8.1.1 向量数量积的概念-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第三册)

8.1.1 向量数量积的概念 一、两个向量的夹角 1、定义：给定两个非零向量，，在平面内任选一点，作，， 则称内的为向量与向量的夹角，记作． 2、性质：当时，与同向；当时，与反向． 3、向量垂直：如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作． 由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。 二、向量数量积的定义 1、定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)； 2、记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 三、向量的投影及向量数量积的几何意义 1、设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 2、在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． 3、几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积。 投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。 四、向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）； （5） 题型一 向量数量积的概念辨析 【例1】（2022春·黑龙江佳木斯·高一建三江分局第一中学校考期末）“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2022春·山西太原·高一统考期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2022春·江苏淮安·高一校考阶段练习）在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ） A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是锐角 D．与的夹角是钝角 【变式1-3】（2021春·江西宜春·高一江西省万载中学校考期末）下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则这两个向量夹角为锐角 C．若，，则 D．若//，//，则// 【变式1-4】（2021春·福建莆田·高一校考期中）（多选）已知单位向量，，则下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 题型二求向量的数量积 【例2】（2023·全国·高一专题练习）已知向量和向量的夹角为30°，，，则______． 【变式2-1】（2022·高一课时练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ） A．12 B．8 C．-8 D．2 【变式2-2】（2022春·福建三明·高一统考期末）在边长为2的正方形ABCD中，E为BC中点，则（ ） A．2 B．4 C． D．5 【变式2-3】（2022春·上海闵行·高一校考期末）如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 题型三 求向量的投影 【例3】（2023·高一课时练习）已知，，，则在方向上的数量投影为________． 【变式3-1】（2023·高一课时练习）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量方向上的投影向量是________． 【变式3-2】（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（ ） A． B． C．2 D．4 【变式3-3】（2022春·浙江台州·高一统考期末）已知与的夹角为. （1）求； （2）求在上的投影向量的模长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.1 向量数量积的概念 一、两个向量的夹角 1、定义：给定两个非零向量，，在平面内任选一点，作，， 则称内的为向量与向量的夹角，记作． 2、性质：当时，与同向；当时，与反向． 3、向量垂直：如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作． 由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规