8.1.2 向量数量积的运算律（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 13.已知a=1,b=2,a与b的夹角为120°，求使a 当a十bb与ka+b同向时，设a+b=入(ka十b)(入 十b与ka十b的夹角为锐角的实数k的取值 >0). 范围. 由已知a,b不共线，可得Ak=1,k=入， 解：(a+b)·(ka+b)=a2+(k+1)a·b+b 解得k=入=1， =k+(k2+1)×2×c0s120°+4k 因此，实数的取值范围是 =-k2+5k-1. 令-k十5k-1>0,解得5√②I<6<5十√2四 {k15=2<<5+),且k≠1.} 2 2 2 2 8.1.2向量数量积的运算律 课程标准 素养解读 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式 通过引入平面向量数量积的运算律，体会数学 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明 抽象及数学运算素养的生成过程 课前。预习学案 对应学生用书P61 [情境引入] (a+b+c)2=a2+b 没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权 (a+b+c)2=a2+b2+c +c2 2ab +2bc 利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习 +2a·b+2b·c+2c·a +2ca 生活环境…可见，世间事物往往要遵循一定的规律 和法则才能生存，初中我们学过实数的乘法运算及乘 ?思考1.实数运算满足消去律，那么向量的数量 法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运 积运算是否也满足消去律？ 算律呢？ 提示：不满足.因为在向量数量积的运算中，若a 提示：a·b=b·a ·b=a·c(a≠0)，则表示向量c,b在向量a方 (λa)b=a·(λb)=λ(a·b) 向上的投影相等，并不能说明b=c [知识梳理] 2.实数运算满足乘法结合律，那么向量的数量积运 算是否也满足乘法结合律？ [知识点一] 平面向量数量积的运算律 提示：向量的数量积运算不满足乘法结合律，即 运算律 向量数量积 (a·b)c不一定等于a(b·c),这是由于(a·b)c 交换律 a·b=b·a 表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个 结合律 (aa)·b=a·(b)=λ(a·b) 与a共线的向量，而c与a不一定共线. [预习自测] (a+b)·c=a·c+b·c 分配律 1.已知非零向量a,b满足(a十b)⊥(a一b),则( (a-b)·c=a·c-b·c A.a=b B.al=bl [知识点二]平面向量数量积的运算性质 C.a⊥b D.a∥b 类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向 解析：B[.(a+b)⊥(a-b),.(a+b)·(a-b) 量数量积的运算性质， =0,∴.a2-b12=0,.a=b.] 多项式乘法 向量数量积 2.已知a=2,|b|=1,a与b之间的夹角为60°，则 a-4b|= () (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2a·b+b A.2 B.2√5C.6D.12 (a- b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=a2-2a·b+b 解析：B[:a-4b2=a2-8a·b+16b (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)=a2-b2 =22-8×2×1×cos60°+16×1=12， ∴.a-4b=25.] ·114· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 3.已知a=1,b=√2，且(a十b)与a垂直，则a与b ..cos = a·b 的夹角是 ab1×√2 21 解析：(a十b)·a=a2+a·b=0,.a· b=-a 又0e[0,1∴0-8要。 =-1, 设a与b的夹角为0， 答案：买 课堂。互动学亲 对应学生用书P61 题型一 数量积的运算 [思路点拨了要求a-b,利用模长公式a-b [例1](1)已知a=2,|b|=3,a与b的夹角为 =√a-2a·b+b,只需求2a·b即可. 120°，求(2a-b)·(a+3b). [解]由已知，a+b=4,∴.a+b2=42, (2)在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1, .a+2a·b+b=16. ① ∠BAD=60°，E是CD的中点，求AE·BD的值. a=2,b=3, 汇思路点拨利用数量积的运算律直接求解。 .a2=|a2=4,b2=b12=9, [解](1)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2 代入①式得4+2a·b+9=16,即2a·b=3. =2a2+5a|b1cos120°-3b12=8-15-27= 又.(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10, -34. ∴.|a-b=√10. (2)A正.B元=(AD+2A·(Ad-A=AD 规律方法 2A店-2A店.Ai=1-2×4-2×2X1× 此类问题直接套用公式求解即可， (1)a·a=a2=a2或a=√a·a. (2)a±b=√a±2a:b+b. 规律方法 ⊙[变式训练] 求两向量的数量积的两种常见题型 2.已知a=4,b=8,a与b的夹角是120°.计算 (1)类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只 (1)a+b:(2)4a-2b 需按照向量运算律展开即可求解 (2)在平面图形中求两向量的数量积，一般先找好 解：由已知，a·b=4×8× 基底，用基底表示所求向量，再进行基底之间的运 (1).a+b12=a2+2a·b+b2 算即可求解. =16+2×(-16)+64=48, ◇[变式训练] .a+b|=45. 1.如图，在圆C中，弦AB的长度为6， (2)4a-2b12=16a2-16a·b+4b 则AC·AB =16×16-16×(-16)+4×64=3×16 A.6 B.12 .14a-2b=163. C.18 D.无法确定 题型两向量的垂直与夹角问题 解析：C [AC.AB=IACIIAB [例3]已知非零向量a,b满足a十3b与7a一5b互相垂 ·cos∠A= AD·A店=A 直，a一4b与7a-2b互相垂直，求a与b的夹角. 汇思路点拨]首先转化向量的两个垂直关系，得 1×62=18. 出中间结论与c050&6联立求解， 选C.] 题型三 求向量的模 [解] 由已知条件得 (a+3b)·(7a-5b)=0, (a-4b)·(7a-2b)=0. [例2]已知向量a、b满足|a=2,b1=3,a+b (7a2+16a·b-15b2=0 ① 4,求a-b. (7a2-30a·b+8b2=0 ② ·115· 必修第三册 数学B ②-①得23b2-46a·b=0, .(2te1+7e2)·(e1+te2)<0. ∴.2a·b=b2,代入①得a2=b2,∴.a=b, 化简得2r+15u+7<0,解得-7<1<- cos0=g次 1 当夹角0为π时，也有(2te1+7e2)·(e1十te2)<0, a1b-1b=2· 但此时夹角不是钝角. 9∈[0，x],∴.0=F 设2te1+7e2=入(e1十te2),入<0， 31 2t=入， 入=-√14， 规律方法 7=λt, √14 故实数t的取值范围是 (1)通常用两向量垂直来列方程，达到化简条件或 λ0， 求值的目的 (2)要求a与b的夹角，只要求出a、b|及a·b 即可.注意向量夫角范国，由c0s0=日：力（其中 ab 规律方法 a、b是非零向量，0为a与b的夹角)判定0的大 1.求向量夹角时要注意： 小时，有五种可能情形：①当c0s0=1时，0=0°；② (1)当已知a,b是非坐标形式时，需求得a·b及a, 当c0s0=0时，0=90°；③当cos0=-1时，0= b或它们之间的关系； 180°；④当cos0<0且cos0≠-1时，0为钝角：⑤ (2)当已知a,b的坐标时，可直接利用公式求解. 当cos0>0,且cos0≠1时，0为锐角. (3)注意夹角的范围为[0，π]. 2.灵活应用a=a2,这给出了解决与模有关问间 ⊙[变式训练] 题的思路： 3已知1a=2.=1,a十b(ab,求a与b ◇[变式训练] 的夹角大小 4.已知向量a,b,c,满足a+b+c=0,且a=3,b =5,cl=7. (1)求a与b的夹角0； t.(a+)a)-0. (2)是否存在实数u使ua+b与a-2b垂直？ 解：(1)，a+b+c=0, 即a2-a…b2=0 .a+b=-c,∴.|a+b|=c, ,a2=a2=4,b2=b12=1, .(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=e2, 4-3c0s0- =0.c0s0=1 5 a…b=c2-a2-b 2 2 21 又.0∈[0，π]. =c2-a2-b2=49-9-25_15 2 2 六a与b的夫角0为导 又.a·b=al bcos0, 题型四 数量积的综合应用 2-3X5Xc0s0, [例4]设两个向量e1,e2满足|e1=2.e2|=1,向 e0s0=2即0=60 量e,与e2的夹角为60°，若向量2te1十7e2与e,+ (2),(+b)⊥(a-2b), te2的夹角0为钝角，求实数t的取值范围. ∴.(a+b)·(a-2b)=0, [思路点拨]“首先根据夹角公式得出关于t的一 ∴.4a2-2b2-2pa·b+a·b=0, 元二次不等式，然后解式后，注意两向量共线的情 况 9g-2×25-2p×5+5=0, 85 [解]由向量2te1+7e2与e1十e2的夹角0为钝 =一12 ,泽m0=2g0i0 ·存在以= 管侯得a十b与a一2b垂立. ·116… 第八章向量的数量积与三角恒等变换 随堂。步步夯实 对应学生用书P63 -● 1.下面给出的关系式中正确的个数是 ( ①0·a=0;②a·b=b·a;③a2=|a|2;④a·b 设向量a与向量b的夹角为0，则ms0-。:6 ≤a·b⑤(a·b)2=a2·b2. =清名则0=要故选B] A.1B.2C.3D.4 4.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3,点P在 解析：C[①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2= AM上，且满足AP=2PM,则PA·(PB+PC)= (a|bcos0)2=a2·bcos20,故选C.] 2.设向量a,b满足a=b=1及3a-2b=√7，则 解析：如图，由AM=3,且AP=2 a,b的夹角为 PM,可知AP=2. A. B.若 C年D. ,M为BC的中点， 解析：A[设a与b的夹角为0， ∴PB+PC=2PM=AP, 由题意得(3a-2b)2=7, ..PA.(PB+PC)=PA AP=-AP=-AP= .9a2+4|b12-12a·b=7, -4. 又a=b=1a…b=2, 答案：一4 5.已知向量a,b的夹角为60°，且a=2,|b=1,若c abos0=2即cos0-2 =2a-b,d=a+2b,求： (1)c·d;(2)c+2d. 又9e[0,]a,b的夫角为号] 解：(1)c·d=(2a-b)·(a+2b) =2a2-2b2+3a·b 3.若a=4,b=2,(b+a)·(b-a)=3a·b,则向 量a与向量b夹角为 =2×4-2X1+3×2×1X2=9. A答B C. n (2)c+2d2=(4a+3b)2 =16a2+9b2+24a·b 解析：B[a=4,b=2,(b十a)·(b-a)=3a =16×4+9X1+24X2×1×1 =97, ·b,.b2-a2=3a·b=4-16=-12,故3a·b= -12,得a·b=-4, ∴.c+2d=√97. 课后。素养提升 对应学生课时P35 基础过关 解析：A[:12a+b2=4a2+b2+4a·b=36+16 JI CHU GUO GUAN 1.设e和e2是互相垂直的单位向量，且a=3e,+ +48=100,.2a+b1=10.] 2e2,b=-3e1十4e2,则a·b等于 3.设向量a,b满足a十b=√/10，|a-b=√6，则a· A.-2 B.-1 b等于 () C.1 D.2 A.1 B.2 解析：B[因为e=e2=1,e1·e2=0, C.3 D.5 所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9e12 +8|e212+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0= 解析：A[|a十b|2=(a+b)2=a十2a·b十b -1.] =10, 2.已知a,b方向相同，且a=3,b=4,则2a十b= a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6, ( ) 将上面两式左右两边分别相减，得4a·b=4, A.10 B.100 .a·b=1.] C.11 D.121 ·117· 必修第三册 数学B 4.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB 8.已知正方形ABCD的边长为2，则AB·(AC+ OC)·(OB+O元-2OA)=0,则△ABC的形状为 AD) 解析：正方形ABCD的边长为2， A.等腰三角形 B.直角三角形 AB·(AC+AD)=AB·(AB+2AD)=AB+2 C.正三角形 D,等腰直角三角形 AB·AD=4. 解析：A[因为(O店-OC)·(O+O元-2OA) =0, 即CB.(AB+AC)=0, 又因为AB-AC-CB. 所以(AB-AC)·(AB+AC)=0, 答案：4 即AB1=|AC, 9.(多空题)若a=1,b=2,c=a十b且c⊥a,则向量a与b 所以△ABC是等腰三角形.] 的夹角为 ,(a-b)·c= 5.已知非零向量m,n满足4m|=3n,cos(m,n)= 解析：由c⊥a得，a·c=0,所以a·c=a·（a十b) =0,即a2十a·b=0.设向量a与b的夹角为0，则 名若n1《ma.则实数：的值为 =日治a。专所以向童a与0的 a·b-a2 1 A.4 B.-4 夹角0=120 c D.、9 4 (a-b)·c=(a-b)(a+b)=a2-b2=1-4=-3. 答案：120°-3 解桥：B[由题惑知cosm,m)=州设- 4 10.已知a=b=5,向量a与b的夹角0为5.求 1 la+bl,a-bl. 3, 所以m·n=n3=,因为(m十n)=0, 解：ab=abco9-=5X5x号- |a+b=√(a+b)=√1a2+2a·b+b 所以m·n十=0，即子m十后=0，所以1 25+2×空+25=55. -4.] |a-b|=√(a-b)=√a2-2a·b+b 6.(多选题)已知两个非零向量a,b满足|a十b|=a 一b,则下面结论错误的是 25-2×罗+25=5. A.a∥b B.a⊥b 11.已知非零向量a,b,满足a=1,(a-b)·(a+b) C.lal=b D.a+b=a-b 名且ab2 解析：ACD[由a+b=a-b可得a·b=0,. (1)求向量a,b的夹角；(2)求a-b. a⊥b,B正确.] 7.已知a=1,b=√2，且(a十b)与a垂直，则a与b 解：1(a-ba+b)= 的夹角是 ∴d-b=3,即a3-1b=: 解析：解析：(a十b)·a=a2十a·b=0,.a·b= -a2=-1, 又a=1,b1=2 2 设a与b的夹角为0， 设(a,b)=0, cos0=a·b -1 2 ab1×W2 2 ab=2abms=2doms0- 2 又0e[0,x]0=3r .向量a,b的夹角为45°. 4 (2).a-b12=(a-b)2=a|2-2a|bcos0+ 答案： b=子a-b1- 2 ·118 第八章向量的数量积与三角恒等变换 能力提升 13.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互 NENG LI TI SHENG 之间的夹角均为120° 12.已知a=4,b=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求证：(a-b)⊥c: (1)求|a+b; (2)若|ka十b+c>1(k∈R),求k的取值范围. (2)求向量a在向量a十b方向上的投影数量， 解：(1)因为a=|b=|c=1,且a、b、c之间的 解：(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-3b2-4a·b= 夹角均为120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c 4×16-3×9-4a·b=61,解得a·b=-6,∴.a =allelcos120°-bl|ccos120°=0， +b2=a2+b2+2a·b=16+9-12=13,.|a+ 所以(a-b)⊥c. b=√13. (2)因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)2>1, (2)设a与a十b的夹角为0，a·(a十b)=a2+a·b= 即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1, 10,.cos0= 4X不厉2后则a在a十b方向上 10-5 所以k2+1+1+2kcos120°+2kcos120°+2cos120 >1. 的投影数量为acos0=4X5=10W国 所以一2k>0,解得k<0,或k>2. 2√/13 131 所以实数k的取值范围为{kk<0,或b>2}. 8.1.3 向量数量积的坐杯运算 第1课时 向量的坐标与向量的数量积 课程标准 素养解读 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标 通过推导数量积的坐标运算及通过求 运算 夹角和模，体会逻辑推理素养及数学 2.能运用数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两 点间的距离公式 运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P63 [情境引入] 若a=(x1y1),b=(x2y2),0是a与b的夹角，则 “我知道我一直有双隐形 (1)a·b=|a|bcos0=21x2+y1y2: 的翅膀，带我飞，飞过绝望，不 特别地a·a=a=a2=x十y, 去想他们拥有美丽的太阳，我 即a=√+y 看见每天的夕阳也会有变化， (2)当a,b同向时， 我知道我一直有双隐形的翅 0 膀，带我飞，给我希望…”， a·b=a|b=√a+y·√x号+y; 如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多 当a,b反向时， 远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”—一坐标 a·b=-aIb=-√+听·√+； 表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代 当a,b垂直时， 数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化， a·b=a|bcos90°=x1x2+y1y2=0. 把“定性”研究推向“定量”研究. (3)a·b≤la|bl, [问题]在平面直角坐标系中，设，j分别是x轴和 y轴方向上的单位向量，a=(3,2),b=(2,1),则a·b 即a·b=|xx十yy2≤√+yV+y 的值为多少？a·b的值与a,b的坐标有怎样的关 [知识点二]向量模的计算公式 系？若a=（x1y1),b=(x2y2),则a·b为多少？ 1.若a=(xy),则a=√2十y. 提示：a·b=1x2十y1y2 2.如果向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x,y) [知识梳理] (x2y2),那么a一√(x2-1)2+(2一y1) [知识点一]平面向量数量积的坐标表示 3.两点间的距离公式：若A(x1,y1),B(x2y2),则 设向量a=(x1,y1),b=(x2y2),则a·b=21x2十 y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘 |AB=√a1-x2)+(y1-y2). 积的和 ·119·