8.2.3 倍角公式(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦二倍角公式这一核心知识点，基于两角和与差的三角函数公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，构建从公式推导到求值、化简、证明及与三角函数性质综合应用的完整学习支架。 以金刚石晶体键角、大雁队列夹角为情境引入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过公式推导培养逻辑推理能力，设置判断、例题及跟踪训练发展数学运算素养，课中助力教师引导探究，课后帮助学生巩固应用、查漏补缺。

8.2.3　倍角公式 1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式（逻辑推理）. 2.能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题（数学运算）. 　　金刚石晶体的碳—碳键键角约为55°，大雁南迁排成的“人”字形队列的每边与前进方向的夹角也约为55°，这是巧合还是大自然的“默契”？ 　　研究表明，金刚石碳—碳键键角约为55°时，是最稳定的结构；大雁“人”字形队列夹角为55°时，后面的大雁可以利用前面的翼尖涡流，提高升力，以达到省力的作用. 【问题】　（1）“人”字形角度的2倍即110度，其中蕴含着什么样的数学关系？ （2）我们能否利用两角和与差的三角函数公式，推导出二倍角的三角函数公式？如何推导？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　二倍角公式 函数 公式 简记符号 β＝α 正弦 sin 2α＝　　　　　 Sα＋β S2α 余弦 cos 2α＝　　　　　 ＝　　　　　 ＝　　　　　 Cα＋β C2α 正切 tan 2α＝　　　　 Tα＋β T2α 【想一想】 1.你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？ 2.二倍角公式有哪些形式的变形？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.（　　） （2）3α是α的2倍角，6α是3α的2倍角.（　　） （3）∃α∈R，使得sin 2α＝2sin α成立.（　　） （4）∀α∈R，总有tan 2α＝.（　　） 2.已知cos α＝，则cos 2α等于　　　　. 3.sin 15°sin 75°的值为　　　　. 4.设tan α＝－，则tan 2α的值是　　　　. 题型一｜给角求值问题 【例1】　求下列各式的值： （1）－cos2； （2）2tan 15°＋tan215°； （3）tan 15°＋. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 给角求值问题的解题策略 （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 【跟踪训练】 1.求下列各式的值： （1）； （2）. 2.计算：. 题型二｜给值求值问题 【例2】　已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈. （1）求sin 2α的值； （2）求cos（2α＋β）的值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 直接应用二倍角公式求值的三种类型 （1）sin α（或cos α）cos α（或sin α）sin 2α（或cos 2α）； （2）sin α（或cos α）cos 2α＝1－2sin2α（或2cos2α－1）； （3）sin α（或cos α） 【跟踪训练】 1.已知sin（ θ－）＝，则sin（ 2θ＋）＝（　　） A.－　 　 B.　　　 C.－　 　 D. 2.已知3sin（ 2α－）＝7cos α，则cos 2α＝（　　） A.－ B.－ C. D. 3.已知α为第一象限角且cos α＝，求的值. 题型三｜利用二倍角公式化简与证明 【例3】　求证：＝sin 2α. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 证明三角恒等式问题的原则及一般步骤 （1）观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想； （2）证明的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. 【跟踪训练】 1.化简求值：. 2.求证：cos2（A＋B）－sin2（A－B）＝cos 2A·cos 2B. 题型四｜倍角公式与三角函数性质的综合 【例4】　已知函数f（x）＝2sin ωxcos（ ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为2π. （1）求ω的值； （2）先将f（x）的图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象. （ⅰ）求g（x）的单调递增区间； （ⅱ）若g（α）＝－，求cos（ 4α＋）的值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求解三角函数综合问题的一般步骤 【跟踪训练】 1.已知函数f（x）＝（1－cos 2x）cos2x，x∈R，则f（x）是（　　） A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数 2.〔多选〕已知函数f（x）＝sin ωx＋cos2－（ω＞0，x∈R），则（　　） A.若函数f（x）的最小正周期为π，则ω＝1 B.若ω＝2，则函数f（x）的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到 C.若ω＜5且直线x＝是函数f（x）的一条对称轴，则f（x）在（ ，）上单调递增 D.若函数f（x）在区间（0，2π）上没有零点，则ω∈（ 0，］ 1.〔多选〕下列各式中，值为的是（　　） A.2sin 15°cos 15°　　　B.cos215°－sin215° C.1－2sin215° D.sin215°＋cos215° 2.已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α＝（　　） A.30°或60°　　B.45°　　C.60°　　D.30° 3.已知cos（π－α）＝，则cos 2α＝　　　　. 4.函数f（x）＝2cos2－1的最小正周期为　　　　. 提示：完成课后作业　第八章　8.2　8.2.3 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2.3　倍角公式 【基础落实】 知识点 　2sin αcos α　cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α　 想一想 1.提示：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，是的二倍角等. 2.提示：（1）1＋cos 2α＝2cos2α； （2）1－cos 2α＝2sin2α； （3）cos2α＝； （4）sin2α＝； （5）（sin α±cos α）2＝1±sin 2α. 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）× 2.－　解析：由cos α＝，得cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－. 3.　解析：原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝. 4.　解析：∵tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝. 【典例研析】 【例1】　解：（1）原式＝－＝－－＝－. （2）原式＝tan 30°（1－tan215°）＋tan215°＝×（1－tan215°）＋tan215°＝1. （3）原式＝＋ ＝＝ ＝＝＝4. 跟踪训练 1.解：（1）原式＝＝＝2. （2）原式＝ ＝＝ ＝tan 60°＝. 2.解：原式＝ ＝＝. 【例2】　解：（1）因为α是第三象限角，cos α＝－， 所以sin α＝－＝－， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××（－）＝. （2）因为β∈，sin β＝， 所以cos β＝－＝－， cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝， 所以cos（2α＋β）＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝×－× ＝－. 跟踪训练 1.D　因为sin（ θ－）＝，所以sin（ 2θ＋）＝sin（ 2θ－＋）＝cos（ 2θ－）＝cos ［2（ θ－）］＝1－2sin2（ θ－）＝1－2×（ ）2＝. 2.A　由3sin（ 2α－）＝7cos α，得3cos 2α＋7cos α＝0，所以6cos2α＋7cos α－3＝0，所以（2cos α＋3）（3cos α－1）＝0，解得cos α＝或cos α＝－（舍），所以cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－. 3.解：∵cos α＝且α为第一象限角， ∴sin α＝. ∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－， sin 2α＝2sin αcos α＝. ∴原式 ＝ ＝＝. 【例3】　证明：法一　左边 ＝ ＝＝ ＝＝sin cos cos α ＝sin αcos α＝sin 2α＝右边. ∴原式成立. 法二　左边＝＝cos2α·＝ cos2α·tan α＝cos αsin α ＝sin 2α＝右边. 跟踪训练 1.解： ＝ ＝ ＝＝＝1. 2.证明：左边＝ － ＝ ＝（cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B） ＝cos 2Acos 2B＝右边，∴等式成立. 【例4】　解：（1）由f（x）＝2sin ωxcos（ ωx＋） ＝2sin ωx·（ cos ωxcos－sin ωxsin） ＝sin ωxcos ωx－sin2ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx－ ＝sin（ 2ωx＋）－. 因为f（x）的最小正周期为2π，所以＝2π，解得｜ω｜＝，又ω＞0，所以ω＝. （2）（ⅰ）由（1）可知f（x）＝sin（ x＋）－， 将f（x）图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变， 得到h（x）＝sin（ 2x＋）－的图象，则g（x）＝h（ x－）＝sin（ 2x－）－. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 则g（x）的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］（k∈Z）. （ⅱ）g（α）＝sin（ 2α－）－＝－，则sin（ 2α－）＝. 故cos（ 4α＋）＝cos（ 4α－＋π） ＝－cos（ 4α－） ＝－cos ［2（ 2α－）］ ＝－［1－2sin2（ 2α－）］ ＝－（ 1－2×）＝－. 跟踪训练 1.B　因为f（x）＝（1－cos 2x）cos2x＝2sin2xcos2xsin22x＝·＝－cos 4x，所以函数f（x）为偶函数，且最小正周期为＝. 2.BCD　f（x）＝sin ωx＋cos2－＝sin ωx＋cos ωx＝sin（ ωx＋）（ω＞0，x∈R）.对于A，若函数f（x）的最小正周期为π，则ω＝2，故A错误；对于B，若ω＝2，则f（x）＝sin（ 2x＋）＝sin［2（ x＋）］，故函数f（x）的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到，故B正确；对于C，若ω＜5且直线x＝是函数f（x）的一条对称轴，则ω＋＝kπ＋，k∈Z且ω＜5，解得ω＝3，则f（x）＝sin（ 3x＋），由x∈（ ，），得3x＋∈（ ，），故f（x）在（ ，）上单调递增，故C正确；对于D，当x∈（0，2π）时，ωx＋∈（ ，2πω＋），若函数f（x）在区间（0，2π）上没有零点，则2πω＋≤π，又ω＞0，则ω∈（ 0，］，故D正确. 随堂检测 1.BC　对A，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误；对B，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故B正确；对C，1－2sin215°＝cos 30°＝，故C正确；对D，sin215°＋cos215°＝1，故D错误.故选B、C. 2.D　因为cos 2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sin α－1＝0，即（sin α＋1）·（2sin α－1）＝0.因为α为锐角，所以sin α＝，所以α＝30°. 3.－　解析：由cos（π－α）＝， 得－cos α＝，则cos α＝－， 所以cos 2α＝2cos2α－1 ＝2×（ －）2－1＝－. 4.π　解析：f（x）＝cos ＝sin 2x，故f（x）的最小正周期为π. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $