7.3.5 已知三角函数值求角(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦“已知三角函数值求角”核心知识点，通过三角函数线直观分析，结合arcsin x、arccos x、arctan x符号表示特定区间内角，构建从具体问题（如sin x=值求角）到符号应用再到不同范围（R、[0,2π]等）求解的学习支架。 资料以“大海航行方向计算”问题导入，培养数学眼光，通过分题型例题（正弦、余弦、正切）及表格通性通法总结，强化数学运算与逻辑推理（数学思维），课中辅助教师分层教学，课后练习助学生巩固，有效查漏补缺。

7.3.5　已知三角函数值求角 1.会利用三角函数线求角（直观想象、数学运算）. 2.会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角（数学运算）. 　　大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数在内的广泛的数学知识. 【问题】　已知sin x＝，你能求出满足条件的角x吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　arcsin x，arccos x，arctan x的含义 1.任意给定一个y∈[－1，1]，当sin x＝y且x∈时，通常记作：x＝　　　　　　. 2.在区间[0，π]内，满足cos x＝y（y∈[－1，1]）的x只有一个，通常记作：x＝　　　　　　. 3.在区间内，满足tan x＝y（y∈R）的x只有一个，通常记作：x＝　　　　　　. 【想一想】 　符号arcsin α（α∈[－1，1]），arccos α（α∈[－1，1]），arctan α（α∈R）分别表示什么？ 1.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.arcsin＝－ B.arcsin 0＝0 C.arcsin（－1）＝π D.arcsin 1＝ 2.已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝　　　　. 3.已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x＝　　　　. 题型一｜已知正弦函数值求角 【例1】　求下列范围内适合sin x＝的x的集合. （1）x∈；（2）x∈[0，2π]；（3）x∈R. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.给值求角问题，关键是看角的范围，通常借助单位圆或三角函数在一个周期上的图象，根据相应三角函数值确定一个单调区间内或一个周期内的角，再利用终边相同角把所求范围内的所在角表示出来. 2.对于已知正弦值求角有如下规律 sin x＝α （｜α｜≤1） x∈ x∈[0，2π] x＝arcsin α 0≤α≤1 －1≤α＜0 x1＝arcsin α， x2＝π－arcsin α x1＝π－arcsin α， x2＝2π＋arcsin α 【跟踪训练】 　已知sin＝，x∈R，求角x的取值集合. 题型二｜已知余弦函数值求角 【例2】　（1）已知cos＝，求x； （2）求不等式cos＞－的解集. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 已知余弦值求角的方法 （1）若为特殊角的余弦值，根据角的范围确定角的大小； （2）若为非特殊角的余弦值，对应关系如下表： cos x＝ a（｜a｜≤1） x∈[0，π] x∈[0，2π] x＝arccos a x1＝arccos a， x2＝2π－arccos a 【跟踪训练】 　已知cos α＝－，若满足：（1）α∈[0，π]；（2）α∈[0，2π]；（3）α∈R.分别求角α. 题型三｜已知正切函数值求角 【例3】　已知tan α＝－1，若满足：（1）α∈（ －，）；（2）α∈[0，2π]；（3）α∈R.分别求角α. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 已知正切值求角的方法 （1）若为特殊角的正切值，根据角的范围确定角的大小和角的个数； （2）若为非特殊角的正切值，对应关系如下表： tan x＝ a（a∈R） x∈（ －，） x∈[0，2π] （ x≠且x≠） x＝arctan a a≥0 a＜0 x1＝ arctan a， x2＝π＋ arctan a x1＝π＋ arctan a， x2＝2π＋ arctan a 【跟踪训练】 1.tan 2x＋1＝0在区间（1，3）内的解是　　　　　. 2.写出方程sin 3x＝1在x∈（ ，π）内的解集　　　　. 1.若sin α＝－，α∈（ －，0），则α＝（　　） A.－　　　　　B.－ C.－ D.－ 2.＝（　　） A. B.0 C.1 D.－ 3.〔多选〕方程tan（ 2x＋）＝在区间[0，π]上的解为（　　） A.0 B. C. D.π 提示：完成课后作业　第七章　7.3　7.3.5 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.5　已知三角函数值求角 【基础落实】 知识点 1.arcsin y　2.arccos y　3.arctan y 想一想 　提示：arcsin α表示在区间上，正弦值为α的角；arccos α表示在区间上，余弦值为α的角；arctan α表示在区间上，正切值为α的角. 自我诊断 1.ABD　根据已知正弦值求角的定义知arcsin（－1）＝－，故C项错误.易知A、B、D正确. 2.或　解析：因为α是三角形的内角，所以α∈（0，π）， 当sin α＝时，α＝或. 3.或　解析：∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π]. ∵tan 2x＝－，∴2x＝或2x＝， ∴x＝或. 【典例研析】 【例1】　解：（1）由y＝sin x在上是增函数及反正弦函数的概念， 知适合sin x＝的角x只有一个， 即x＝.这时，适合sin x＝的x的集合为. （2）当x∈[0，2π]时，由诱导公式sin（π－x） ＝sin x＝及sin ＝sin ＝， 可知x1＝，x2＝. 这时，适合sin x＝的x的集合为. （3）当x∈R时，据正弦函数的周期性可知x＝2kπ＋（k∈Z）或x＝2kπ＋（k∈Z）时，sin x＝， 则所求的x的集合是{x，k∈Z或x＝2kπ＋，k∈Z}. 跟踪训练 　解：法一　由sin＝＞0可知， 角x＋对应的正弦线方向朝上， 且长度为. 作出示意图如图①所示. 由图①可知角x＋的终边可能是OP，也可能是OP'. 又sin＝sin＝， 所以x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z， 即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. 所以角x的取值集合为 . 法二　作出y＝sin x在[0，2π]上的图象及直线y＝，如图②所示，由图②可知sin＝sin＝， 所以x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z， 即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. 所以角x的取值集合为 . 【例2】　解：（1）由cos＝＞0， 知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为， 如图所示，可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP'. 又因为cos ＝cos＝， 所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z. 所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z. （2）如图所示， 在[－π，π]上，x＋＝－或x＋＝时，cos＝－， 所以x＋＝－＋2kπ或x＋＝＋2kπ，k∈Z时， cos＝－. 令－＋2kπ＜x＋＜＋2kπ，k∈Z， 解得－＋4kπ＜x＜＋4kπ，k∈Z， 所以不等式的解集为 . 跟踪训练 　解：（1）因为余弦函数在[0，π]上单调递减，所以符合cos α＝－的角α只有一个. 又cos＝－，所以α＝. （2）因为α∈[0，2π]，cos α＝－，所以α是第二或第三象限角，符合cos α＝－的角有两个，根据cos＝，cos＝cos（ π－）＝－cos＝－，cos（ π＋）＝－cos＝－，得α＝或α＝. （3）由余弦函数的周期性知，当α＝＋2kπ或α＝＋2kπ（k∈Z）时，cos α＝－，即所求的角α的集合为 . 【例3】　解：（1）由正切函数在开区间（ －，）上是增函数，可知符合tan α＝－1的角只有一个，α＝－. （2）∵tan α＝－1＜0，∴α是第二或第四象限角.又α∈[0，2π]，由正切函数在区间（ ，π］，（ ，2π］上单调递增知符合tan α＝－1的角有两个.∵tan（α＋π）＝tan α＝－1，∴α＝或. （3）由正弦函数的周期性可知α＝－＋kπ（k∈Z）. 跟踪训练 1.或　解析：tan 2x＋1＝0，得tan 2x＝－1，所以2x＝kπ＋（k∈Z），x＝＋（k∈Z）.当k＝－1时，x＝－＋＝－∉（1，3）；当k＝0时，x＝∈（1，3）；当k＝1时，x＝＋＝∈（1，3）；当k＝2时，x＝π＋＝∉（1，3）.综上，tan 2x＋1＝0在区间（1，3）内的解是或. 2.{，}　解析：∵sin 3x＝1，∴sin 3x＝，∴3x＝＋2kπ（k∈Z），或3x＝＋2kπ（k∈Z），∴x＝＋（k∈Z），或x＝＋（k∈Z）.∵x∈（ ，π），∴所求解集为{，}. 随堂检测 1.C　由sin α＝－＝－sin＝sin（ －），α∈（ －，0），解得α＝－. 2.C　因为arcsin＝，arccos＝，arctan（－）＝－，所以原式＝＝1. 3.ACD　当x∈[0，π]时，2x＋∈［，］，由tan（ 2x＋）＝，得2x＋＝或2x＋＝或2x＋＝，解得x＝0或x＝或x＝π，所以方程tan（ 2x＋）＝在区间[0，π]上的解为0，，π. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $