第7章 7.3.5 已知三角函数值求角（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x等于(　　) A． B． C． D． 解析　∵cos x＝－，且π＜x＜2π， ∴x＝，故选B. 答案　B 2．若sin ＝，x∈(0，2π)，则x的值为(　　) A．或 B．± C．± D．或 解析　∵sin ＝，∴cos x＝－， ∴x＝＋2kπ或＋2kπ，k∈Z， ∵x∈(0，2π)，∴x＝或，故选A. 答案　A 3．(多选题)已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x的值为(　　) A． B． C． D． 解析　因为0≤x≤π，所以0≤2x≤2π. 因为tan 2x＝－，所以2x＝π－或2π－， 所以x＝π或π.故选AD. 答案　AD 4．已知2tan α·sin α＝3，－＜α＜0，则cos 的值是(　　) A．0 B． C．1 D． 解析　依题意得＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0， 解得cos α＝或cos α＝－2(舍去). 又－＜α＜0， 因此α＝－， 故cos ＝cos ＝cos ＝0， 选A. 答案　A 5．在方程tan ＝1的所有解中，最小正解是 ． 解析　因为tan ＝1，所以＋＝＋kπ，即x＝＋2kπ，k∈Z，故最小正解是. 答案　 6．方程cos ＝1，x∈的解为 ． 解析　依题意，cos ＝，而x∈，即x－∈，因此x－＝，解得x＝，所以所求方程的解为x＝. 答案　x＝ 7．若sin (x－π)＝－，且－2π＜x≤0，则x＝ ． 解析　∵sin (x－π)＝－sin x＝－， ∴sin x＝，∴x＝2kπ＋或2kπ＋(k∈Z). 又－2π＜x≤0，∴x＝－或－. 答案　－或－ 8．(1)已知cos ＝－，x∈，求角x； (2)已知tan ＝－，x∈，求角x. 解析　(1)因为x∈， 所以0＜2x＋＜π. 又cos ＝－， 所以2x＋＝，x＝. (2)因为tan ＝－， 所以tan ＝. 又x∈，所以－＜x－＜. 所以x－＝，x＝. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)若x∈，则使等式cos (πcos x)＝0成立的x的值是(　　) A． B． C． D． 解析　由cos (πcos x)＝0，得 πcos x＝kπ＋(k∈Z)， 即cos x＝k＋，由于k∈Z， ∴cos x＝或cos x＝－. 由x∈，∴满足条件的x的值为x＝或x＝或x＝，故选ACD. 答案　ACD 10．若0≤θ<2π，且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立，则角θ的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　在[0，2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈， 使tan θ<sin θ的角θ∈∪， 故θ的取值范围是. 答案　B 11．在[0，2π]上满足cos ＜sin 的x的取值范围是 ． 解析　由cos ＜sin 得sin x＜cos x在同一坐标系内作出y＝sin x与y＝cos x，x∈[0，2π]的简图． 由图象可得x的取值范围是∪. 答案　∪ 12．函数y＝的定义域为 ． 解析　要使y＝有意义，则有sin x>0且tan x>1， 由sin x>0，得x∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)， 由tan x>1，得x∈(k∈Z)， 因为(2kπ，2kπ＋π)∩＝(k∈Z)， 所以原函数的定义域为(k∈Z). 答案　(k∈Z) 13．求满足下列条件的角x的集合． (1)cos ＝，x∈(0，2π)； (2)3tan ＝. 解析　(1)因为x∈(0，2π)，可得x＋∈，又cos ＝， 所以x＋＝或x＋＝， 解得x＝或x＝π， 故角x的集合为. (2)因为3tan ＝，即tan ＝， 所以x＋＝＋kπ，k∈Z， 解得x＝－＋kπ，k∈Z， 故角x的集合为. [学科素养·探索创新] 14．(多选题)把y＝sin x的图象向左平移φ(φ为实数)个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到f(x)的图象，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，若f(θ)＝tan ，则θ的可能取值为(　　 ) A． B． C． D． 解析　由题意，可得f(x)＝sin (2x＋φ)，∵f(x)≤对x∈R恒成立，∴f是最大值或最小值， ∴2×＋φ＝sπ＋，s∈Z， 故φ＝sπ＋，s∈Z. 又f>f(π)， ∴sin >sin (2π＋φ)， 即－sin φ>sin φ， ∴sin φ<0，故s为奇数， ∴f(x)＝sin . 又f(θ)＝sin ＝tan ＝， ∴2θ－＝2kπ＋，k∈Z或2θ－＝2kπ＋，k∈Z， ∴θ＝kπ＋，k∈Z或θ＝kπ＋，k∈Z. 答案　AD 15．已知函数y＝sin2x＋sinx＋1，当y取最大值时角x为α，当y取最小值时角x为β，其中α，β∈，求sin (β－α)的值． 解析　∵y＝＋. ∵－1≤sin x≤1， ∴当sin x＝1时，ymax＝； 当sin x＝－时，ymin＝. ∵α，β∈，且sin α＝1，sin β＝－， ∴α＝，cos β＝. ∴sin (β－α)＝sin ＝－cos β＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $