第8章 8.2.4 三角恒等变换的应用（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　) A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a 解析　由题可得a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，所以a＜c＜b. 答案　C 2．设5π<θ<6π，cos ＝a，则sin 等于(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　∵5π<θ<6π，∴∈，∈，故sin <0，又cos ＝a， ∴sin ＝－＝－. 答案　D 3．4sin 80°－＝(　　) A． B．－ C． D．2－3 解析　原式＝4cos 10°－＝＝＝－. 答案　B 4．若 α∈，则 ＋等于(　　) A．2cos B．2sin C．－2sin D．－2cos 解析　∵α∈，∴∈，sin >cos ， 原式＝＋ ＝＋ ＝sin －cos ＋sin ＋cos ＝2sin ， 故选B. 答案　B 5．若函数f(x)＝A sin x－cos x的一个零点为，则A＝ ；f＝ ． 解析　f＝A sin －cos ＝A－＝0，解得A＝1. f(x)＝sin x－cos x＝2sin ， 故f＝2sin ＝2sin ＝－. 答案　1　－ 6．若一个等腰三角形顶角的正弦值为，则其底角的余弦值为 ． 解析　设顶角α∈(0，π)，则sin α＝，cos α＝± ＝±，∴sin ＝＝或， 则其底角的余弦值为cos ＝sin ＝或. 答案　或 7．(2025·山东德州高一月考)设－π＜a＜π，化简的结果是 ． 解析　＝＝＝， 因为－π＜a＜π，所以－＜＜，从而＝＝cos . 答案　cos 8．求函数f(x)＝sin x的最值． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的最大值及对应x的集合． 解析　(1)y＝sin x ＝sin x·2cos sin ＝－sin x cos ＝－ ＝－sin ＋， 所以f(x)的最小正周期为π. (2)因为sin ∈[－1，1]， 所以当sin ＝－1， 即x＝kπ－，k∈Z时，ymax＝； 此时对应x集合为. [关键能力·综合提升] 9．已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 解析　f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x，选项A中：2x∈，此时f(x)单调递增；选项B中：2x∈，此时f(x)先递增后递减；选项C中：2x∈，此时f(x)单调递减；选项D中：2x∈，此时先递减后递增，所以选C. 答案　C 10．设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　) A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 解析　解法一　由条件得＝，即sin αcos β＝cos α·(1＋sin β)，sin (α－β)＝cos α＝sin ，因为－＜α－β＜，0＜－α＜，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B. 解法二　tan α＝＝tan ， 因为α，＋∈，所以α＝＋即2α－β＝，故选B. 答案　B 11．设函数f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若f(x＋t)是奇函数，则t＝ ． 解析　因为f(x)＝sin 3x＋cos 3x ＝ ＝sin ， 所以f(x＋t)＝sin ＝sin ， 因为f(x＋t)是奇函数，所以3t＋＝kπ，k∈Z，即t＝－＋，k∈Z. 答案　－π＋kπ，k∈Z 12．若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝ ，cos 2β＝ ． 解析　由题3sin α－sin β＝，α＋β＝， 所以3sin α－cos α＝，解得sin α＝. 所以cos 2β＝cos (π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝. 答案　　 13．已知函数f(x)＝sinx sin －sin2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若x∈，求函数f(x)的值域． 解析　(1)∵f(x)＝sinx sin －sin2x ＝sinx cos x－ ＝sin 2x＋cos 2x－ ＝sin －， ∴f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)∵x∈，∴2x＋∈， ∴sin ∈，∴f(x)∈. ∴f(x)的值域为. [学科素养·探索创新] 14．在△ABC中，若B＝30°，则cos A sin C的取值范围是(　　 ) A．[－1，1] B． C． D． 解析　因为sin (A＋C)－sin (A－C)＝(sin A cos C＋cos A sin C)－(sin A cos C－cos A sin C)＝2cos A sin C， 所以cos A sin C＝[sin (A＋C)－sin (A－C)]＝－sin (A－C)， ∵B＝30°，则0°<A<150°， 则A－C＝A－(150°－A)＝2A－150°， 且有－150°<2A－150°<150°，则－1≤sin (A－C)≤1，故cos A sin C＝∈. 答案　C 15．如图所示，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 解析　连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，AM＝90cos θ，MP＝90sin θ， ∴PQ＝MB＝100－90cos θ. PR＝MR－MP＝100－90sin θ， ∴S矩形PQRC＝PQ·PR ＝(100－90cos θ)(100－90sin θ) ＝10 000－9000(sin θ＋cos θ)＋8100sin θcos θ(0°≤θ≤90°)， 令t＝sin θ＋cos θ(1≤t≤)， sin θcos θ＝， S矩形PQRC＝10 000－9000t＋8100· ＝4050＋950， 故当t＝时，S的最小值为950 m2，当t＝时S的最大值为(14 050－9000)m2. 学科网（北京）股份有限公司 $