8.1.1 向量数量积的概念(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦向量数量积的概念这一核心知识点，承接向量线性运算，为后续数量积应用奠定基础。通过物理“功”的实例引入，逐步构建向量夹角定义、数量积公式、投影向量等学习支架，形成递进式知识脉络。 该资料以物理实例为起点培养数学抽象能力，设置“想一想”问题链引导逻辑推理，例题涵盖数量积计算、投影向量等题型强化数学运算。课中助力教师引导学生探究，课后练习题帮助学生巩固知识，有效查漏补缺。

8.1.1　向量数量积的概念 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义（数学抽象）. 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系（数学运算）. 3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直关系（逻辑推理）. 　　我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为｜F｜ N，小车在水平面上位移s的大小为｜s｜ m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜F｜｜s｜cos θ. 【问题】　（1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？ （2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　两个向量的夹角 定义 给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的　　　为向量a与向量b的夹角，记作　　　　 范围 　　　　　 特例 ＜a，b＞＝0 a与b　　 ＜a，b＞＝π a与b　　 ＜a，b＞＝　 a与b垂直，记作　　　，规定　　　　与任意向量垂直 【想一想】 　如果a，b是两个非零向量，那么＜a，b＞＝＜b，a＞成立吗？ 如图，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为　　　　. 知识点二　向量的数量积 1.定义：当a与b都是非零向量时，称　　　　　为向量a与b的数量积（也称为内积），记作a·b，即a·b＝　　　　　　　. 2.两个非零向量a，b的数量积的性质 不等式 ｜a·b｜　　｜a｜｜b｜ 恒等式 a·a＝　　＝　　　，即｜a｜＝　　　　 向量垂直 的充要条件 a⊥b⇔　　　　　　 3.投影向量及向量数量积的几何意义 （1）设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A'，B'，则称向量为向量a在直线l上的　　　　　　或　　　　； （2）如果a，b都是非零向量，则称　　　　　　为向量a在向量b上的投影的数量； （3）两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的　　　　　　　与b的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义. 【想一想】 1.向量的数量积a·b与向量加法、减法和数乘的区别是什么？ 2.根据向量数量积的定义，如何求两个非零向量a与b的夹角？ 3.一个向量在一个非零向量上的投影，与这个非零向量共线吗？若共线，它们的方向相同还是相反？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两向量的数量积是一个实数.（　　） （2）向量a在b上的投影仍为向量.（　　） （3）向量a在b方向上的投影的数量与向量b在a方向上的投影的数量相等.（　　） 2.已知平面向量｜a｜＝2，｜b｜＝3，＜a，b＞＝，则a·b＝（　　） A.2　　　　　　　　 B.3 C.6 D.0 3.已知｜a｜＝3，向量a与b的夹角为，则a在b上的投影的数量为（　　） A. B. C. D. 4.已知｜m｜＝2，m·n＝8，m与n的夹角为60°，则｜n｜＝　　　　. 题型一｜向量的数量积 【例1】　已知｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角是60°时，分别求a·b. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　求向量的数量积时，若已知向量的模及其夹角，则可直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，两向量的夹角可以直接确定的条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 【跟踪训练】 　〔多选〕已知a，b，c是三个非零向量，下列选项正确的是（　　） A.a·b＝±｜a｜·｜b｜⇔a∥b B.a，b反向⇔a·b＝－｜a｜｜b｜ C.a⊥b⇔｜a＋b｜＝｜a－b｜ D.｜a｜＝｜b｜⇔｜a·c｜＝｜b·c｜ 题型二｜投影向量与投影的数量 【例2】　（1）已知向量a在向量b上的投影向量为b，｜b｜＝4，则a·b＝（　　） A.6　　　B.12　　　C.24　　　D.9 （2）已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，a·b＝－12，则向量b在向量a上的投影向量为（　　） A.－a B.－b C.－b D.－a 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 投影向量及其求法 （1）向量a在b所在直线上的投影是一个向量，向量a在b所在直线上的投影的数量是一个实数； （2）向量a在向量b上的投影向量为｜a｜cos θ.向量b在向量a上的投影向量为｜b｜cos θ·； （3）向量a在向量b上的投影的数量是｜a｜cos＜a，b＞，向量b在向量a上的投影的数量是｜b｜cos＜a，b＞，二者不能混为一谈. 【跟踪训练】 　已知｜a｜＝3，｜b｜＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求： （1）a在b上的投影向量； （2）b在a上的投影向量. 题型三｜向量数量积的综合应用 【例3】　已知a，b是两个非零向量： （1）若｜a｜＝3，｜b｜＝4，｜a·b｜＝6，求a与b的夹角； （2）若｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，求a与a＋b的夹角. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 　（变条件、变设问）若将本例（2）条件“｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜”改为“｜a＋b｜＝｜a－b｜＝2｜a｜”，求向量a＋b与a－b的夹角. 通性通法 求向量夹角的基本步骤及注意事项 （1）基本步骤： （2）注意事项：在个别含有｜a｜，｜b｜与a·b的等量关系式中常利用消元思想计算cos＜a，b＞的值. 【跟踪训练】 1.已知向量｜a｜＝10，｜b｜＝12且a·b＝－60 ，则向量a与b的夹角为（　　） A.60°　　 B.120°　　　 C.135°　　 D.150° 2.已知a·b＝－12，｜a｜＝4，a，b的夹角为135°，则｜b｜＝（　　） A.12 B.3 C.6 D.3 1.已知向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，a，b的夹角为θ，若tan θ＝，则a·b的值为（　　） A.1 B.2 C.3 D.－1 2.已知平面向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，则a2＋b2＝（　　） A.2 B.3 C.5 D.－5 3.已知｜a｜＝2｜b｜，且＜a，b＞＝，则b在a上的投影向量为（　　） A.－a B.－3a C.a D.3a 4.若四边形ABCD满足＋＝0，且·＝0，试判断四边形ABCD的形状. 提示：完成课后作业　第八章　8.1　8.1.1 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.1　向量数量积的概念 【基础落实】 知识点一 　∠AOB　＜a，b＞　0≤＜a，b＞≤π　同向　反向　　a⊥b　零向量　 想一想 　提示：成立. 自我诊断 　互补　解析：根据向量夹角定义可知向量，夹角为A，而向量，夹角为π－A，故二者互补. 知识点二 1.｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　2.≤　a2　｜a｜2　　a·b＝0 3.（1）投影向量　投影　（2）｜a｜cos＜a，b＞ （3）投影的数量 想一想 1.提示：向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；向量加法、减法和数乘仍是向量，既有大小又有方向. 2.提示：先求cos＜a，b＞＝，再根据余弦值求＜a，b＞. 3.提示：一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们既有可能方向相同，也有可能方向相反. 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）× 2.B　因为｜a｜＝2，｜b｜＝3，＜a，b＞＝，则a·b＝｜a｜｜b｜cos＝2×3×＝3. 3.D　向量a在b上的投影的数量为｜a｜cos θ＝3×cos ＝.故选D. 4.8　解析：∵m·n＝｜m｜｜n｜cos＜m，n＞，∴｜n｜＝＝8. 【典例研析】 【例1】　解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°， ∴a·b＝｜a｜｜b｜cos 0°＝3×6×1＝18. 若a与b反向，则它们的夹角为180°， ∴a·b＝｜a｜｜b｜cos 180°＝3×6×（－1）＝－18. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°，∴a·b＝0. ③当a与b的夹角是60°时， a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝3×6×＝9. 跟踪训练 　ABC　因为a，b，c为三个非零向量，若｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜·｜cos θ｜＝｜a｜·｜b｜⇔｜cos θ｜＝1⇔cos θ＝±1⇔θ＝0或π⇔a∥b，故A正确.a，b反向⇔θ＝π⇔cos θ＝－1⇔a·b＝－｜a｜·｜b｜，故B正确.a⊥b⇔a·b＝0⇔｜a＋b｜2＝｜a－b｜2⇔｜a＋b｜＝｜a－b｜，故C正确.若｜a｜＝｜b｜，＜a，c＞与＜b，c＞不一定相等，故｜a·c｜＝｜b·c｜不成立，当｜a·c｜＝｜b·c｜时，只能说明a，b在c上的投影相等，但｜a｜＝｜b｜不一定成立，故D错误. 【例2】　（1）C　（2）A　解析：（1）设 a，b的夹角为 θ，因为向量a在向量 b上的投影向量为｜a｜cos θ·＝b，所以｜a｜cos θ＝｜b｜.又因为｜b｜＝4，则 a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝｜b｜2＝×42＝24. （2）设a与b的夹角为θ，则向量b在向量a上的投影向量为｜b｜·cos θ·＝｜b｜··＝·a＝×a＝－a. 跟踪训练 　解：（1）∵｜b｜＝1，∴b为单位向量. ∴a在b上的投影向量为｜a｜cos 120°·b＝3×b＝－b. （2）∵｜a｜＝3，∴＝a， ∴b在a上的投影向量为｜b｜cos 120°＝1··a＝－a. 【例3】　解：（1）因为a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞， 所以｜a·b｜＝｜｜a｜｜b｜cos＜a，b＞｜＝｜a｜｜b｜｜cos＜a，b＞｜＝6. 又｜a｜＝3，｜b｜＝4， 所以｜cos＜a，b＞｜＝＝＝， 所以cos＜a，b＞＝±. 因为＜a，b＞∈[0，π]， 所以a与b的夹角为或. （2）如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作▱OACB， 因为｜a｜＝｜b｜，即｜｜＝｜｜， 所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB， 这时＝a＋b，＝a－b， 因为｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜， 即｜｜＝｜｜＝｜｜， 所以∠AOB＝，所以∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为. 母题探究 　解：如图在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中， 因为｜a＋b｜＝｜a－b｜，所以四边形ABCD为矩形. 在Rt△ABD中，｜a－b｜＝2｜a｜， 所以∠ABD＝. 所以a＋b和a－b的夹角为. 跟踪训练 1.B　因为｜a｜＝10，｜b｜＝12且a·b＝－60，所以cos＜a，b＞＝＝＝－，又0°≤＜a，b＞≤180°，所以＜a，b＞＝120°，即向量a与b的夹角为120°. 2.C　a·b＝｜a｜｜b｜cos 135°＝－12，又｜a｜＝4，所以｜b｜＝6. 随堂检测 1.A　因为向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，＜a，b＞＝θ，tan θ＝，θ∈[0，π]，则θ＝，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝1. 2.C　因为｜a｜＝1，｜b｜＝2，所以a2＋b2＝｜a｜2＋｜b｜2＝5. 3.A　因为｜a｜＝2｜b｜，＜a，b＞＝，所以b在a上的投影向量为｜b｜cos ＜a，b＞＝cos ＜a，b＞a＝cos·a＝－a. 4.解：因为＋＝0， 所以＝，即AB∥DC，且AB＝DC， 所以四边形ABCD为平行四边形. 又因为·＝0，所以⊥，即AB⊥BC. 所以四边形ABCD为矩形. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $