8.1.2 向量数量积的运算律(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦向量数量积的运算律这一核心知识点，基于数量积定义推导交换律、数乘向量的数量积及分配律，衔接前后知识，构建从定义到运算律再到求模、几何证明应用的学习支架。 以“世间事物遵循规律”类比引入培养数学眼光，通过思考题辨析运算律成立条件发展逻辑推理（数学思维），结合几何图形例题用数学语言表达关系，题型分类与通性通法助教师授课，练习题及课后作业助学生查漏补缺。

8.1.2　向量数量积的运算律 1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律（逻辑推理）. 2.能利用运算律进行向量数量积的运算（数学运算）. 　　没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……世间事物都要遵循一定的规律和法则才能生存. 【问题】　向量数量积的运算又遵循哪些“规律”和“法则”呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　向量数量积的运算律 1.已知向量a，b，c与实数λ，则 交换律 a·b＝　　 数乘向量的 数量积 （λa）·b＝a·（λb）＝　　　 分配律 （a＋b）·c＝　　　　　 2.重要公式 平方差公式 （a＋b）（a－b）＝a2－b2 完全平方公式 （a±b）2＝a2±2a·b＋b2 【想一想】 1.式子｜a｜2－｜b｜2＝（a＋b）·（a－b），正确吗？ 2.“若a·b＝a·c，则b＝c”成立吗？为什么？ 3.向量数量积满足乘法结合律吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）（a·b）·c＝a·（b·c）.（　　） （2）（a·b）2＝a2·b2.（　　） （3）a·[b（a·c）－c（a·b）]＝0.（　　） 2.已知｜a｜＝｜b｜＝2，a·b＝2，则｜a－b｜＝（　　） A.1　　　　　　　　 B. C.2 D.或2 3.已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，cos＜m，n＞＝，若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（　　） A.4 B.－4 C. D.－ 题型一｜平面向量数量积的运算 【例1】　（1）已知｜a｜＝4，｜b｜＝7，且向量a与b的夹角为120°，求（2a＋3b）·（3a－2b）； （2）在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E是CD的中点，求·的值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求两向量的数量积的两种常见题型 （1）类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照向量运算律展开即可求解； （2）在平面图形中求两向量的数量积，一般先用已知向量线性表示出待求数量积的两个向量，然后根据运算律或运算公式求解. 【跟踪训练】 1.已知向量a，b满足（a－2b）·（a＋b）＝3，且｜a｜＝2，｜b｜＝1，则a与b的夹角为（　　） A.30°　　　　　　　　B.60° C.120° D.150° 2.如图所示，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝4，DC＝3，∠ABC＝90°，则（－）·＝　　　　　 . 题型二｜向量的模 【例2】　（1）若向量a，b满足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝1，则｜b｜＝　　　　； （2）如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB＝3，BC＝1，CD＝2，求AD的长. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 向量模的常见求法 　　在求向量的模时可直接运用公式｜a｜＝，但计算两向量的和与差的长度时则用｜a±b｜＝＝. 【跟踪训练】 1.两个单位向量e1，e2满足｜e1＋2e2｜＝｜e1｜，则｜e1－e2｜＝　　　　　. 2.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝＋，则｜｜＝　　　　. 题型三｜利用平面向量的数量积证明几何问题 【例3】　（1）点O是△ABC所在平面上的一点，且满足·＝·＝·，则点O是△ABC的（　　） A.重心　　B.垂心　　C.内心　　D.外心 （2）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 利用向量法证明几何问题的技巧 （1）利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系、角度关系； （2）进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算； （3）将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平行，向量的夹角与直线的夹角等. 【跟踪训练】 　已知O为△ABC所在平面内一点，且｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2.求证：点O是△ABC的垂心. 1.已知a，b是非零向量，且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 2.已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，｜a｜＝2，｜c｜＝1，a·c＝1，则｜b｜＝（　　） A.2 B.7 C. D. 3.已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a⊥b，则实数k的值为　　　　. 4.如图，已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE. 提示：完成课后作业　第八章　8.1　8.1.2 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.2　向量数量积的运算律 【基础落实】 知识点 1.b·a　λ（a·b）　a·c＋b·c 想一想 1.提示：正确. 2.提示：不成立，如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等. 3.提示：向量数量积不满足乘法结合律：一般地，向量数量积（a·b）c≠a（b·c），这是由于a·b，b·c都是实数，（a·b）c表示与c方向相同或相反的向量，a（b·c）表示与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√ 2.C　｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×2＋4＝4，则｜a－b｜＝2. 3.B　由题意知，cos＜m，n＞＝＝＝，所以m·n＝｜n｜2＝n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，所以t＝－4. 【典例研析】 【例1】　解：（1）（2a＋3b）·（3a－2b） ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2 ＝6｜a｜2＋5a·b－6｜b｜2 ＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268. （2）·＝·（－）＝－·＝1－×4－×2×1×＝－. 跟踪训练 1.C　由（a－2b）·（a＋b）＝3，可得a2＋a·b－2b·a－2b2＝3，即a2－a·b－2b2＝3，又｜a｜＝2，｜b｜＝1，所以22－a·b－2×12＝3，解得a·b＝－1，所以cos＜a，b＞＝＝－，又0°≤＜a，b＞≤180°，所以＜a，b＞＝120°，所以a与b的夹角为120°. 2.28　解析： 因为在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝4，DC＝3，∠ABC＝90°，所以（－）·＝·－·＝（＋）·－（＋）·＝＋·－·－·＝－·＝42＋4×3＝28. 【例2】　（1）3　解析：由｜a－b｜＝5得（a－b）2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝3. （2）解：由向量的性质，知＝＋＋，其中与的夹角为60°，与的夹角为30°，与的夹角为90°， 于是｜｜2＝｜＋＋｜2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2· ＝9＋1＋4＋2×3×1×＋2×1×2×＋0＝17＋2. 则AD的长为. 跟踪训练 1.　解析：因为两个单位向量e1，e2满足｜e1＋2e2｜＝｜e1｜，由｜e1＋2e2｜＝｜e1｜两边平方可得＋4e1·e2＋4＝3，即5＋4e1·e2＝3，解得e1·e2＝－，故｜e1－e2｜＝ ＝ ＝＝. 2.　解析：由题意可得∠BAC＝＜，＞＝45°，｜｜＝2，｜｜＝＝2.因为＝＋，所以＝（ ＋）2＝｜｜2＋｜｜·｜｜cos 45°＋｜｜2，所以＝×4＋2×2×＋（2）2＝13，故｜｜＝. 【例3】　（1）B　因为·＝·，所以（－）＝·＝0，所以⊥，同理⊥，⊥，所以O是△ABC的垂心. （2）证明：设＝a，＝b，则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋， 所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－｜a｜2＋｜b｜2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 跟踪训练 　证明：设＝a，＝b，＝c，则＝c－b，＝c－a，＝b－a. 由｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2， 得a2＋（c－b）2＝b2＋（a－c）2＝c2＋（b－a）2， 即a2＋c2＋b2－2c·b＝b2＋a2＋c2－2a·c＝c2＋b2＋a2－2a·b，整理得c·b＝a· c＝b·a. ∴·＝（b－a）·c＝b·c－a·c＝0，·＝（c－b）·a＝c·a－b·a＝0，·＝（c－a）·b＝c·b－a·b＝0， ∴⊥，⊥，⊥，即OC⊥AB，OA⊥BC，OB⊥AC， ∴点O是△ABC的垂心. 随堂检测 1.B　由题意知a2＝2a·b，b2＝2a·b，所以｜a｜＝｜b｜，a·b＝｜a｜2，所以cos＜a，b＞＝＝，即＜a，b＞＝. 2.D　因为a＋b＋c＝0，则a＋c＝－b，即（a＋c）2＝b2，计算得a2＋c2＋2a·c＝b2.又因为｜a｜＝2，｜c｜＝1，a·c＝1，所以4＋1＋2＝｜b｜2，所以｜b｜＝. 3.　解析：由a·b＝0得（e1－2e2）·（ke1＋e2）＝0，整理得k－2＋（1－2k）cos ＝0，解得k＝. 4.证明：设此等腰直角三角形的直角边长为a， 则·＝· ＝·＋·＋·＋· ＝－a2＋0＋a·a·＋·a· ＝－a2＋a2＋a2＝0. 所以AD⊥CE. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $