.a＜b＜c 　解析： 因为a＋sin a＝1，a＝1－sin a，0＜a＜，所以0＜a＜1.因为b＋sin b＝2，b＝2－sin b，0＜b＜，所以1＜b＜，a＜b.因为当0＜x＜时，函数y＝x＋sin x与函数y＝x＋sin x都是单调递增函数，结合两者图象（图略）可得，前者的图象在后者的上方，所以b＜c.综上所述，a＜b＜c. 10.解：按五个关键点列表 x －π － 0 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x 1 3 1 －1 1 描点连线得： （1）由图象可知函数y＝1－2sin x在y＝1上方的部分y＞1，在y＝1下方的部分y＜1， 所以当x∈（－π，0）时，y＞1，当x∈（0，π）时，y＜1. （2）如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1， 所以a的取值范围是{a｜1＜a＜3或－1＜a＜1}. （3）由图象可知ymax＝3，此时x＝－； ymin＝－1，此时x＝. 11.AD　函数f（x）＝sin x的最小正周期为2π；对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z；对称中心为（kπ，0），k∈Z；单调增区间为［2kπ－，2kπ＋］，k∈Z.则A正确，B错误，C错误，D正确.故选A、D. 12.D　由f（x）＝0，得（mx－1）2＝sin x＋m， 在同一坐标系内作出函数g（x）＝（mx－1）2＝m2（ x－）2与函数h（x）＝sin x＋m的大致图象，当0＜m≤1时，≥1，如图，当x∈［0，］时，y＝g（x）与y＝h（x）的图象有一个交点，符合题意；当m＞1时，0＜＜1，如图，当x∈［0，］时，要使y＝g（x）与y＝h（x）的图象有一个交点，当且仅当g（ ）≥h（ ），即（ －1）2≥sin＋m，而m＞0，解得m≥.综上，正实数m的取值范围为（0，1]∪［，＋∞）. 13.证明：（1）令f（x）＝sin x，f（3π－x）＝sin（3π－x）＝sin x， ∴f（3π－x）＝f（x），令t＝－x，则x＝－t， ∴f＝f， 即f＝f，∴f（x）＝sin x关于x＝对称. （2）令f（x）＝sin x.∴f（2π－x）＝sin（2π－x）＝－sin x， ∴f（2π－x）＝－f（x），令t＝π－x，则x＝π－t， ∴f[2π－（π－t）]＝－f（π－t），即f（π＋t）＝－f（π－t）， ∴f（x）＝sin x关于点（π，0）对称. 14.C　数形结合，如图所示，y＝2sin x，x∈的图象与直线y＝2围成的封闭平面图形的面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π. 15.解：（1）f（x）＝ 图象如图， 由图象可知f（x）的递增区间为［，π］，［，2π］； f（x）的递减区间为，. （2）由图象可知： 当k＞0或k＜－3时，直线y＝k与函数f（x）有0个交点，故g（x）没有零点； 当k＝－3时，直线y＝k与函数f（x）有1个交点，故g（x）有1个零点； 当－3＜k＜－1时，直线y＝k与函数f（x）有2个交点，故g（x）有2个零点； 当k＝0或k＝－1时，直线y＝k与函数f（x）有3个交点，故g（x）有3个零点； 当－1＜k＜0时，直线y＝k与函数f（x）有4个交点，故g（x）有4个零点. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　正弦函数的图象 1.用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A.0，，π，π，2π B.0，，，π，π C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，，π 2.〔多选〕下列函数图象相同的是（　　） A.y＝sin x与y＝sin（π－x） B.y＝sin与y＝sin C.y＝sin x与y＝sin（－x） D.y＝sin（2π＋x）与y＝sin x 3.与图中曲线（部分）对应的函数解析式是（　　） A.y＝｜sin x｜ B.y＝sin｜x｜ C.y＝－sin｜x｜ D.y＝－｜sin x｜ 4.已知函数f（x）＝sin x＋sin｜x｜，则（　　） A.f（x）是周期函数 B.f（x）在区间［，］上单调递减 C.f（x）的图象关于直线x＝对称 D.f（x）的图象关于点（π，0）对称 5.〔多选〕函数y＝sin（π－x）－1的图象（　　） A.关于直线x＝对称 B.关于直线x＝π对称 C.关于原点对称 D.关于点（π，－1）对称 6.〔多选〕已知函数y＝f（x）是定义在R上且周期为π的偶函数，当x∈［0，］时，f（x）＝2sin x，则下列结论正确的有（　　） A.f（ －）＝ B.f（ ）＝1 C.当x∈［－，0）时，f（x）＝－2sin x D.当x∈［，3π）时，f（x）＝－2cos x 7.如果关于x的方程sin x＝a在［，π］上有两个不同的解，则实数a的取值范围是　　　　. 8.在[0，2π]内，不等式sin x＜－的解集是　　　　. 9.设a，b，c依次是方程x＋sin x＝1，x＋sin x＝2，x＋sin x＝2的根，并且0＜x＜，则a，b，c的大小关系是　　　　　. 10.用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： （1）观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间： ①y＞1；②y＜1. （2）若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围； （3）求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值. 11.〔多选〕设函数f（x）＝sin x，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的一个周期为－2π B.f（x）的图象关于直线x＝0对称 C.f（x）的图象关于点对称 D.f（x）在区间上单调递增 12.已知函数f（x）＝（mx－1）2－sin x－m在［0，］上只有一个零点，则正实数m的取值范围为（　　） A.（0，1] B.（0，1]∪［，＋∞） C.（0，1]∪［，＋∞） D.（0，1]∪［，＋∞） 13.（1）利用sin（3π－x）＝sin x，证明正弦曲线关于x＝对称； （2）利用sin（2π－x）＝－sin x，证明正弦曲线关于点（π，0）对称. 14.已知函数y＝2sin x的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为（　　） A.4 B.8 C.4π D.2π 15.已知函数f（x）＝sin x－2｜sin x｜，x∈[0，2π]. （1）作出函数f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间； （2）讨论g（x）＝sin x－2｜sin x｜－k，x∈[0，2π]的零点个数，并求此时k的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $