7.3.3 余弦函数的性质与图象(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦余弦函数的性质与图象核心知识点，系统梳理“五点法”“图象变换法”作余弦函数及余弦型函数图象的方法，深入解析定义域、值域、最值、周期性等性质，承接正弦函数学习，通过对比构建三角函数知识体系，为后续复杂三角函数学习提供支架。 资料以“过山车”情境引入，激发学生用数学眼光观察现实，通过“想一想”互动环节培养数学思维，题型分类搭配“通性通法”总结助学生用数学语言表达规律。课中辅助教师高效授课，课后跟踪训练与作业助力学生查漏补缺，强化知识应用。

7.3.3　余弦函数的性质与图象 1.会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数y＝cos x和y＝Acos（ωx＋φ）的图象（逻辑推理）. 2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值（直观想象、数学运算）. 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转（儿童过山车没有倒转）等几个循环路径. 【问题】　（1）函数y＝cos x的图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是它的什么性质？ （2）过山车爬升到最高点，接着滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝cos x的什么性质？y＝cos x在什么位置取得最值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　余弦函数的图象 1.余弦函数 对于任意一个角x，都有　　　确定的余弦cos x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为　　　　　　. 2.余弦函数y＝cos x图象的画法 （1）平移法：由cos x＝sin知，余弦函数y＝cos x 的图象可以通过将正弦曲线y＝sin x向　　平移　　个单位得到； （2）五点法：函数y＝cos x在[0，2π]内的图象的五个关键点分别是：（0，1），，　　　　，　　　　，（2π，1）. 　　提醒：正（余）弦函数图象的说明：比较正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，二者的图象的最低点都只有一个；余弦函数的图象与x轴的交点有两个，而正弦函数的图象与x轴的交点有三个；余弦函数图象的最高点有两个，而正弦函数图象的最高点只有一个. 【想一想】 　函数y＝sin x的图象向右平移能得到函数y＝cos x的图象吗？ 　用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是（　　） A.0，，π，，2π　　　B.0，，，，π C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，， 知识点二　余弦函数的性质 函数 y＝cos x 定义域 R 值域 [－1，1] 最值 当x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； 当x＝（2k＋1）π（k∈Z）时，ymin＝－1 周期性 是周期函数，最小正周期为2π 奇偶性 是偶函数，图象关于y轴对称 单调性 当x∈[（2k－1）π，2kπ]（k∈Z）时，函数单调递增； 当x∈[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z）时，函数单调递减 零点 ＋kπ（k∈Z） 图象的 对称性 对称中心为点，k∈Z； 对称轴为直线x＝kπ，k∈Z 【想一想】 1.余弦函数的零点对应正弦函数的哪个性质？ 2.余弦型函数y＝Acos（ωx＋φ）的周期是多少？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）余弦函数在区间上是单调递增的.（　　） （2）方程2cos x＋3＝0一定有解.（　　） （3）函数y＝cos的一条对称轴为.（　　） 2.函数y＝1－2cos x的最小值，最大值分别是（　　） A.－1，3　　　　　　　 B.－1，1 C.0，3 D.0，1 3.函数y＝cos的单调递减区间是　　　　. 题型一｜余弦型函数的图象 【例1】　用“五点法”作函数y＝3－2cos x，x∈[0，2π]的简图. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.“五点法”作余弦函数y＝cos x图象的策略 （1）“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图象的最高点、最低点等五个关键点，由这五个点大致确定图象的位置和形状.连线要保持光滑，注意凸凹方向； （2）五个关键点的确定：使函数中x取0，，π，，2π，然后求出相应的y值，再作出图象. 2.余弦函数图象变换技巧 当函数不是同名函数时，要先化为同名函数，再进行图象变换.在变换时要注意两点：一是平移变换的规则，“左加右减”“上加下减”；二是对于先伸缩后平移变换中，要注意函数y＝cos（ωx＋φ）（ω＞0）中ω的值. 【跟踪训练】 　用“五点法”作出函数y＝cos，x∈的简图. 题型二｜余弦型函数的单调性 【例2】　（1）函数f（x）＝5cos的一个单调递减区间是（　　） A.　　　　 B. C. D. （2）设a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，则（　　） A.a＞c＞b B.c＞b＞a C.c＞a＞b D.b＞c＞a 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.余弦型函数单调区间的求法 （1）如果x的系数为负，则利用诱导公式变为正； （2）将ωx＋φ看作整体，代入到余弦函数的单调区间解出x的范围； （3）若求具体的或一个范围内的单调区间，则给k赋值，即可求出符合条件的单调区间. 2.关于三角函数值比较大小 利用诱导公式，统一成正弦或余弦函数，统一化到一个单调区间内，利用单调性比较大小. 【跟踪训练】 1.函数y＝cos（ －2x）的单调递增区间是　　　　. 2.将cos（－1），cos（－2），cos（－3）按大小顺序排列，则　　　　.（用“＜”连接） 题型三｜余弦函数的最值问题 角度1　定区间上求值域 【例3】　求函数f（x）＝cos x，x∈上的值域. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 　（变条件）若将本例中的函数变为g（x）＝cos，区间不变，求函数的值域. 通性通法 求定区间上余弦函数的值域 　　求定区间上的值域：可先计算t＝ωx＋φ的范围，根据y＝cos t在所求出的范围内的单调性求值域. 角度2　与二次函数结合求最值 【例4】　求函数y＝sin2x＋cos x的值域. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 与余弦函数有关的最值问题 （1）求在R上的值域：当余弦在1或－1处取得最值，可直接代入验证，或分情况代入； （2）关于余弦的二次式求最值：可用换元法，配方法求最值. 【跟踪训练】 1.函数f（x）＝－cos（ 2x＋）＋1，x∈［－，］的值域为（　　） A.［－，］ B.［1－，－］ C.［1－，］ D.［1－，］ 2.函数y＝sin2x＋cos x的值域为　　　　. 题型四｜余弦型函数的奇偶性与对称性 【例5】　已知函数y＝2cos. （1）在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程； （2）把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论 （1）f（x）＝Asin（ωx＋φ）（或Acos（ωx＋φ））的图象关于x＝x0对称⇔f（x0）＝A或－A； （2）f（x）＝Asin（ωx＋φ）（或Acos（ωx＋φ））的图象关于点（x0，0）中心对称⇔f（x0）＝0. 【跟踪训练】 1.设函数f（x）＝sin，x∈R，则f（x）是（　　） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 2.将函数f（x）＝cos（ 2x－）图象上所有的点向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 1.函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的大致图象为（　　） 2.〔多选〕下列函数中，最小正周期为π的有（　　） A.y＝cos｜2x｜ B.y＝｜cos x｜ C.y＝cos D.y＝sin 3.〔多选〕已知函数f（x）＝cos（ 2x－），则（　　） A.f（x）的最小正周期为π B.f（x）在（ －，0）上单调递增 C.f（x）的图象关于直线x＝－对称 D.若x∈（ 0，），则f（x）的最小值为－1 4.求函数y＝3－2cos的对称中心坐标，对称轴方程. 提示：完成课后作业　第七章　7.3　7.3.3 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.3　余弦函数的性质与图象 【基础落实】 知识点一 1.唯一　余弦函数　2.（1）左　 （2）（π，－1）　 想一想 　提示：能.向右平移个单位. 自我诊断 　B　令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，，π，故选B. 知识点二 想一想 1.提示：余弦函数的零点对应正弦函数的对称轴. 2.提示：T＝. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）× 2.A　∵－1≤cos x≤1，∴－1≤y≤3. 3.（k∈Z）　解析：由2kπ≤x－≤2kπ＋π可得：2kπ＋≤x≤2kπ＋π＋，即2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z）. 【典例研析】 【例1】　解：按五个关键点列表、描点画出图象（如图）. x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 y＝3－2cos x 1 3 5 3 1 跟踪训练 　解：列表如下： x － μ＝x＋ 0 π 2π y＝cos μ 1 0 －1 0 1 描点作图（如图）. 【例2】　（1）B　（2）A　解析：（1）f（x）＝5cos，由2kπ≤3x＋≤π＋2kπ（k∈Z），得－≤x≤＋（k∈Z），所以是f（x）的一个单调递减区间. （2）sin ＝sin＝－sin ＝sin ＝cos ，cos ＝cos＝cos＝cos ，因为y＝cos x在上是减函数，所以cos ＞cos ＞cos ，即a＞c＞b. 跟踪训练 1.［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z　解析：函数y＝cos（ －2x）＝cos（ 2x－），令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数y＝cos（ －2x）的单调递增区间是［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z. 2.cos（－3）＜cos（－2）＜cos（－1） 解析：y＝cos x在区间（－π，0）上递增， ∵－π＜－3＜－2＜－1＜0， ∴cos（－3）＜cos（－2）＜cos（－1）. 【例3】　解：由余弦函数的性质可知，f（x）＝cos x在上递增，在上递减， 又因为f＝，f（0）＝1，f＝， 所以函数的最大值为1，最小值为， 故值域为. 母题探究 　解：因为－≤x≤，所以－≤2x－≤， 令t＝2x－，则y＝cos t在区间上递增，在［0，］上递减，所以y＝cos t的最大值为1，因为cos（－）＝cos ＜cos ， 故最小值为cos＝－， 故原函数的值域为. 【例4】　解：y＝sin2x＋cos x＝1－cos2x＋cos x ＝－cos2x＋cos x＋1 ＝－＋， 令t＝cos x，则y＝－＋，t∈[－1，1]. 因为－1≤t≤1，所以当t＝时， ymax＝； 当t＝－1时，ymin＝－. 因此函数y＝sin2x＋cos x的值域为. 跟踪训练 1.C　因为x∈［－，］，所以2x＋∈［－，］，则cos（ 2x＋）∈［－，1］，故－cos（ 2x＋）∈［－，］，故f（x）的值域为［1－，］. 2.　解析：设cos x＝t，因为－≤x≤，则t∈，所以y＝1－cos2x＋cos x＝－＋，t∈，故当t＝，即x＝±时，y的最大值为；当t＝1，即x＝0时，y的最小值为1.所以函数的值域为. 【例5】　解：（1）令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－（k∈Z）.令k＝0，x＝－；令k＝1，x＝.∴函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝. （2）设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f（x），则f（x）＝2cos ＝2cos. ∵y＝f（x）的图象关于原点（0，0）对称，∴f（0）＝2cos＝0.∴－2φ＝kπ＋，k∈Z.解得φ＝－（k∈Z）.令k＝0，得φ＝，∴φ的最小正值是. 跟踪训练 1.B　∵sin＝－sin ＝－cos 2x，∴f（x）＝－cos 2x.又f（－x）＝－cos（－2x）＝－cos 2x＝f（x），∴f（x）是最小正周期为π的偶函数. 2.B　依题意，f（x＋φ）＝cos［2（x＋φ）－］＝cos（ 2x＋2φ－）的图象关于直线x＝对称，则2·＋2φ－＝kπ，k∈Z，解得φ＝－＋，k∈Z，而φ＞0，则k∈N*，所以当k＝1时，φ取得最小值. 随堂检测 1.D　可根据x∈[0，2π]取x＝0，π，2π验证知选D. 2.ABC　y＝cos｜2x｜＝cos 2x的最小正周期为π；y＝｜cos x｜的最小正周期为π；y＝cos的最小正周期为π；y＝sin的最小正周期为2π. 3.AB　因为f（x）＝cos（ 2x－），所以f（x）的最小正周期T＝＝π，故A正确；当x∈（ －，0），则2x－∈（ －π，－），因为y＝cos x在（ －π，－）上单调递增，所以f（x）在（ －，0）上单调递增，故B正确；因为f（ －）＝cos（ －）＝0，所以f（x）的图象不关于直线x＝－对称，故C错误；当x∈（ 0，），则2x－∈（ －，），所以cos（ 2x－）∈（ ，1］，所以f（x）在（ 0，）上不存在最小值，故D错误. 4.解：由于y＝cos x的对称中心坐标为（k∈Z），对称轴方程为x＝kπ（k∈Z）， 又由2x－＝kπ＋，得x＝＋（k∈Z）； 由2x－＝kπ，得x＝＋（k∈Z）， 故y＝3－2cos的对称中心坐标为（＋，3）（k∈Z）， 对称轴方程为x＝＋（k∈Z）. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $