8.1.2 向量数量积的运算律（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

4,解析：由题意Ai1·cos(AB,AC)=4×cos60°=4X2 =2. 答案：2 5.解：a在e方向上的投影的数量为acos8. 当0=60时，a在e方向上的投影的数量为acos60°=3； 当0=90°时，a在e方向上的投影的数量为acos90=0: 当0=120时，a在e方向上的投影的数量为aos120°=-3. 8.1.2向量数量积的运算律 课前预习学案 情境引入 提示：a·b=b·a (λa)b=a·(b)=(a·b) 知识梳理 知识点一、a·c十b·ca·c-b·c 知识点二、a2+2a·b+b2a2-2a·b+b2a2-b2a2+ b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a [思考] 1.提示：不满足.因为在向量数量积的运算中，若a·b=a· c(a≠0)，则表示向量c,b在向量a方向上的投影相等，并 不能说明b=c. 2.提示：向量的数量积运算不满足乘法结合律，即(a·b)c 不一定等于a(b·c),这是由于(a·b)c表示一个与c共 线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a 不一定共线 预习自测 1.B[(a+b)⊥(a-b),.(a+b)·(a-b)=0,∴.a2 -1b12=0,∴.a=b1.] 2.B[.|a-4b|2=a2-8a·b+16b =22-8×2×1×c0s60°+16×12=12， .a-4b1=23.] 3.解析：(a十b)·a=a2+a·b=0,∴a·b=-a2=-1, 设a与b的夹角为0， cos0=0·b 二1 a b 1x2 2' 又9e[0,0- 答案经 课堂互动学案 [例1][解](1)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b =2a2+5a|b1cos120°-3b2=8-15-27=-34. (2A正.B航=（市+2·(Ai-A)=A市-司 A-2成.Ad=1-×4-7×2×1×7=- 3 2 变式训练 1.C[AC.AB=|AC1AB1·cos∠A Ai.A=合A2=×62=18. .选C.] B [例2][解]由已知，a+b|=4,∴.a+b|2=42, .a2+2a·b+b2=16. ① a=2,b=3, .a2=a2=4,b2=b2=9, ·1 参考答案 代入①式得4+2a·b+9=16,即2a·b=3. 又.(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10, ∴.a-b=√10. 变式训练 2.解：由已知，a·b=4×8×(2）=-16。 (1)1a+b12=a2+2a·b+b2 =16+2×(-16)+64=48, .∴.a+b=4√3. (2)|4a-2b12=16a2-16a·b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64=3×162 .4a-2b|=16√5. [例3][解]由已知条件得 (a+3b)·(7a-5b)=0, {(a-4b)·(7a-2b)=0. 即7a2+16a·b-15b2=0 ① 17a2-30a·b+8b2=0 ② ②-①得23b2-46a·b=0, ∴.2a·b=b2,代入①得a2=b2,∴.|a=|b1, 1 .cos0=a6==. 0∈[0，x],.0=元 变式训练 3.解：a+b)L(a-哥)， (a+b·(口-吾b）=0. 即a2-ab-=0 a2=a2=4,b2=|b12=1, 4-3cos0-号=0.∴cos0=2 又9∈[0，π]. a与b的夹角0为号 [例4][解]由向量2te1+7e2与e1十te2的夹角9为钝 角，得cos0=②e,+7ea:e1+2)0, 2te1+7e2e+te2 .(2te1+7e2)·(e1十te2)<0. 化简得2r+151+7<0,解得-1<-是 当夹角0为π时，也有(2te1十7e2)·(e1十te2)<0,但此时 夹角不是钝角。 设2te1+7e2=a(e1+te2),a<0, 2t=入， √14， 则{7=λt,. √4故实数t的取值范围是 (a<0, 2 〔.四() 变式训练 4.解：(1)，a+b+c=0, ∴.a+b=-c,∴.|a+bl=|cl, .(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=c2, a…b=c2-a2-b2 2 =1c2-a2-b12=49-9-25= 2 2 2 3 必修第三册 又.a·b=al|bcos0, :1 2 =3X5×cos0, 0s0=号即9=60. (2)(n+b)⊥(a-2b), .(a+b)·(a-2b)=0, a2-2b2-2a·b+a·b=0, 9g-2X25-20×5+2-0 85 μ=一12 存在=管使得四十b与a一h垂直. 随堂步步夯实 1.C[①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2=(a|bcos 0)2=a2·b2cos20,故选C.] 2.A[设a与b的夹角为0， 由题意得(3a-2b)2=7, .9la2+4b2-12a·b=7, 1 又a=|b=1,∴.a·b=2, alb1cos0=号即cos0=子 又9e[0]a,b的夫角为行.] 3.B[a=4,b|=2,(b+a)·(b-a)=3a·b,.b2 a2=3a·b=4-16=-12,故3a·b=-12,得a·b= -4, 设向量a与向量b的夹角为0，则cos0=a,1b=4×2 a·b -4 =一司则0=，故选B] 4.解析：如图，由AM=3,且AP=2PM,可 知AP|=2. M为BC的中点， ∴.PB+PC=2PM=AP, ..PA.(PB+PC)=PA.AP=-AP2= |AP2=-4. 答案：一4 5.解：(1)c·d=(2a-b)·(a+2b) =2a2-2b2+3a·b =2×4-2×1+3×2X1×7=9. (2)c+2d2=(4a+3b)2 =16a2+9b2+24a·b =16×4+9×1+24×2×1×7=97, .|c+2d=√97. 8.1.3向量数量积的坐标运算 第1课时向量的坐标与向量的数量积 课前预习学案 情境引入 提示：a·b=x1x2十y1y2 知识梳理 知识点一、x1x2十y1y2乘积的和 知识点二、1.√x2+y22.√(x2-x1)2+(2-1)2 3.√J(x1-x2)2+(y1-y2)2 知识点三干干 xx2+y1y2 ·1 数学B [思考] 1.提示：方法一：a十b=(1,1)+(2,3)=(3,4), .a+b=√32+42=5. 方法二：a2=12+12=2,b12=22+32=13,a·b=1× 2+1×3=5. ∴.|a+b1=√a2+2a·b+b=√2+2X5+13=5. 2.提示：不能.因为a·b<0还包括a、b反向，即a、b夹角 是180°. 预习自测 1.B2.A 3.D[1b=√x2+16,a=√1+4=√5， ∴√Jx2+16=2√5，解得x=士2.] 课堂互动学案 [例1][解]（方法一）a=(1,2),b=(3,4), .a·b=(1,2)·(3,4)=1×3+2×4=11, (a-b)·(2a+3b)=2a2+a·b-3b2=2a2+a·b-3 b2=2×(12+22)+11-3×(32+42)=-54. (方法二)a=(1,2),b=(3,4),a·b=11. a-b=(1,2)-(3,4)=(-2,-2), 2a+3b=2(1,2)+3(3,4)=(2×1+3×3,2×2+3×4)= (11,16), .(a-b)·(2a+3b)=(-2,-2)·(11,16)=-2×11+ (-2)×16=-54. 变式训练 1.解：(1)a与b同向，且b=(1,2), .可设a=b=入(1,2)=（入，2λ），且A>0. 又由a·b=20,可得1×入十2×2入=20， 解得入=4>0..a=(4,8). (2),b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4, .(b·c)·a=4(4,8)=(16,32). [例2][解](1)a=(3,5),b=(-2,1), .a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3), .a-2b|=√72+32=√58. (2)a·b=-6+5=-1, ∴.c=a+b=(1,6), .|cl=12+62=√37. 变式训练 2.解析：(1)a=(2,1),∴a2=5, 又a+b|=5√2，∴.(a+b)2=50,即a2+2a·b+b2=50, .5+2×10+b2=50,.b2=25,.b=5. (2)由a+b=(1,3),得a=(2,1),.a-2b=(4,-3), ∴.a-2b1=√/42+（-3)2=5. 答案：(1)C(2)5 [例3][解](1)：点C是直线OP上的一点， ∴.向量OC与OP共线， 设OC=tOP(t∈R),则OC=t(2,1)=(2t,t), ∴.CA=OA-O元=(1-2t,7-t), CB=OB-OC=(5-2t,1-t), ∴.CA·CB=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t +12=5(t-2)2-8. 当t=2时，CA.CB取得最小值，此时O元=(4,2). (2)由(1)知OC=(4,2), ∴.CA=(-3,5),CB=(1,-1), .1CA=√34，CBl=2,CA·CB=-3-5=-8. ∴os∠ACB=CA·Ci47 ICAIICBI 17必修第三册 数学B ◇[变式训练] 2.已知向量a,b满足|a=4,a·b≥10，则a一2b 规律方法 的最小值是 ) A.1 B.2 C.3 D.4 求投影数量有两种方法 题型】 投影问题 (1)b在a方向上的投影数量为bcos0(0为a,b [例3]如图，在△ABC中，AB=AC =4,∠BAC=90,D是边BC的中 的夹角)，a在b方向上的投影数量为acos0. 点，求： D (1)AB在BD方向上的投影的数量； (2)BD的AB方向上的投影的数量. 2b在@方向上的投影数量为。，a在b方向 [思路点拨]注意a在b方向上的投影与b在a 方向上的投影的区别 上的投影数量为a:b /b ◇[变式训练] 3.已知a=8,b|=4,a与b的夹角为120°，则向量 b在a方向上的投影数量为 A.4 B.-4C.2 D.-2 随堂。步步夯实 1.已知a=6,b=3,a·b=一12，则向量a在向量 5.已知a=6,e为单位向量，当它们之间的夹角0分 别等于60°，90°，120°时，求出a在e方向上的投影 b方向上的投影数量是 的数量 A.-4 B.4 C.-2 D.2 2.已知b=4,a在b方向上的投影数量为2，则a·b 的值为 ( A.7 B.8 C.9 D.6 3.已知a=6,b=8,且(a,b)=60°，则b在a方向 上的投影数量为 4.已知△ABC是边长为4的等边三角形，则AB在AC ©温馨提正 上的投影数量为 学习至此，请完成配套训练 8.1.2向量数量积的运算律 课程标准 素养解读 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式 通过引人平面向量数量积的运算律，体会数学 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明 抽象及数学运算素养的生成过程 ·60· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 课前。预习学案 [情境引入] (a+b)(a-b)=a2-62Ka+b).(a-b)= 没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权 利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习 (a+b+c)2=a2十b 生活环境…可见，世间事物往往要遵循一定的规律 c2+2ab +2bc (a+b+c)2 和法则才能生存.初中我们学过实数的乘法运算及乘 +2ca 法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运 算律呢？ ?思考1.实数运算满足消去律，那么向量的数量 积运算是否也满足消去律？ [知识梳理] [知识点一] 平面向量数量积的运算律 运算律 向量数量积 2.实数运算满足乘法结合律，那么向量的数量积运 算是否也满足乘法结合律？ 交换律 a·b=b·a 结合律 (λa)·b=a·(b)=入(a·b) (a+b)·c= 分配律 (a-b)·c= 预习自测] 1.已知非零向量a,b满足(a十b)⊥(a-b),则( [知识点二]平面向量数量积的运算性质 A.a=b B.al=b 类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向 C.a⊥b D.a∥b 量数量积的运算性质. 2.已知a=2,|b|=1,a与b之间的夹角为60°，则 多项式乘法 向量数量积 a-4b= () A.2 B.2√5 C.6D.12 (a+b)2=a2+2ab+b (a+b)2= 3.已知a=1,|b=√2，且(a十b)与a垂直，则a与b (a-b)2=a2-2ab+b (a-b)2= 的夹角是 课堂。互动学案 数量积的运算 规律方法 题型 [例1门(1)已知|a=2,b1=3,a与b的夹角为 求两向量的数量积的两种常见题型 120°，求(2a-b)·(a十3b). (1)类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只 (2)在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1, ∠BAD=60°，E是CD的中点，求AE·BD的值. 需按照向量运算律展开即可求解. [思路点拨]利用数量积的运算律直接求解. (2)在平面图形中求两向量的数量积，一般先找好 基底，用基底表示所求向量，再进行基底之间的运 算即可求解。 ⊙[变式训练] 1.如图，在圆C中，弦AB的长度为6， 则AC.AB= A.6 B.12 C.18 D.无法确定 ·61· 必修第三册 数学B 题型二 求向量的模 规律方法 (1)通常用两向量垂直来列方程，达到化简条件或 [例2]已知向量a、b满足|a=2,b=3,|a+b 求值的目的. 4,求a-b. (2)要求a与b的夹角，只要求出a、b及a·b [思路点拨]要求a一b,利用模长公式a一b =√小a2a·b+b,只需求2a:b即可. 即可：注意句量夫角范国，由e0s0-日治(（共中 a、b是非零向量，0为a与b的夹角)判定0的大 小时，有五种可能情形：①当c0s0=1时，0=0°；② 当c0s0=0时，0=90°；③当c0s0=-1时，0= 180°；④当cos0且cos0≠-1时，0为钝角；⑤ 当cos>0,且cos≠1时，0为锐角 ◇[变式训练] 3.已知a=2.b=1,a+b)L(a-b求a与b 的夹角大小. 规律方法 此类问题直接套用公式求解即可. (1)a·a=a2=la2或a=√a·a. (2)a±b=√a2±2a·b+b ◇[变式训练] 2.已知a=4,|b=8,a与b的夹角是120°.计算 (1)a+b;(2)4a-2b. 题型四数量积的综合应用 [例4]设两个向量e1,e2满足e1|=2.|e2=1,向 量e1与e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与e1+ te2的夹角0为钝角，求实数t的取值范围. 汇思路点拨]首先根据夹角公式得出关于t的一 题型三两向量的垂直与夹角问题 元二次不等式，然后解式后，注意两向量共线的情 况 [例3]已知非零向量a,b满足a十3b与7a一5b互相垂 直，a一4b与7a-2b互相垂直，求a与b的夹角. 汇思路点拨]首先转化向量的两个垂直关系，得 出中间结论与cos0= 日治联立求根 ·62· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 ◇[变式训练] 规律方法 4.已知向量a,b,c,满足a+b+c=0,且a=3,b 1.求向量夹角时要注意： =5,c=7. (1)求a与b的夹角0； (1)当已知a,b是非坐标形式时，需求得a·b及a, (2)是否存在实数：使ua十b与a一2b垂直？ b或它们之间的关系； (2)当已知a,b的坐标时，可直接利用公式求解. (3)注意夹角的范围为[0，π]. 2.灵活应用a=a2,这给出了解决与模有关问 题的思路 随堂。步步夯实 1.下面给出的关系式中正确的个数是 () 5.已知向量a,b的夹角为60°，且|a=2,b=1,若c ①0·a=0;②a·b=b·a;③a2=|a2;④a·b =2a-b,d=a+2b,求： ≤a·b⑤(a·b)2=a2·b2. (1)c·d;(2)c+2d. A.1B.2C.3D.4 2.设向量a,b满足a=|b=1及3a-2b=√7，则 a,b的夹角为 () A号 B吾C平D 3.若a=4,|b=2,(b+a)·(b-a)=3a·b,则向 量a与向量b夹角为 A号 B.CF D. ⊙温馨提 4.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3,点P在 学习至此，请完成配套训练 AM上，且满足AP=2PM,则PA·(PB+PC)= 8.1.3 向量数量积的坐标运算 第1课时 向量的坐标与向量的数量积 课程标准 素养解读 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标 通过推导数量积的坐标运算及通过求 运算 夹角和模，体会逻辑推理素养及数学 2.能运用数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两 运算素养 点间的距离公式 课前。预习学案 [情境引入] 膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的 “我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞，飞过绝 “翅膀”一一坐标表示，它使平面向量的数量积同时具 望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳 有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几 也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞， 何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究. 给我希望…”，如果能为平面向量的数量积插上“翅 ·63·