7.2.2 单位圆与三角函数线(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

7.2.2　单位圆与三角函数线 1.〔多选〕下列命题正确的是（　　） A.α一定时，单位圆中的正弦线一定 B.单位圆中，有相同正弦线的角相等 C.α和α＋π有相同的正切线 D.具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上 2.〔多选〕已知的正弦线为，正切线为，则有（　　） A.与的方向相同 B.｜｜＝｜｜ C.sin ＝｜｜ D.tan ＝｜｜ 3.已知角α的正弦线的方向与y轴正方向相同，余弦线的方向与x轴正方向相反，但它们的长度相等，则（　　） A.sin α＋cos α＝0 B.sin α－cos α＝0 C.tan α＝0 D.sin α＝tan α 4.有三个命题：①与的正弦线相等；②与的正切线相等；③与的余弦线相等.其中真命题的个数为（　　） A.1　　　　B.2 C.3　　　D.0 5.设a＝sin（－1），b＝cos（－1），c＝tan（－1），则有（　　） A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜a＜b D.a＜c＜b 6.〔多选〕如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A（1，0）.已知点B（x1，y1）在圆O上，点T的坐标是（x0，sin x0），则下列说法中正确的是（　　） A.若∠AOB＝α，则＝α B.若y1＝sin x0，则x1＝x0 C.y1＝sin x0，则＝x0 D.若＝x0，则y1＝sin x0 7.使不等式cos θ＞sin θ＞tan θ成立的一个θ的值是　　　　　. 8.把sin，sin，cos，tan由小到大排列为　　　　　　　　. 9.函数y＝的定义域为　　　　. 10.利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：（1）tan α＝－1；（2）sin α＜－. 11.〔多选〕已知tan α＞tan β，那么下列命题成立的是（　　） A.若α，β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α，β是第二象限角，则sin α＜sin β C.若α，β是第三象限角，则cos α＜cos β D.若α，β是第四象限角，则sin α＞sin β 12.已知点P（sin α－cos α，tan α）在第一象限，若α∈[0，2π），则α的取值范围为　　　　. 13.已知α∈，求证：1＜sin α＋cos α＜. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.2　单位圆与三角函数线 1.AD　由三角函数线的定义A、D正确，B、C不正确.B中有相同正弦线的角可能不等，如与；C中当α＝时，α与α＋π都没有正切线. 2.ACD　三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的.sin ＝｜｜＞0，tan ＝｜｜＞0. 3.A　由题意，得sin α＞0，cos α＜0，且｜sin α｜＝｜cos α｜，所以sin α＋cos α＝0.故选A. 4.B　根据三角函数线定义可知，与的正弦线相等，与的正切线相等，与的余弦线相反. 5.C　如图，作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线，因为－＜－1＜－，所以b＝cos（－1）＞0，a＝sin（－1）＜0，c＝tan（－1）＜0，又正切线的长度大于正弦线的长度，所以a＞c，即c＜a＜b. 6.AD　由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有＝1·α＝α，所以A正确；由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是对应∠AOB的正弦值，即y1＝sin x0，所以x1是对应∠AOB的余弦值，即x1＝cos x0，所以B错误；当y1＝sin x0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误；反过来，当∠AOB＝x0，即＝x0时，y1＝sin x0一定成立，所以D正确.故选A、D. 7.（答案不唯一）　解析：结合单位圆中的正弦线、余弦线及正切线，可知当－＋2kπ＜θ＜2kπ（k∈Z）时，cos θ＞sin θ＞tan θ.故答案为（答案不唯一）. 8.cos＜sin＜sin＜tan 解析：如图所示，在平面直角坐标系中，以O为圆心作单位圆，分别作出已知角，则sin＝｜｜＞0，sin＝｜｜＞0，tan＝｜｜＞0，cos＝－｜｜＜0.而0＜｜｜＜｜｜＜｜｜，∴cos＜sin＜sin＜tan. 9.（k∈Z） 解析：要使函数有意义，有1－2sin x≥0，得sin x≤， 如图，确定正弦值为的角的终边OP与OP'，其对应的一个角分别为π，π，所求函数定义域为［2kπ＋π，2kπ＋π］（k∈Z）. 10.解：（1）如图①所示，过点（1，－1）和原点作直线交单位圆于点P和P'，则OP和OP'就是角α的终边， ∴∠xOP＝＝π－，∠xOP'＝－， ∴满足条件的所有角α的集合是 {α｜α＝－＋kπ，k∈Z}. （2）如图②所示，过点作x轴的平行线，交单位圆于点P和P'， 则sin∠xOP＝sin∠xOP'＝－， ∴∠xOP＝，∠xOP'＝， ∴满足条件的所有角α的集合是 {α｜＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}. 11.BD　对于A，若α，β是第一象限角，且tan α＞tan β，作出三角函数线，如图1所示，则cos α＝｜｜，cos β＝｜｜，所以cos α＜cos β，所以A错误；对于B，若α，β是第二象限角，且tan α＞tan β，作出三角函数线，如图2所示，则sin α＝｜｜，sin β＝｜｜， 所以sin α＜sin β，所以B正确；对于C，若α，β是第三象限角，且tan α＞tan β，作出三角函数线，如图3所示，则cos α＝－｜｜，cos β＝－｜｜，所以cos α＞cos β，所以C错误；对于D，若α，β是第四象限角，且tan α＞tan β，作出三角函数线，如图4所示，则sin α＝－｜｜，sin β＝－｜｜，所以sin α＞sin β，所以D正确. 　 12.（ ，）∪（ π，）　解析：∵点P在第一象限，∴∴结合单位圆中三角函数线及0≤α＜2π，可知＜α＜或π＜α＜.即α的取值范围为（ ，）∪（ π，）. 13.证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），过P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，M，N分别为垂足. 所以MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α， 在△OMP中，OM＋MP＞OP， 所以sin α＋cos α＞1. 因为S△OAP＝OA·MP＝y＝sin α， S△OBP＝OB·NP＝x＝cos α， S扇形OAB＝π×12＝， 又因为S△OAP＋S△OBP＜S扇形OAB， 所以sin α＋cos α＜，即sin α＋cos α＜， 所以1＜sin α＋cos α＜. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $