8.2.4 三角恒等变换的应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦三角恒等变换的应用核心知识点，系统梳理半角公式的推导过程与符号确定方法，以及积化和差、和差化积公式的推导与应用，构建从公式推导到综合计算、化简证明的学习支架，衔接已学的和差倍角公式，形成完整知识体系。 该资料以“半角全角”输入法实例引入，用数学眼光观察现实世界激发兴趣。通过“想一想”“判断正误”及例1半角公式求值、例2积化和差应用等环节，培养逻辑推理与数学运算素养。题型分层设计，课中辅助教师引导学生深化理解，课后帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

8.2.4　三角恒等变换的应用 1.了解半角公式及其推导过程，并能推导出积化和差与和差化积公式（逻辑推理）. 2.灵活运用和、差、倍角公式、积化和差与和差化积公式进行相关计算及化简、证明（数学运算）. 　　同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符. 【问题】　任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　半角公式 　：sin ＝　　　　　　； ：cos ＝　　　　　　； ：tan ＝　　　　　　＝　　　　　＝　　　　　. 【想一想】 　如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）cos ＝ .（　　） （2）存在α∈R，使得cos ＝cos α.（　　） （3）对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立.（　　） （4）若α是第一象限角，则tan ＝.（　　） 2.若cos α＝，α∈（0，π），则cos ＝（　　） A.　　　　　　　B.－ C. D.－ 3.已知sin θ＝－，3π＜θ＜π，则tan 的值为（　　） A.3 B.－3 C. D.－ 知识点二　积化和差、和差化积公式 1.积化和差公式 cos αcos β＝　　　　　　　　　　； sin αsin β＝　　　　　　　　　　； sin αcos β＝　　　　　　　　　　； cos αsin β＝　　　　　　　　　　. 2.和差化积公式 cos x＋cos y＝　　　　　　　　； cos x－cos y＝　　　　　　　　； sin x＋sin y＝　　　　　　　　； sin x－sin y＝　　　　　　　　. 【想一想】 　和差化积公式的适用条件是什么？ 1.计算sin 105°cos 75°＝（　　） A. B. C.－ D.－ 2.sincos化成和差的形式为（　　） A.sin（α＋β）＋cos（α－β） B.cos（α＋β）＋sin（α－β） C.sin（α＋β）＋sin（α－β） D.cos（α＋β）＋cos（α－β） 3.cos 2α－cos 3α化为积的形式为　　　　. 题型一｜应用半角公式求值 【例1】　已知sin α＝－，π＜α＜，求sin，cos，tan的值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 　（变条件）本例条件变为“已知cos α＝，α为第四象限角”，问题不变. 通性通法 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解； （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. 注意：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号. 【跟踪训练】 1.（1）sin＝　　　　； （2）tan＝　　　　. 2.已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，求tan的值. 题型二｜积化和差、和差化积问题 【例2】　（1）已知α满足cos 2α＝，则cos（ ＋α）·cos＝（　　） A.　　　　　　　 B. C.－ D.－ （2）sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan（α＋β）的值为　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 积化和差、和差化积公式应用时的注意事项 （1）关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数； （2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项. 【跟踪训练】 　求下列各式的值： （1）cos ＋cos －2sin cos ； （2）sin 138°－cos 12°＋sin 54°. 题型三｜积化和差、和差化积公式的应用 【例3】　已知函数f（x）＝sincos. （1）求f（x）的值域； （2）若x∈[0，2π]，求f（x）的零点. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 【跟踪训练】 1.函数y＝coscos的最大值是　　　　. 2.已知在△ABC中，cos A＋cos B＝sin C，求证：△ABC是直角三角形. 1.已知cos α＝，α∈，则sin ＝（　　） A. B.－ C. D. 2.已知sin 2α＝，则cos2＝（　　） A.－ B.－ C. D. 3.已知cos α＝，α为第四象限角，则tan的值为　　　　. 4.若cos2α－cos2β＝m，则sin（α＋β）sin（α－β）＝　　　　. 5.证明：tan －tan ＝. 提示：完成课后作业　第八章　8.2　8.2.4 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2.4　三角恒等变换的应用 【基础落实】 知识点一 　±　± 　±　　 想一想 　提示：（1）如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号； （2）若给出角α的具体范围（即某一区间）时，则先求角所在范围，然后再根据角所在象限确定符号. 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√ 2.C　由题意知∈，所以cos ＞0，cos ＝ ＝. 3.B　∵3π＜θ＜，sin θ＝－，∴cos θ＝－，tan ＝＝－3. 知识点二 1.[cos（α＋β）＋cos（α－β）]　－[cos（α＋β）－cos（α－β）] [sin（α＋β）＋sin（α－β）] [sin（α＋β）－sin（α－β）] 2.2cos cos　－2sin·sin　2sin·cos　2cos·sin 想一想 　提示：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式. 自我诊断 1.B　sin 105°cos 75°＝（sin 180°＋sin 30°）＝. 2.B　sincos＝［sin（＋α＋＋β）＋sin（＋α－－β）］＝［sin（＋α＋β）＋sin（α－β）］＝cos（α＋β）＋sin（α－β）.故选B. 3.2sin sin 　解析：cos 2α－cos 3α＝－2sinsin ＝－2sin sin＝2sin sin . 【典例研析】 【例1】　解：∵π＜α＜，sin α＝－， ∴cos α＝－，且＜＜， ∴sin ＝ ＝， cos ＝ －＝－， tan＝＝－2. 母题探究 　解：∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角. 当为第二象限角时，sin ＝＝，cos ＝－＝－， tan ＝－＝－； 当为第四象限角时， sin ＝－＝－， cos ＝＝， tan ＝－＝－. 跟踪训练 1.（1）　（2）－1　解析：（1）sin ＝＝＝＝＝. （2）tan＝＝＝－1. 2.解：因为cos 2θ＝－，＜θ＜π，依半角公式得sin θ＝＝ ＝， cos θ＝－＝－ ＝－， 所以tan＝＝＝. 【例2】　（1）A　（2）　解析：（1）法一　 ∵cos 2α＝， ∴coscos（ －α） ＝coscos［－］ ＝cos·sin ＝sin＝cos 2α＝. 法二　coscos ＝［cos＋ cos］＝cos 2α＝. （2）由sin α＋sin β＝， 得2sin cos ＝， ① 由cos α＋cos β＝， 得2cos cos ＝， ② 由①②两式相除得tan ＝， 则tan（α＋β）＝＝＝. 跟踪训练 　解：（1）cos ＋cos －2sin cos ＝2cos ·cos －cos ＝2cos cos －cos ＝cos －cos ＝0. （2）sin 138°－ cos 12°＋sin 54°＝sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°＝－2cos 60°sin 18°＋sin 54°＝sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°＝＝＝＝＝＝. 【例3】　解：（1）由积化和差公式可知 f（x）＝［sin（ x－＋x＋）＋sinx－（ －x－）］ ＝ ＝sin－， ∵sin∈[－1，1]， ∴f（x）的值域为[－1，0]. （2）令f（x）＝0，∴sin＝1， ∴2x－＝＋2kπ，k∈Z， ∴x＝＋kπ，k∈Z， ∵x∈[0，2π]，∴x＝或x＝， ∴f（x）的零点为，. 跟踪训练 1.　解析：由题意知，y＝ ＝ ＝－cos 2x.因为－1≤cos 2x≤1，所以ymax＝. 2.证明：在△ABC中，A＋B＋C＝π， ∴sin C＝sin（A＋B）＝cos A＋cos B， 由和差化积公式，得 cos A＋cos B＝2cos cos ， ∴2sin cos ＝2cos cos . 显然cos ≠0，∴sin ＝cos . 两边平方，得sin2＝cos2， ∴＝， ∴cos（A＋B）＋cos（A－B）＝0， ∴2cos Acos B＝0，∴cos A＝0或cos B＝0. ∵A，B为△ABC的内角，∴A，B中必有一个是直角. ∴△ABC是直角三角形. 随堂检测 1.A　∵α∈，∴∈， sin ＝＝. 2.D　cos2＝＝＝. 3.　解析：因为α为第四象限角，所以sin α＜0，所以sin α＝－＝－＝－，所以tan＝＝＝. 4.－m　解析：sin（α＋β）sin（α－β） ＝－（cos 2α－cos 2β） ＝－[（2cos2α－1）－（2cos2β－1）] ＝cos2β－cos2α＝－m. 5.证明：法一　tan －tan ＝－ ＝ ＝＝ ＝. 法二　＝ ＝ ＝ ＝－ ＝tan －tan . 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $