8.2.4 三角恒等变换的应用(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

8.2.4　三角恒等变换的应用 1.若π＜α＜2π，则化简的结果是（　　） A.sin B.cos C.－cos D.－sin 2.cos 37.5°·cos 22.5°的值是（　　） A.＋ B. C. D. 3.〔多选〕下列命题是真命题的有（　　） A.∃x∈R，sin2＋cos2＝ B.∃x，y∈R，sin（x－y）＝sin x－sin y C.∀x∈[0，π]，＝sin x D.sin x＝cos y⇒x＋y＝ 4.已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos（α＋β）等于（　　） A. B.－ C. D.－ 5.在△ABC中，sin C＝，则此三角形的形状是（　　） A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.若x＋y＝1，则sin x＋sin y与1的大小关系是（　　） A.sin x＋sin y＞1 B.sin x＋sin y＝1 C.sin x＋sin y＜1 D.不确定 7.已知cos（ x－）＝－，则cos x＋cos（ x－）＝　　　　. 8.求值：cos 47°－cos 61°－cos 11°＋cos 25°－sin 7°＝　　　　. 9.设a，b是非零实数，且满足＝tan ，则＝　　　　. 10.已知函数f（x）＝－＋，x∈（0，π）. （1）将f（x）表示成cos x的多项式； （2）求f（x）的最小值. 11.在△ABC中，若B＝45°，则cos Asin C的取值范围是（　　） A.[－1，1] B. C. D. 12.已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是　　　　，最小值是　　　　. 13.已知函数f（x）＝2sin xcos x－2cos·cos. （1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数f（x）在区间上的值域. 14.〔多选〕下列各式与tan α相等的是（　　） A. B. C.·（α∈（0，π）） D. 15.在△ABC中，求证： （1）tan nA＋tan nB＋tan nC＝tan nAtan nBtan nC，其中n∈Z； （2）tan tan ＋tan tan ＋tan tan 为定值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2.4　三角恒等变换的应用 1.C　∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos＜0，原式＝＝｜cos｜＝－cos.故选C. 2.D　原式＝（cos 60°＋cos 15°）＝（＋）. 3.BC　因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin（x－y）＝sin x－sin y，所以B为真命题；因为＝＝｜sin x｜＝sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题.故选B、C. 4.D　∵cos α＋cos β＝，∴2coscos＝.∵α－β＝，∴cos＝，∴cos＝，∴cos（α＋β）＝2cos2－1＝－. 5.C　∵C＝π－（A＋B），∴sin C＝sin（A＋B）＝，∴2sin cos ＝ ，∴2cos2＝1，即cos（A＋B）＝0，∴A＋B＝，∴C＝.故此三角形为直角三角形. 6.C　∵sin x＋sin y＝2sin ·cos ＝2sin ·cos ，又0＜＜＜，∴sin ＜sin .∴2sin ＜2sin ＝1.∴sin x＋sin y＝2sin ·cos ＜cos ≤1.∴sin x＋sin y＜1. 7.－1　解析：法一 cos x＋cos（ x－）＝cos x＋cos xcos＋sin xsin＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝（ cos x＋sin x）＝cos（ x－）＝×（ －）＝－1. 法二 cos x＋cos（ x－）＝2cos·cos＝2cos（ x－）cos＝2×（ －）×＝－1. 8.0　解析：原式＝（cos 47°－cos 61°）－（cos 11°－cos 25°）－sin 7°＝2sin 54°sin 7°－2sin 18°sin 7°－sin 7°＝2sin 7°·（sin 54°－sin 18°）－sin 7°＝2sin 7°·2cos 36°sin 18°－sin 7°＝sin 7°·－sin 7°＝sin 7°·－sin 7°＝sin 7°－sin 7°＝0. 9.　解析：∵tan ＝＝tan，tan θ＝，∴＋θ＝kπ＋，k∈Z，解得θ＝kπ＋.∴tan θ＝tan＝.∴＝. 10.解：（1）f（x）＝＝ ＝2cos cos ＝cos 2x＋cos x ＝2cos2x＋cos x－1. （2）∵f（x）＝2－且－1＜cos x＜1， ∴当cos x＝－时，f（x）取最小值－. 11.B　在△ABC中，B＝45°，所以cos Asin C＝[sin（A＋C）－sin（A－C）]＝[sin B－sin（A－C）]＝－sin（A－C），因为B＝45°，所以－135°＜A－C＜135°，所以－1≤sin（A－C）≤1，所以≤cos Asin C≤，故选B. 12.　　解析：∵A＋B＝，∴cos2A＋cos2B＝（1＋cos 2A＋1＋cos 2B）＝1＋（cos 2A＋cos 2B）＝1＋cos（A＋B）·cos（A－B）＝1＋coscos（A－B）＝1－cos（A－B），∴当cos（A－B）＝－1时，原式取得最大值；当cos（A－B）＝1时，原式取得最小值. 13.解：f（x）＝sin 2x＋2sincos＝sin 2x＋sin＝sin 2x－cos 2x＝2sin. （1）函数f（x）的最小正周期T＝＝π， 由2x－＝kπ＋，k∈Z，得对称轴方程为x＝＋，k∈Z. （2）因为－≤x≤，所以－≤2x－≤， 所以当2x－＝，即x＝时，f（x）max＝2， 当2x－＝－，即x＝－时，f（x）min＝2×＝－， 所以f（x）的值域是[－，2]. 14.CD　A项，＝＝＝｜tan α｜，不符合；B项，＝＝tan ，不符合；C项，因为α∈（0，π），所以原式＝·＝＝tan α，符合；D项，＝＝tan α，符合.故选C、D. 15.证明：（1）∵A＋B＝π－C， ∴tan（nA＋nB）＝tan（nπ－nC）＝－tan nC， ∴＝－tan nC， ∴tan nA＋tan nB＝－tan nC＋tan nAtan nBtan nC， ∴tan nA＋tan nB＋tan nC＝tan nAtan nBtan nC. （2）原式＝tan ＋tan tan ＝tan tan ＋tan ·tan . ∵＋＝， ∴sin ＝cos ，cos ＝sin ， ∴tan tan ＝·＝·＝1， ∴原式＝1－tan tan ＋tan tan ＝1（定值）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $