8.2.2 第2课时 两角和与差的正切(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦两角和与差的正切公式这一核心知识点，承接两角和与差的正弦、余弦公式，通过图形情境问题引入，结合公式推导、结构特征分析及变形应用，构建从具体到抽象的三角函数和差公式学习支架。 资料以图形观察引发问题培养数学眼光，通过判断题、题型示例（如三角形形状判定）发展数学思维中的逻辑推理与运算能力，设置跟踪训练与母题探究强化数学语言表达。课中助力教师引导学生探究公式本质，课后帮助学生通过分层练习巩固知识，弥补薄弱环节。

第二课时　两角和与差的正切 　　如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝，tan β＝，∠COD＝α－β. 【问题】　能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两角和与差的正切 名称 公式 简记 符号 使用条件 两角和 的正切 tan（α＋β）＝　　　　　 Tα＋β α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z，且tan α·tan β≠1 两角差 的正切 tan（α－β）＝　　　　　 Tα－β α，β，α－β≠kπ＋，k∈Z，且tan α·tan β≠－1 　　提醒：两角和与差的正切公式的变形：①tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）；②tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；③tan αtan β＝1－. 【想一想】 　两角和与差的正切公式的有哪些结构特征？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立.（　　） （2）对任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝都成立.（　　） （3）tan能根据公式tan（α＋β）直接展开.（　　） 2.已知tan α＝3，tan β＝，则tan（α＋β）＝（　　） A.－　　　　　　 B.－ C. D. 3.设角θ的终边过点（2，3），则tan＝　　　　. 题型一｜利用公式化简求值 【例1】　求下列各式的值： （1）tan 15°； （2）； （3）tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β（或tan α－tan β），tan（α＋β）（或tan（α－β））.三者知二可表示或求出第三个. 2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 【跟踪训练】 　求值：（1）tan 2°＋tan 43°＋tan 2°tan 43°； （2）（1＋tan 1°）（1＋tan 2°）…（1＋tan 44°）（1＋tan 45°）. 题型二｜根据条件求值或角 【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，. （1）求tan（α＋β）的值； （2）求α＋2β的值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.通过先求角的某个三角函数值来求角. 2.选取函数时，应遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好. 3.给值求角的一般步骤： （1）求角的某一三角函数值； （2）确定角的范围； （3）根据角的范围写出所求的角. 【跟踪训练】 1.若△ABC中，tan A和tan B是关于x的方程x2－sin2θ·x＋cos2θ＝0的两根，则C＝（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 2.已知tan（α＋β）＝，tan（ －β）＝，则tan（ α＋）＝　　　　. 题型三｜判定三角形形状 【例3】　已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 　（变条件）本例中把条件改为“tan B＋tan C－tan B·tan C＝－，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？ 通性通法 公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略 （1）“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan；＝tan； （2）整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式. 1.已知α∈，sin α＝，则tan＝（　　） A. B.－ C. D.－ 2.已知α＋β＝－，则（1＋tan α）（1＋tan β）的值是（　　） A.－1 B.1 C.2 D.4 3.在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆（以O为圆心）交于点P（ －，）.则tan（ α＋）＝　　　. 4.已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝　　　　. 5.已知tan（α＋β）＝，tan＝，求tan的值. 提示：完成课后作业　第八章　8.2　8.2.2　第二课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　两角和与差的正切 【基础落实】 知识点 　　 想一想 　提示：公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和，符号间的关系为： 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）× 2.A　∵tan α＝3，tan β＝，∴tan（α＋β）＝＝＝－. 3.　解析：由于角θ的终边过点（2，3），因此tan θ＝，故tan＝＝＝. 【典例研析】 【例1】　解：（1）tan 15°＝tan（45°－30°）＝＝＝＝2－. （2）＝＝ ＝tan（30°－75°）＝tan（－45°） ＝－tan 45°＝－1. （3）因为tan（23°＋37°）＝tan 60° ＝＝， 所以tan 23°＋tan 37° ＝（1－tan 23°tan 37°）， 所以原式＝（1－tan 23°tan 37°）＋ tan 23°tan 37°＝. 跟踪训练 　解：（1）原式＝tan（2°＋43°）（1－tan 2°tan 43°）＋tan 2°tan 43°＝tan 45°（1－tan 2°tan 43°）＋tan 2°·tan 43°＝1. （2）（1＋tan 1°）（1＋tan 44°）＝1＋（tan 1°＋tan 44°）＋tan 1°tan 44° ＝1＋tan 45°（1－tan 1°tan 44°）＋tan 1°tan 44°＝1＋1＝2， 同理（1＋tan 2°）（1＋tan 43°）＝2， … 依次类推，得原式＝222×（1＋tan 45°）＝223. 【例2】　解：由条件得cos α＝，cos β＝， 因为α，β为锐角， 所以sin α＝，sin β＝， 所以tan α＝7，tan β＝. （1）tan（α＋β）＝＝＝－3. （2）tan（α＋2β）＝tan[（α＋β）＋β] ＝ ＝＝－1， 因为α，β为锐角，所以0＜α＋2β＜， 所以α＋2β＝. 跟踪训练 1.D　由题意，tan A＋tan B＝sin2θ，tan A·tan B＝cos2θ，所以tan（A＋B）＝＝＝1，由tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tan C，故tan C＝－1，又0＜C＜π，所以C＝. 2.　解析：由题意得tan（α＋β）＝，tan（ －β）＝，则tan（ α＋） ＝tan［（α＋β）＋（ －β）］ ＝ ＝＝. 【例3】　解：由tan A＝tan[π－（B＋C）]＝－tan（B＋C） ＝＝＝－. 又0°＜A＜180°，所以A＝120°. 由tan C＝tan[π－（A＋B）]＝ ＝＝， 又0°＜C＜180°，所以C＝30°，所以B＝30°. 所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形. 母题探究 　解：由tan A＝tan [π－（B＋C）] ＝－tan（B＋C）＝ ＝＝. 又0°＜A＜180°，所以A＝60°. 由tan C＝tan [π－（A＋B）] ＝＝＝. 又0°＜C＜180°， 所以C＝60°，所以B＝60°. 所以△ABC是等边三角形. 随堂检测 1.B　因为α∈，sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝，所以tan＝＝－. 2.C　（1＋tan α）（1＋tan β）＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）＋1＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋1＋tan αtan β＝2. 3.－　解析：由三角函数的定义可得tan α＝×（ －）＝－，由两角和的正切公式可得tan（ α＋）＝＝＝－. 4.　解析：因为tan α＝，tan β＝，所以tan（α＋β）＝＝＝1.因为α，β均为锐角，所以α＋β∈（0，π），所以α＋β＝. 5.解：因为α＋＝（α＋β）－， 所以tan ＝tan ＝ ＝＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $