专题7.2.1 三角函数的定义～7.2.3同角三角函数的基本关系式（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第三册

专题7.2.1三角函数的定义~7.2.3同角三角函数的基本关系式 教学目标 1．掌握任意角三角函数的定义，能准确判断不同象限内三角函数值的符号； 2．理解单位圆与三角函数线的关联，会运用三角函数线表示三角函数； 3．熟记同角三角函数的基本关系式，能进行简单的化简、求值运算 教学重难点 重点：任意角三角函数的定义及三角函数值符号的判断方法；三角函数线的含义及同角三角函数基本关系式的应用 难点：三角函数线的几何意义及在解题中的灵活运用；同角三角函数基本关系式的变形与综合求值 知识点01 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦,记作,即 余弦 点的横坐标叫做的正弦,记作,即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数,记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中,应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和所在终边上的位置无关,而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正,三四象限负； 余弦：一四象限正,二三象限负； 正切：一三象限正,二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 【即学即练】 1．在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】到原点的距离为， 则． 故选：A． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以，即“”是“”的充分条件， 因为，所以，即“”不是“”的必要条件， 故选：A 知识点02 单位圆与三角函数线 1．单位圆与三角函数 在平面直角坐标系中,坐标满足的点构成的集合,角α的终边与单位圆相交于点,如图,则,则角α的终边与单位圆的交点为． 2．三角函数线 三角函数线：如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM,垂足为过点作单位圆的切线交的延长线(或反向延长线)于点.单位圆中的有向线段别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作 【即学即练】 1．作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线. (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）如图，有向线段DP，OD，AT分别表示的正弦线、余弦线、正切线. （2）如图，有向线段DP，OD，AT分别表示的正弦线、余弦线、正切线. 2．已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】画出图象如下图所示，由图可知，. 故选：D. 知识点03 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 【即学即练】 1．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 故选：B 2．已知为第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为第三象限角，且， 所以，且. 所以. 故选：B. 题型01 由终边上的点求三角函数值 【例1】角的终边过点，（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：D 【例2】若点在角的终边上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，点在角的终边上，即， 则， 由三角函数的定义，可得． 故选：A 【变式1-1】在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，. 故选：A. 【变式1-2】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为终边上一点， 所以由三角函数点定义得，即， 所以， 故选：C. 【变式1-3】（多选）已知角的终边与单位圆（圆心为原点）的交点为，角的终边与角的终边分别关于原点、轴、轴、直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于选项A:结合题意可得：关于原点对称的点为， 所以角的终边与单位圆的交点坐标为，则，故选项A错误； 对于选项B:结合题意可得：关于轴对称的点为， 所以角的终边与单位圆的交点坐标为，则，故选项B正确； 对于选项C:结合题意可得：关于轴对称的点为， 所以角的终边与单位圆的交点坐标为，则，故选项C正确； 对于选项D:结合题意可得：关于直线对称的点为， 所以角的终边与单位圆的交点坐标为，则，故选项D错误． 故选：BC. 求任意角的三角函数值的2种方法： 方法一：根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值. 方法二:①取点:在角的终边上任取一点,(与原点不重合); ②计算;③求值:由求值. 题型02 由三角函数值求终边上点的参数 【例3】已知，，则的终边与以原点为圆心，为半径的圆的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设交点为，则，解得， 所以交点坐标为. 故选：D 【例4】已知角的终边经过点，若，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由三角函数定义可得在第四象限， ，解得， 故的取值范围是. 故选：B 【变式2-1】已知角的终边经过点，且，则 . 【答案】 【详解】因为已知角α的终边经过点，且， 所以，显然， 解得，（舍去）， 故答案为： 【变式2-2】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上．若，则 ． 【答案】 【详解】由题意知角与角的终边关于原点对称，点在角的终边上， 则点在角的终边上， 由以及，可得； 由点在角的终边上且， 可知， 故答案为： 【变式2-3】已知角终边经过点，且．求的值． 【答案】或 【详解】∵，∴点P到原点的距离． 又，∴． ∵，∴，∴． 当时，P点坐标为， 由三角函数的定义，有，， ∴； 当时，同理可求得． 题型03 三角函数值的符号 【例5】“是第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当是第四象限角时，，则一定成立，即充分性成立； 当时，与异号，此时为第三或第四象限，即必要性不成立， 所以“是第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【例6】“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】易知“”可以推出“”，即充分性成立； 而当时，，此时推不出“”，即必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 【变式3-1】若是第四象限角，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由于是第四象限角，故， 故在第三象限， 故选：C 【变式3-2】已知角是第四象限角，且，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】因为角是第四象限角，所以， 所以，所以角是第二象限角或第四象限角． 又因为，即，所以角是第四象限角． 故选：D． 【变式3-3】（多选）下列选项中，结果为正数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由，可得，所以，所以A正确 由，可得 且，所以，， 所以B正确，C错误； 由，可得，所以，所以D错误. 故选：AB. 题型04 圆上的动点与旋转点 【例7】角终边上一点，把角按逆时针方向旋转得到角为，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】角终边上一点，逆时针方向旋转 180°后，坐标为(-1,-2), 则， 故选：D. 【例8】点从出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，以轴的非负半轴为始边， 以所在的射线为终边的最小正角为， 由任意角的三角函数的定义可得， 的坐标为，即， 故选：D. 【变式4-1】点从点出发，沿着单位圆周顺时针运动弧长到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用弧长公式出角的大小，然后利用三角函数的定义求出点的坐标. 【详解】点从出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点， ， ， 故选：C. 【变式4-2】质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设当质点Q与P第二次相遇时，用了时间，依题意有， 解得，此时质点Q转过角度为，因为是顺时针作匀速圆周运动，质点Q转在角的终边上，圆的半径为1，Q的坐标为. 故选：C 【变式4-3】角的终边与单位圆的交点位于第一象限，其横坐标为，则 ，若点沿单位圆顺时针运动到点，所经过的弧长为，则的纵坐标为 ． 【答案】 【详解】由三角函数的定义可得， 由已知可知为第一象限角，则， 将点沿单位圆顺时针运动到点，所经过的弧长为， 则点的横坐标为． 故答案为：；． 题型05 三角函数线的应用 【例9】如图，、，设角的终边与单位圆交于点，与直线交于点，其终边的反向延长线与直线交于点，过点作轴的垂线，垂足为，则角的（   ）    A．正弦线是，正切线是 B．正弦线是，正切线是 C．正弦线是，正切线是 D．正弦线是，正切线是 【答案】B 【详解】由三角函数线的几何意义可知，角的正弦线为，正切线为， 故选：B. 【例10】作出下列角的正弦线､余弦线和正切线，并求出角的正弦、余弦、正切值． 【答案】正弦线､余弦线和正切线见解析，，， 【详解】作出单位圆，交角的终边于，过作轴于点， 过点作轴，交角的终边于点，如下图所示， 则角的正弦线为，余弦线为，正切线为；    在中，， 由此可得，，所以，， 于是，，． 【变式5-1】已知角的正切线是单位长度的有向线段，那么角的终边（    ） A．在轴上 B．在直线上 C．在轴上 D．在直线或上 【答案】D 【详解】如图，角的正切线是有向线段，则， 由题意知，为等腰直角三角形， 故角的终边在上或上． 故选：D．      【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，设点的坐标为， 所以由三角函数的定义可得， 因为，即， 对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错误； 对于B、C，、在第三象限，且，则，不满足题意，故B、C错误； 对于D，在第四象限，且，则，所以，满足题意，故D正确. 故选：D. 【变式5-3】应用单位圆证明：若，则. 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，由三角函数线得：，，，    ∵， ∴， ∴，即. 题型06 同角三角函数知一求二 【例11】已知是第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是第三象限角， ， ， ． 故选：A． 【例12】若是第三象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知可得：， 代入可得， 解得或 是第三象限角，，， ， 故选：B 【变式6-1】设，则“”是“”的 （     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】判断充分性： 若，由得，，所以. 因此“”能推出“”，充分性成立； 判断必要性： 若，由得，，所以. 因此“”不能推出“”，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式6-2】已知，，则 ． 【答案】或 【详解】由，可得或， 当时，，，故； 当时，，，故. 故答案为：或 【变式6-3】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且， 所以. 故选：A （1）已知正弦（余弦），利用先求得余弦（正弦），然后利用求正切； （2）已知正切，联立公式，可直接求得正余弦 题型07 正余弦齐次式的运算 【例13】若角终边在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】角终边在直线上， ， ， ， ，故A正确． 故选：A． 【例14】已知，则 ． 【答案】 【详解】. 故答案为： 【变式7-1】设，则 【答案】/ 【详解】因为， . 故答案为：. 【变式7-2】已知，则 ． 【答案】/ 【详解】， 故答案为： 【变式7-3】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式 ， 因为， 所以. 故选：D （1）对于或的求值,将分子分母同除以或,化成关于的式子,从而达到求值的目的. （2）对于的求值,可看成分母是1,利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子,从而可以求值. 题型08 正余弦和差与积关系的应用 【例15】（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，左右同时平方得，， 由，得，故正确. 同时可知异号，且题中，所以可知，故错误. 对于选项，， 因为，，故， 所以，故正确. 对于选项，计算，需要联立，解得， 所以，故错误. 故选： 【例16】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 又，所以， 所以， 又，所以，， 所以， 故． 故选：B 【变式8-1】若，，则 . 【答案】 【详解】由题意，，① 所以，即， 则． 因为，且，所以，， 所以，② 由①②变形得， 所以． 故答案为：. 【变式8-2】设，已知，且关于的一元二次方程的两实根分别为和． (1)求的值； (2)分别求和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为为一元二次方程的两个实根， 所以. . （2）由（1）知，， 则， 即，解得； 所以，由，知， 所以， 由，所以， 所以. 【变式8-3】已知，是关于的方程的两个根，求的值． 【答案】 【详解】由题意有，所以或， 又， 则，从而或（舍去）， 因此． 所以 ， 所以. 三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 题型09 利用同角三角函数关系化简、证明 【例17】已知是钝角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为钝角，则，， 所以 ， 故， 由题意可得，解得， 故选：D. 【例18】求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. 【变式9-1】已知，且是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在区间内，，. 已知和是方程的两根， 根据韦达定理有，. 因为，所以. 又因为，所以.则. 所以， 又，即，解得. 故选：C. 【变式9-2】的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若取得最小值，则， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为. 故选：C. 【变式9-3】求证:. 【答案】证明见解析 【分析】 【详解】方法一:左边= = = = = =右边. 方法二:左边 = = = = =     =右边. 一、单选题 1．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意有， 所以. 故选：A. 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则P所在的圆弧是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点的坐标为，所以由三角函数的定义可得 ， 因为，即， 由图知，对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错； 对于B，在第三象限，且，不满足题意，故B错； 对于C，在第三象限，且，满足题意，故C正确； 对于D，在第四象限，且，不满足题意，故D错. 故选：C. 3．已知是第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是第四象限角，，所以，所以. 故选：D. 4．函数的值域的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【详解】当的终边在第一象限时， ； 当的终边在第二象限时， ； 当的终边在第三象限时， ； 当的终边在第四象限时， ； 当的终边在坐标轴上时，函数无意义． 综上，函数的值域为，所以有个真子集． 故选：D 5．在同一平面中的角和角满足“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】判断充分性：若， 根据同角基本关系式，所以， 当时，或， 当时，或， 故充分性不成立； 判断必要性：若，则， 所以，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6．在平面直角坐标系中，角均以为始边，它们的终边关于直线对称且，若角的终边与单位圆交于点，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若角的终边与角的终边关于直线对称，则角的终边与单位圆交于点， 则； 因为点在单位圆上，所以； 由，代入解得或（舍）； 因此. 故选：C. 7．如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】相遇时间为秒， 故转过的角度为， 故对应坐标为，即. 故选：C 二、多选题 8．已知角的终边过，则（   ） A．角为第二象限角 B． C． D．的值与的正负无关 【答案】BD 【详解】对于A：当时，，此时角位于第四象限，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：， 若，则； 若，则，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD. 9．的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】BD 【详解】因为， 所以且， 若在第一象限，则，故原式， 若在第二象限，则，原式， 若在第三象限，则，原式， 若在第四象限，则，原式 故选：BD 三、填空题 10．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则 【答案】/-0.6 【详解】若角的终边在第一象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时； 若角的终边在第二象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时. 故答案为： 11．已知角，的终边关于直线对称，且，则，的一组取值可以是 ． 【答案】，（答案不唯一，符合，，或，，即可） 【详解】因为角，的终边关于直线对称，所以，， 又，所以或，， 所以，， 或，， 取，时，可得，或， 所以，的一组取值可以是，. 故答案为：，. 12．在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，，则 ，的值为 . 【答案】 7 【详解】因为的横坐标分别为，， 所以，. 因为为锐角，， 所以， 因为为锐角，所以, ; 因为,,所以， 所以 . 故答案为: 7; 四、解答题 13．已知． (1)求角的集合； (2)判断的符号． 【答案】(1) (2)正号 【分析】 【详解】（1）由，知在第三、四象限或轴的非正半轴上； 由，知在第一、三象限， 故角在第三象限，其集合为． （2）由，得， 故的终边在第二、四象限． 当在第二象限时，，所以取正号； 当在第四象限时，，所以也取正号． 综上，取正号． 14．（1）已知在平面内，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边上有一个点，求α角的正弦、余弦和正切值； （2）已知，求； （3）已知，求． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 【详解】（1）由题意可知，. （2）因为，所以； （3）因为，所以， 得， 则，得，得， 15．（1）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值； （2）化简. 【答案】（1）；（2） 【分析】 【详解】（1）由题意得，，， 则； （2）由， 由于，则， 则原式. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2.1三角函数的定义~7.2.3同角三角函数的基本关系式 教学目标 1．掌握任意角三角函数的定义，能准确判断不同象限内三角函数值的符号； 2．理解单位圆与三角函数线的关联，会运用三角函数线表示三角函数； 3．熟记同角三角函数的基本关系式，能进行简单的化简、求值运算 教学重难点 重点：任意角三角函数的定义及三角函数值符号的判断方法；三角函数线的含义及同角三角函数基本关系式的应用 难点：三角函数线的几何意义及在解题中的灵活运用；同角三角函数基本关系式的变形与综合求值 知识点01 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的______叫做的正弦,记作,即 余弦 点的______叫做的正弦,记作,即 正切 把点的纵坐标与横坐标的______叫做的正切,记作,即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为______,记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中,应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和所在终边上的位置无关,而由角的______位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：______象限正,______象限负； 余弦：______象限正,______象限负； 正切：______象限正,______象限负． 简记口诀：______ 【即学即练】 1．在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点02 单位圆与三角函数线 1．单位圆与三角函数 在平面直角坐标系中,坐标满足______的点构成的集合,角α的终边与单位圆相交于点,如图,则,则角α的终边与单位圆的交点为______． 2．三角函数线 三角函数线：如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM,垂足为过点作单位圆的切线交的延长线(或反向延长线)于点.单位圆中的有向线段别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作 【即学即练】 1．作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线. (1)； (2). 2．已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 知识点03 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:______. （2）商数关系:______. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切______恒成立,而仅对______成立. 【即学即练】 1．若，则（　　） A． B． C． D． 2．已知为第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 题型01 由终边上的点求三角函数值 【例1】角的终边过点，（   ） A．2 B． C． D． 【例2】若点在角的终边上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）已知角的终边与单位圆（圆心为原点）的交点为，角的终边与角的终边分别关于原点、轴、轴、直线对称，则（    ） A． B． C． D． 求任意角的三角函数值的2种方法： 方法一：根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值. 方法二:①取点:在角的终边上任取一点,(与原点不重合); ②计算;③求值:由求值. 题型02 由三角函数值求终边上点的参数 【例3】已知，，则的终边与以原点为圆心，为半径的圆的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知角的终边经过点，若，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知角的终边经过点，且，则 . 【变式2-2】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上．若，则 ． 【变式2-3】已知角终边经过点，且．求的值． 题型03 三角函数值的符号 【例5】“是第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例6】“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】若是第四象限角，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】已知角是第四象限角，且，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式3-3】（多选）下列选项中，结果为正数的有（    ） A． B． C． D． 题型04 圆上的动点与旋转点 【例7】角终边上一点，把角按逆时针方向旋转得到角为，（    ） A． B． C． D． 【例8】点从出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】点从点出发，沿着单位圆周顺时针运动弧长到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】角的终边与单位圆的交点位于第一象限，其横坐标为，则 ，若点沿单位圆顺时针运动到点，所经过的弧长为，则的纵坐标为 ． 题型05 三角函数线的应用 【例9】如图，、，设角的终边与单位圆交于点，与直线交于点，其终边的反向延长线与直线交于点，过点作轴的垂线，垂足为，则角的（   ）    A．正弦线是，正切线是 B．正弦线是，正切线是 C．正弦线是，正切线是 D．正弦线是，正切线是 【例10】作出下列角的正弦线､余弦线和正切线，并求出角的正弦、余弦、正切值． 【变式5-1】已知角的正切线是单位长度的有向线段，那么角的终边（    ） A．在轴上 B．在直线上 C．在轴上 D．在直线或上 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（    ）    A． B． C． D． 【变式5-3】应用单位圆证明：若，则. 题型06 同角三角函数知一求二 【例11】已知是第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【例12】若是第三象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】设，则“”是“”的 （     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】已知，，则 ． 【变式6-3】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． （1）已知正弦（余弦），利用先求得余弦（正弦），然后利用求正切； （2）已知正切，联立公式，可直接求得正余弦 题型07 正余弦齐次式的运算 【例13】若角终边在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【例14】已知，则 ． 【变式7-1】设，则 【变式7-2】已知，则 ． 【变式7-3】已知，则（   ） A． B． C． D． （1）对于或的求值,将分子分母同除以或,化成关于的式子,从而达到求值的目的. （2）对于的求值,可看成分母是1,利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子,从而可以求值. 题型08 正余弦和差与积关系的应用 【例15】（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例16】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】若，，则 . 【变式8-2】设，已知，且关于的一元二次方程的两实根分别为和． (1)求的值； (2)分别求和的值． 【变式8-3】已知，是关于的方程的两个根，求的值． 三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 题型09 利用同角三角函数关系化简、证明 【例17】已知是钝角，，则（   ） A． B． C． D． 【例18】求证： (1)； (2)； (3)． 【变式9-1】已知，且是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】求证:. 一、单选题 1．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则P所在的圆弧是（   ） A． B． C． D． 3．已知是第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的值域的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 5．在同一平面中的角和角满足“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在平面直角坐标系中，角均以为始边，它们的终边关于直线对称且，若角的终边与单位圆交于点，且，则为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知角的终边过，则（   ） A．角为第二象限角 B． C． D．的值与的正负无关 9．的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 三、填空题 10．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则 11．已知角，的终边关于直线对称，且，则，的一组取值可以是 ． 12．在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，，则 ，的值为 . 四、解答题 13．已知． (1)求角的集合； (2)判断的符号． 14．（1）已知在平面内，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边上有一个点，求α角的正弦、余弦和正切值； （2）已知，求； （3）已知，求． 15．（1）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值； （2）化简. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $