7.3.4 正切函数的性质与图象(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦正切函数的性质与图象核心知识点，通过类比正弦、余弦函数的学习路径，系统梳理正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性及对称性，构建三角函数知识体系的延续性学习支架。 资料以“两小儿辩日”情境引入培养数学眼光，通过问题链驱动逻辑推理，结合“三点两线法”作图发展直观想象。分题型讲解定义域、值域等应用并总结通性通法，课中助力教师引导探究，课后通过跟踪训练帮助学生查漏补缺，提升数学运算与问题解决能力。

7.3.4　正切函数的性质与图象 【基础落实】 知识点一 　x≠＋kπ，k∈Z　唯一 知识点二 　（k∈Z） 　（k∈Z）　 想一想 1.提示：不是. 2.提示：不是，点（k∈Z）是其对称中心，有无数个. 3.提示：不对.正切曲线没有对称轴. 自我诊断 　（1）×　（2）×　（3）√ 【典例研析】 【例1】　（1） （2）[－tan 1，tan 1]　解析：（1）要使函数y＝＋lg（1－tan x）有意义，则即－1≤tan x＜1.在（－，）上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为{x｜－＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z}. （2）因为－1≤sin x≤1，且[－1，1]⊆，所以y＝tan x在[－1，1]上是增函数，因此tan（－1）≤tan x≤tan 1，即函数y＝tan（sin x）的值域为[－tan 1，tan 1]. 母题探究 　解：令u＝tan x，∵｜x｜≤，∴由正切函数的图象知u∈[－，]，∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]，∵二次函数y＝u2－2u＝（u－1）2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，∴当u＝1时，ymin＝－1，当u＝－时，ymax＝3＋2，∴原函数的值域为[－1，3＋2]. 跟踪训练 1.　解析：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－≠kπ＋（k∈Z），得x≠＋（k∈Z），∴函数的定义域为. 2.[－，0]　解析：y＝tan＝－tan.∵x∈， ∴2x－∈.∴0≤tan（2x－）≤.∴－≤tan≤0，故函数y＝tan，x∈的值域为[－，0]. 【例2】　　（1）解析：由于ω＝3，故函数的最小正周期为T＝＝. （2）解：①由 得f（x）的定义域为 ， 不关于原点对称， 所以函数f（x）既不是偶函数，也不是奇函数. ②函数定义域为 ， 关于原点对称， 又f（－x）＝tan＋tan＝－tan－tan＝－f（x）， 所以函数是奇函数. 跟踪训练 1.C　对于A，y＝tan 2x的最小正周期T＝，故A错误；对于B，y＝tan（ x＋）为非奇非偶函数，故B错误；对于C，y＝cos（ 2x＋π）＝sin 2x为奇函数，且最小正周期为T＝＝π，故C正确；对于D，y＝sin（ 2x＋）＝cos 2x为偶函数，故D错误. 2.解：（1）要使函数有意义，需满足：tan x≠0，且tan x有意义，即x∈∪，k∈Z， 可知定义域关于原点对称.又对于定义域内的任意x，都有f（－x）＝－tan x－＝－f（x），∴函数f（x）为奇函数. （2）由 得 ∴函数f（x）的定义域为∪，k∈Z，定义域关于原点对称. 又对任意x∈∪，k∈Z，都有f（－x）＝lg｜tan（－x）｜＝lg｜－tan x｜＝lg｜tan x｜＝f（x）， ∴函数f（x）是偶函数. 【例3】　解：（1）由诱导公式可知tan 2＝tan（2－π），tan 3＝tan（3－π），因为＜2＜π，＜3＜π，所以－＜2－π＜0，－＜3－π＜0，所以－＜2－π＜3－π＜1＜.因为函数y＝tan x在上单调递增，所以tan（2－π）＜tan（3－π）＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 1. （2）y＝2tan ＝－2tan， 由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z，可得－＜x＜＋，k∈Z， 故函数y＝2tan的单调递减区间为（ －＋，＋），k∈Z，无单调递增区间. 跟踪训练 1.C　对于A，tan＝tan（ －π）＝tan（ －），因为正切函数y＝tan x在（ －，）上为增函数，且－＜－＜＜，所以tan（ －）＜tan，即tan＜tan，A错误；对于B，由于正切函数y＝tan x在（ ，）上为增函数，且＜2＜3＜，所以tan 2＜tan 3，B错误；对于C，cos（ －）＝cos＝cos，cos（ －）＝cos＝cos，因为余弦函数y＝cos x在（0，π）上为减函数，且0＜＜＜π，所以cos＞cos，即cos（ －）＞cos（ －），C正确；对于D，由于正弦函数y＝sin x在（ －，）上为增函数，且－＜－＜－＜，所以sin（ －）＞sin（ －），D错误. 2.（ 2k－，2k＋）（k∈Z）　解析：易知正切函数y＝tan x的单调递增区间为（ －＋kπ，＋kπ）（k∈Z），所以令－＋kπ＜x＋＜＋kπ（k∈Z），解得2k－＜x＜2k＋（k∈Z），即该函数的单调递增区间为（ 2k－，2k＋）（k∈Z）. 【例4】　解：由y＝｜tan x｜得， y＝ 其图象如图所示. 由图象可知，函数y＝｜tan x｜是偶函数， 单调递增区间为（k∈Z）， 单调递减区间为（k∈Z），周期为π. 跟踪训练 　C　法一 在同一直角坐标系中，作出y＝sin x与y＝tan x在（ －，）内的图象，如图所示.当x∈（ 0，）时，有sin x＜x＜tan x（利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明），所以由图象可知它们有3个交点. 法二 由得sin x＝tan x＝，即sin x（ 1－）＝0，解得sin x＝0或cos x＝1.在x∈（ －，）内，x＝－π，0，π满足sin x＝0；x＝0满足cos x＝1，故交点个数为3. 随堂检测 1.A　根据题意，＝π，可得ω＝1或ω＝－1. 2.A　因为f（－x）＝2tan x＝－2tan（－x）＝－f（x），且f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）＝2tan（－x）是奇函数. 3.BD　对于A，由f（x）＝tan（ x＋），得函数f（x）的最小正周期为T＝＝π，故A错误；对于B，由x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋kπ，k∈Z，所以f（x）的定义域为{x｜x≠＋kπ，k∈Z}，故B正确；对于C，－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，解得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，所以函数f（x）在（ －＋kπ，＋kπ），k∈Z上单调递增，故C错误；对于D，由C知当k＝1时，f（x）在（ ，）上单调递增，所以f（ ）＜f（ ），故D正确. 4.（k∈Z）　（k∈Z） 解析：由kπ－＜＋＜kπ＋，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z.令＋＝（k∈Z），则x＝kπ－（k∈Z），所以对称中心坐标为（k∈Z）. 5.解：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1. 令tan x＝t，则t∈[－1，1]. ∴y＝－t2＋4t＋1＝－（t－2）2＋5. ∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4， 当t＝1，即x＝时，ymax＝4. 故所求函数的值域为[－4，4]. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.4　正切函数的性质与图象 1.了解正切函数，会画y＝tan x的图象（直观想象）. 2.理解正切函数的性质，并能利用正切函数的图象及性质解决有关问题（数学运算、逻辑推理）. 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地.在相同的时间、相等的面积里，物体在直线状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题. 　　那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？ 　　类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质. 【问题】　（1）y＝tan x是周期函数吗？有最大（小）值吗？ （2）正切函数的图象是连续的吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　正切函数 　对于任意一个角x，只要　　　　　　　　，就有　　　　确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数. 知识点二　正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间　　　　　　　　上都是增函数 对称性 对称中心　　　　　　　 零点 kπ，k∈Z 　　提醒：“三点两线法”作正切函数的图象：①“三点”分别为（kπ，0），，，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z（两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交）；②作图象时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用平滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可. 【想一想】 1.正切函数在定义域上是单调函数吗？ 2.正切函数只有一个对称中心吗？ 3.正切曲线有无数条对称轴，其对称轴是x＝＋kπ（k∈Z），对吗？ 　判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正切函数的定义域和值域都是R.（　　） （2）正切函数在R上是递增的.（　　） （3）正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心.（　　） 题型一｜正切函数的定义域及值域 【例1】　（1）函数y＝＋lg（1－tan x）的定义域是　　　　； （2）函数y＝tan（sin x）的值域为　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 　（变条件）本例（2）中函数变为“y＝tan2x－2tan x，｜x｜≤”，求函数y＝tan2x－2tan x的值域. 通性通法 1.求正切函数定义域的方法 （1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解； （2）求正切型函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个整体.令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. 2.求正切函数值域的方法 （1）对于y＝Atan（ωx＋φ）的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域； （2）对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域. 【跟踪训练】 1.函数y＝tan的定义域为　　　　. 2.函数y＝tan，x∈的值域是　　　　. 题型二｜正切函数的周期性、奇偶性 【例2】　（1）函数y＝4tan的最小正周期为　　　　. （2）判断下列函数的奇偶性： ①f（x）＝； ②f（x）＝tan＋tan. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）周期的求解方法 （1）定义法； （2）公式法：对于函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T＝； （3）观察法（或图象法）：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现. 2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f（－x）与f（x）的关系. 【跟踪训练】 1.下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（　　） A.y＝tan 2x　　　　　 B.y＝tan（ x＋） C.y＝cos（ 2x＋π） D.y＝sin（ 2x＋） 2.判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝tan x＋；（2）f（x）＝lg｜tan x｜. 题型三｜正切函数的单调性 【例3】　（1）比较大小：tan 1，tan 2，tan 3； （2）求函数y＝2tan的单调区间. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.正切型函数单调区间的求解思路 正切函数y＝tan x在开区间（k∈Z）上是增函数，求函数y＝Atan（ωx＋φ）的单调区间，将“ωx＋φ”视为一个整体，若ω＜0，一般先用诱导公式化为ω＞0，使x的系数为正值，然后求单调区间.当A＞0（或A＜0）时，函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的单调性与y＝tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的单调性相同（或相反），解不等式即可得出对应单调区间. 2.利用正切函数的单调性，比较两个正切值大小的步骤 （1）利用诱导公式将任意角的正切值转化为内的正切值； （2）确定转化到内的各角的大小顺序； （3）利用y＝tan x在上为增函数的性质得出大小顺序. 【跟踪训练】 1.下列各式中正确的是（　　） A.tan＞tan B.tan 2＞tan 3 C.cos（ －）＞cos（ －） D.sin（ －）＜sin（ －） 2.函数f（x）＝tan（ x＋）的单调递增区间为　　　　　　. 题型四｜正切函数的图象及应用 【例4】　画出函数y＝｜tan x｜的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.作函数y＝｜f（x）｜的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： （1）保留函数y＝f（x）图象在x轴上方的部分； （2）将函数y＝f（x）图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折. 2.若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可. 【跟踪训练】 　在区间（ －，）内，函数y＝tan x与函数y＝sin x 的图象交点的个数为（　　） A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 1.已知函数f（x）＝2tan（ ωx－）的最小正周期为π，则ω＝（　　） A.－1或1 B.－2或2 C.1 D.2 2.函数f（x）＝2tan（－x）是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数 3.〔多选〕已知函数f（x）＝tan（ x＋），则（　　） A.f（x）的最小正周期为2π B.f（x）的定义域为{x｜x≠＋kπ，k∈Z} C.f（x）是增函数 D.f（ ）＜f（ ） 4.函数y＝tan的单调递增区间是　　　　，对称中心为　　　　. 5.求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈［－，］的值域. 提示：完成课后作业　第七章　7.3　7.3.4 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $