8.2.1两角和与差的余弦 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8.2.1两角和与差的余弦 人教B版2019 复习引入 思考：如何计算cos15呢？ 回忆求角的三角函数值的方法有哪些？ 在直角三角形里求解； 利用单位圆和三角函数的定义; 利用向量数量积： cos（45 3 cos（6 4 cos15˚=cos(45˚-30˚) =cos45˚-cos30˚ 成立吗? 尝试与发现 交点（形） 坐标 三角函数值（数） x o y Q P 1 -1 300 150 450 (cos450 , sin450) (cos300 , sin300) cos150＝ ＝ = 合作探究 x y O α终边 Q P β终边 α-β α β (cosa, sina) (cosb, sinb) cos(a-b) = cosa cosb + sina sinb. 1cos(a-b ) cosa cosb + sina sinb, (用模与夹角表示) (用坐标表示) = a-b ∈[0,π]时 a-b a-b ∈[-π，0]时 b-a a-b ∈R时，存在k∈Z, 使得 a-b +2kπ或b-a +2kπ cos(a-b )= 合作探究 x y O α终边 A(1,0) A1 P1 P β终边 α-β α-β终边 P1(cosα, sinα)， A1(cosβ, sinβ)，P(cos(α-β), sin(α-β)). AP= A1P1 根据两点间的距离公式，得 化简得 当α=2kπ+β, k∈Z时，容易证明上式仍然成立. 当α≠2kπ+β, k∈Z. 合作探究 cos(a-b) = cosa cosb + sina sinb 两角差的余弦公式,简记为 Ca-b 两角和的余弦公式,简记为 Ca+b cos(a+b) = cosa cosb - sina sinb (3)公式两边符号相反. (1)公式中的α，β是任意角; (2)公式的结构特点:左边是“两角的差和余弦值”， 右边是“这两角余弦积与正弦积的和差”； 公式特征 “烤烤晒晒符号反” 二次 一次 (4)正用——拆角；逆用——合角 a+b 呢 ? 对任意a，b cos(a-b) = cosa -cos b 一定不成立吗？ 举例说明. (5) 和角、差角与单角是相对的：2α＝(α＋β)＋(α－β)， 2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等 公式再认识 = sin2 公式大闯关 1 2 3、若x,y ∈R,则cosxcosy+sinxsiny的最大值_____ 1、cos105º=_______ 钝角三角形 4、在三角形ABC中，sinAsinB < cosAcosB,判断三角形 ABC的形状？ 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． 应用 变. 若cos(－α)＝， α ，求cosα的值． cos( -a) = cos cosa + sin sina 思路一： cosa = cos -( -a)) 思路二： = cosa + sina 即 1 = cos2a + sin2a 可求 答案： = cos cos( -a) + sin sin( -a) 分析: 已知 -a 与 的函数值, 构造所求 a = - ( -a). 拆角与凑角 例1. 若cosα＝－，α，求cos(－α)， 的值． 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． 合作展示 ∵β＝α－(α－β)，∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 【总结】 给值求值问题主要有两类： 一是直接利用公式展开后求值． 二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角与特殊角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号． 给值求角问题要转化为求三角函数值的问题，为防止增解最好选取角所在范围内单调的函数 单位圆中，点坐标化，向量数量积 C α-β C α+β 以 -β代 β 求非特殊角余弦值cos15°等 赋值 诱导公式及给值求值（角） α,β为任意角 谢谢大家的聆听 思考题　已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值. 解：由cos α＝，0<α<，得 sin α＝＝＝. 由0<β<α<， 得0<α－β<. 又∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝＝. ＝×＋×＝. ∵0<β<，∴β＝. $$