7.2.3 同角三角函数的基本关系式(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 1.B　原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3. 2.D　因为sin α＝－，且α为第四象限角，所以cos α＝，所以tan α＝－. 3.C　∵sin θ＝，cos θ＝－，∴sin2θ＋cos2θ＝＋＝1，解得a＝0或a＝4.∵θ为第二象限角，∴sin θ＞0，cos θ＜0，∴a＝4，∴sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－. 4.B　∵sin 1°＝cos 89°，sin 2°＝cos 88°，…，sin 89°＝cos 1°，故设cos289°＋cos288°＋…＋cos22°＋cos21°＝t，则2t＝89，∴t＝. 5.AD　由sin θ＋cos θ＝可得（sin θ＋cos θ）2＝，即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，所以2sin θcos θ＝－，即sin θcos θ＝－，即A正确；又θ∈（0，π），所以sin θ＞0，cos θ＜0，因此sin θ－cos θ＞0，所以sin θ－cos θ＝ ＝ ＝＝，即B错误；联立可得sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝＝＝－，即C错误；代入计算可得sin θcos θ－cos2θ＝×（ －）－（ －）2＝－－＝－，即D正确. 6.ABD　∵1＋sin θ＋cos θ·＝1＋sin θ·｜sin θ｜＋cos θ｜cos θ｜＝0.又sin2θ＋cos2θ＝1，∴即π＋2kπ≤θ≤＋2kπ（k∈Z）.故角θ不可能在第一、二、四象限. 7.二或四　解析：由＝1⇒tan α＝－1＜0，∴α在第二或第四象限. 8.　解析：∵tan θ＝，∴原式＝ ＝＝. 9.－1　π或　解析：依题意有sin θ＋cos θ＝k， ① sin θcos θ＝k＋1. ② 又∵（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ，∴k2－2k－3＝0.解得k＝3或k＝－1.∵｜sin θcos θ｜＝｜k＋1｜≤1，∴k＝－1.代入①②，得解得或又∵θ∈（0，2π），∴θ＝π或. 10.解：（1）法一 f（α）＝，因为sin α＋cos α＝， 所以（sin α＋cos α）2＝， 即2sin αcos α＝－， 从而（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝.因为0＜α＜π，sin α＞0， 又sin αcos α＜0，所以cos α＜0，因此sin α－cos α＞0， 从而sin α－cos α＝， 故f（α）＝＝. 法二 由sin α＋cos α＝及sin2α＋cos2α＝1， 解得sin α＝，cos α＝，或sin α＝，cos α＝， 因为0＜α＜π，所以sin α＝， cos α＝， 所以sin α－cos α＝，因此f（α）＝＝. （2）法一 f（α）＝＝，所以2sin α＝－4cos α， 假设cos α＝0，则由上式知sin α＝0，与sin2α＋cos2α＝1矛盾，所以cos α≠0， 从而tan α＝－2，则sin2α－3sin αcos α＝＝＝2. 法二 f（α）＝＝，所以sin α＝－2cos α， 又sin2α＋cos2α＝1，所以5cos2α＝1，即cos2α＝， 因此sin2α－3sin αcos α＝4cos2α＋6cos2α＝10cos2α＝2. 11.ABD　A正确，＝·＝2；B正确，tan θ＋＝＋＝＝2；C不正确，＝＝＝2；D正确，∵α为第一象限角，∴原式＝＋＝2.故选A、B、D. 12.　7　解析：∵tan α＋＝3， ∴＋＝3，即＝3，∴sin αcos α＝，tan2α＋＝－2tan α·＝9－2＝7. 13.解：（1）f（0）＝（1＋1）2－0＝4； f（ ）＝（ ＋）2－（ ）2×（ ）2＝－＝4； f（ ）＝（ ＋）2－12×（ ）2＝－＝4； f（ ）＝（ ＋2）2－（）2×（ ）2＝－＝4. （2）发现结论：f（x）＝（ cos x＋）2－tan2x·sin2x＝4. 下面给予证明：∀x∈R，且x≠kπ＋（k∈Z），有 f（x）＝cos2x＋2＋－·sin2x ＝cos2x＋2＋ ＝cos2x＋2＋ ＝cos2x＋2＋（1＋sin2x） ＝4. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 1.若α为第三象限角，则 ＋的值为（　　） A.3　 　　B.－3　 　　C.1　 　　D.－1 2.若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于（　　） A. B.－ C. D.－ 3.已知sin θ＝，cos θ＝－，若θ是第二象限角，则tan θ的值为（　　） A.－ B.－2 C.－ D.－ 4.化简sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的结果是（　　） A.89 B. C.45 D. 5.〔多选〕已知θ∈（0，π），且sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是（　　） A.sin θcos θ＝－ B.sin θ－cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin θcos θ－cos2θ＝－ 6.〔多选〕若1＋sin θ＋cos θ＝0成立，则角θ不可能位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.已知＝1，则α在第　　　　象限. 8.已知tan θ＝，则＝　　　. 9.已知θ∈（0，2π），且sin θ，cos θ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实数根，则实数k＝　　　　　，θ＝　　　　. 10.已知f（α）＝. （1）若sin α＋cos α＝，且0＜α＜π，求f（α）的值； （2）若f（α）＝，求sin2α－3sin αcos α的值. 11.〔多选〕下列计算或化简结果正确的是（　　） A.＝2 B.若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋＝2 C.若tan x＝，则＝1 D.若α为第一象限角，则＋＝2 12.若tan α＋＝3，则sin αcos α＝　　　　；tan2α＋＝　　　　. 13.已知函数f（x）＝（ cos x＋）2－tan2x·sin2x. （1）分别计算f（0），f（ ），f（ ）和f（ ）的值； （2）根据（1）的计算结果，你发现了什么恒等关系？并证明你的结论. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $