8.2.1 两角和与差的余弦(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦“两角和与差的余弦”核心知识点，从电视发射塔高度的实际问题切入，通过问题链引导学生思考余弦差角公式的合理性，再利用向量数量积推导公式，进而延伸至和角公式，构建从具体情境到抽象公式的学习支架。 该资料以真实问题驱动培养数学眼光，向量法推导过程发展逻辑推理，分题型训练（给角求值、给值求值、求角）提升数学运算。课中助力教师引导探究，课后通过例题与跟踪训练帮助学生巩固，有效查漏补缺。

8.2.1　两角和与差的余弦 【基础落实】 知识点 　cos α·cos β＋sin αsin β 　cos α·cos β－sin αsin β 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）√ 2.A　原式＝cos（22°＋38°）＝cos 60°＝. 3.C　cos（－15°）＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝. 【典例研析】 【例1】　解：（1）cos 345°＝cos（360°－15°）＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝. （2）cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°＝cos（45°－15°）＝cos 30°＝. （3）sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313° ＝sin（180°－17°）sin（180°＋43°）＋sin（180°＋73°）·sin（360°－47°） ＝－sin 17°sin 43°＋sin 73°sin 47° ＝－sin 17°sin 43°＋cos 17°cos 43° ＝cos（17°＋43°） ＝cos 60° ＝. 跟踪训练 　解：（1）cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin（90°＋105°） ＝2cos 105°＝2cos（135°－30°）＝2（cos 135°·cos 30°＋sin 135°sin 30°）＝2×（ －×＋×）＝. （2）cos（x＋27°）cos（18°－x）－sin（x＋27°）·sin（18°－x）＝cos[（x＋27°）＋（18°－x）]＝cos 45°＝. 【例2】　解：（1）∵α∈，sin α＝， ∴cos α＝－＝ －＝－. ∵β是第三象限角，cos β＝－， ∴sin β＝－ ＝－＝－， ∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝. （2）∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵cos（α＋β）＝，∴0＜α＋β＜， 又∵cos（2α＋β）＝，∴0＜2α＋β＜， ∴sin（α＋β）＝，sin（2α＋β）＝， ∴cos α＝cos[（2α＋β）－（α＋β）] ＝cos（2α＋β）·cos（α＋β）＋sin（2α＋β）·sin（α＋β） ＝×＋×＝. 跟踪训练 1.A　∵＜α＜，∴＜＋α＜π.∴cos（ ＋α）＝－＝－.∴cos α＝cos［（ ＋α）－］＝cos（ ＋α）cos＋sin（ ＋α）sin＝－×＋×＝. 2.解：由条件，得＜α＋β＜2π，＜β－＜，∴cos（α＋β）＝，cos（ β－）＝－， ∴cos（ α＋）＝cos［（α＋β）－（ β－）］＝cos（α＋β）·cos（ β－）＋sin（α＋β）sin（ β－）＝×（ －）＋（ －）×＝－. 【例3】　解：∵α，β均为锐角，cos α＝，cos β＝， ∴sin α＝，sin β＝， ∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 又sin α＜sin β，∴0＜α＜β＜， ∴－＜α－β＜0.故α－β＝－. 母题探究 1.解：因为cos α＝，且2π＜α＜3π，sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝； 因为cos β＝－，且0＜β＜π，sin2β＋cos2β＝1，所以sin β＝. 所以cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝， 因为cos α＝＞0，所以2π＜α＜π， 因为cos β＝－，所以＜β＜π， 即－π＜－β＜－， 所以π＜α－β＜2π，所以α－β＝π. 2.解：a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos（α－β）＝，又0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，故α－β＝. 跟踪训练 　解：因为（sin α＋sin β）2＝，（cos α＋cos β）2＝， 以上两式展开两边分别相加得2＋2cos（α－β）＝1， 所以cos（α－β）＝－. 因为0＜α＜β＜π，所以－π＜α－β＜0，所以α－β＝－. 随堂检测 1.A　由cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos＝－sin α，故②错误，故选A. 2.C　逆用两角差的余弦公式，得cos 8°cos 38°＋sin 8°sin 38°＝cos（8°－38°）＝cos（－30°） ＝cos 30°＝. 3.BCD　因为α，β均为锐角，所以0＜α＜，0＜β＜，所以－＜α－β＜，又sin（α－β）＝－，所以cos（α－β）＝＝，故A错误，B正确；又sin α＝，所以cos α＝＝，所以C正确；因为cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝×＋×（ －）＝＝，所以β＝，故D正确. 4.　解析：∵cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝cos α＋sin α＝cos α，∴sin α＝cos α，∴＝tan α＝. 5.解：因为α，β都是锐角且cos α＝＜， 所以＜α＜，0＜β＜，所以＜α＋β＜π， 又sin（α＋β）＝＜， 所以＜α＋β＜π， 所以cos（α＋β）＝－＝－， sin α＝＝， 所以cos β＝cos[（α＋β）－α] ＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α ＝－×＋×＝. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2.1　两角和与差的余弦 1.通过感悟利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用（逻辑推理）. 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式（逻辑推理）. 3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值（数学运算）. 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米，从点A观测电视发射塔的视角（∠CAD）约为45°，∠CAB＝15°，求这座电视发射塔的高度. 　　设电视发射塔的高度CD＝x.则AB＝AC·cos 15°＝60cos 15°，BC＝ACsin 15°＝60sin 15°，BD＝AB·tan 60°＝60·cos 15°·tan 60°＝60cos 15°，所以x＝BD－BC＝60cos 15°－60sin 15°，如果能求出cos 15°，sin 15°的值，就可求出电视发射塔的高度了. 【问题】　（1）30°＝60°－30°，那么cos 30°＝cos 60°－cos 30°成立吗？类似的15°＝45°－30°，那么cos 15°＝cos 45°－cos 30°成立吗？为什么？ （2）如何用α，β的正弦、余弦值来表示cos（α－β）呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两角和与差的余弦 名称 公式 简记 符号 使用 条件 两角差 的余弦 cos（α－β）＝　　　　　　　 Cα－β α，β∈R 两角和 的余弦 cos（α＋β）＝　　　　　　　 Cα＋β α，β∈R 　　提醒：两角和与差的余弦公式的结构特征 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.（1）“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；（2）“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和的余弦展开后两项之间用“－”，两角差的余弦展开后两项之间用“＋”. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）cos（60°－30°）＝cos 60°－cos 30°.（　　） （2）∃α，β∈R，cos（α－β）＝cos α－cos β成立.（　　） （3）∀α，β∈R，cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β都成立.（　　） 2.cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为（　　） A.　　　　　　　　B. C. D. 3.cos（－15°）的值是（　　） A. B. C. D. 题型一｜给角求值问题 【例1】　求下列各式的值： （1）cos 345°； （2）cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°； 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 含非特殊角的三角函数式求值的解法 （1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值； （2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差（和）的余弦公式的形式，然后逆用公式求值. 【跟踪训练】 　求值：（1）cos 105°＋sin 195°； （2）cos（x＋27°）cos（18°－x）－sin（x＋27°）·sin（18°－x）. 题型二｜给值（式）求值 【例2】　（1）已知α∈，β是第三象限角，sin α＝，cos β＝－.求cos（α＋β）的值； （2）α，β为锐角，cos（α＋β）＝，cos（2α＋β）＝，求cos α的值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 给值求值的解题步骤 （1）找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异； （2）拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： α＝（α＋β）－β，α＝β－（β－α），α＝（2α－β）－（α－β）， α＝[（α＋β）＋（α－β）]，α＝[（β＋α）－（β－α）]等； （3）求解.结合公式Cα±β求解. 【跟踪训练】 1.已知sin（ ＋α）＝，＜α＜，则cos α的值是（　　） A. B. C. D. 2.已知α，β∈（ ，π），sin（α＋β）＝－，sin（ β－）＝，求cos（ α＋）的值. 题型三｜已知三角函数值求角 【例3】　已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 1.（变条件）本例中条件变为“cos α＝，cos β＝－，2π＜α＜3π，0＜β＜π”，问题不变. 2.（变条件）本例中条件变为“a＝（cos α，sin β），b＝（cos β，sin α），0＜β＜α＜且a·b＝”，问题不变. 通性通法 已知三角函数值求角的解题步骤 （1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围； （2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数； （3）结合三角函数值及角的范围求角. 【跟踪训练】 　已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，0＜α＜β＜π，求α－β的值. 1.下列式子中，正确的个数为（　　） ①cos（α－β）＝cos α－cos β； ②cos＝sin α； ③cos（α－β）＝cos αcos β－sin αsin β. A.0个　　B.1个　　C.2个　　D.3个 2.计算cos 8°cos 38°＋sin 8°sin 38°＝（　　） A. B. C. D.－ 3.〔多选〕已知sin α＝， sin（α－β）＝－，α，β均为锐角，则（　　） A.cos（α－β）＝－ B.cos（α－β）＝ C.cos α＝ D.β＝ 4.已知cos＝cos α，则tan α＝　　　　. 5.设α，β都是锐角，且cos α＝，sin（α＋β）＝，求cos β的值. 提示：完成课后作业　第八章　8.2　8.2.1 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $