7.3.2 第2课时 正弦型函数的性质（习题课）(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦正弦型函数的性质，系统梳理周期（定义法、公式法、图象法）、单调性（换元法）、最值（整体代换）及对称性（图象探究）等核心知识点，构建从基础方法到综合应用的学习支架。 资料以“例题-通性通法-跟踪训练”闭环设计，通过问题探究发展数学眼光（几何直观），用换元法等培养数学思维（推理运算），迁移应用强化数学语言表达（模型意识）。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固查漏。

第二课时　正弦型函数的性质（习题课） 【典例研析】 【例1】　解：（1）法一（定义法）　 y＝sin ＝sin ＝sin， ∴周期为π. 法二（公式法）　y＝sin中ω＝2， T＝＝＝π. （2）∵ω＝，∴T＝＝6π. （3）作图如下. 观察图象可知周期为π. 跟踪训练 1.B　由已知得＝π，解得ω＝1.故选B. 2.A　画出f（x）＝sin 3x＋｜sin 3x｜的部分图象，如图所示.由图象可知，函数为周期函数，最小正周期为，故选A. 【例2】　解：y＝1＋sin＝－sin（ x－）＋1. 由2kπ－≤x－≤2kπ＋（k∈Z）， 解得4kπ－≤x≤4kπ＋π（k∈Z）. 又∵x∈[－4π，4π]， ∴函数y＝1＋sin的单调递减区间为［－4π，－］，，. 跟踪训练 　解：法一　函数y＝sin x的单调递增区间为［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝sin的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z. 法二　令2x－＝，解得x＝， 所以函数y＝sin在x＝处取得最大值. 又函数的最小正周期为π，根据周期性与单调性的关系可知，函数y＝sin的一个单调递增区间为，即， 所以函数y＝sin的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z. 【例3】　解：（1）因为f（x）的最小正周期为π，所以＝π，则ω＝2， 所以f（x）＝2sin（ 2x－）＋1，由2x－＝kπ（k∈Z）得x＝＋（k∈Z）， 所以f（x）的对称中心为（ ＋，1）（k∈Z）. （2）由（1）知f（x）＝2sin（ 2x－）＋1，因为x∈［0，］，所以2x－∈［－，］， 所以sin（ 2x－）∈［－，1］，所以当2x－＝－，即x＝0时，f（x）取得最小值1－； 当2x－＝，即x＝时，f（x）取得最大值3. 跟踪训练 　解：由题意得－≤x≤m，∴－≤2x≤2m， ∴－≤2x－≤2m－.∵函数f（x）的最大值为，∴y＝sin在上的最大值为1， ∴2m－≥，∴m≥.∴m的最小值为. 拓视野　正弦函数图象对称性问题的探究 迁移应用 1.B　因为y＝sin的函数图象在R上关于原点对称，所以y＝sin为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，显然当k＝0时，φ＝－满足题意. 2.解：由x－＝＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝π＋kπ，k∈Z.由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，∴对称中心坐标为，k∈Z. 随堂检测 1.D　函数f（x）＝sin的最小正周期T＝＝4π. 2.ABD　对于A，函数f（x）的最小正周期为＝，A正确；对于B，由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，f（x）的单调递增区间为［－＋，＋］（k∈Z），B正确；对于C，f（ ）＝2sin（ ×－）＝0≠±2，直线x＝不是f（x）图象的对称轴，C错误；对于D，当x∈［0，］时，x－∈［－，］，－≤2sin（ x－）≤2，D正确. 3.解：函数y＝3sin ＝－3sin， 令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 又x∈[0，π]，所以函数的单调递增区间为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　正弦型函数的性质（习题课） 题型一｜正弦型函数的周期 【例1】　求下列函数的周期： （1）y＝sin； （2）y＝2sin； （3）y＝｜sin x｜. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求三角函数周期的方法 （1）定义法：利用周期的定义，对定义域内每一个x判断是否存在非零常数T，使f（x＋T）＝f（x），若存在，则T是它的一个周期； （2）公式法：正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0）的周期T＝； （3）图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断. 【跟踪训练】 1.若函数f（x）＝sin（ω＞0）的最小正周期为π，则ω的值等于（　　） A.2　　　　　　　　　 B.1 C. D. 2.已知函数f（x）＝sin 3x＋｜sin 3x｜，则f（x）为（　　） A.周期函数，最小正周期为 B.周期函数，最小正周期为 C.周期函数，最小正周期为2π D.非周期函数 题型二｜正弦型函数的单调性 【例2】　求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调递减区间. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求正弦型函数的单调区间的策略 （1）结合正弦函数的图象，熟记它的单调区间； （2）在求形如y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.当A＞0时y＝Asin z与y＝sin x的单调性相同，当A＜0时，y＝Asin z与y＝sin x的单调性相反； （3）求形如y＝Asin（ωx＋φ），x∈D的单调区间时，先求y＝Asin（ωx＋φ），x∈R的单调区间，再把所求的单调区间和区间D取交集即得y＝Asin（ωx＋φ），x∈D上的单调区间. 【跟踪训练】 　求函数y＝sin的单调递增区间. 题型三｜正弦型函数的最值（值域） 【例3】　已知函数f（x）＝2sin（ ωx－）＋1，ω＞0的最小正周期为π. （1）求ω和f（x）的对称中心； 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （2）求f（x）在［0，］上的最值并求相应的x的值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求正弦型函数的最值（值域）的策略 　　求函数y＝Asin（ωx＋φ）的值域与最值问题时，要在x取值范围的基础之上，把ωx＋φ看成整体，通过正弦函数的最值情况来求解. 　　当A＞0时，sin（ωx＋φ）最大时y＝Asin（ωx＋φ）就最大，sin（ωx＋φ）最小时y＝Asin（ωx＋φ）就最小； 　　当A＜0时，sin（ωx＋φ）最大时y＝Asin（ωx＋φ）就最小，sin（ωx＋φ）最小时y＝Asin（ωx＋φ）就最大. 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝sin＋，若f（x）在区间上的最大值为，求m的最小值. 1.下列图案中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？有没有既是轴对称又是中心对称的图形？ 2.正弦函数的图象如下图.利用图象探索正弦函数图象的对称性. 【问题探究】 1.正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没有，请说明理由. 提示：由正弦函数的图象可以看出，它是轴对称图形，有无数条对称轴，经过最高点或最低点且与x轴垂直的直线都是它的对称轴，对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z. 2.正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，如果没有，请说明理由. 提示：由正弦函数的图象可以看出，它也是中心对称图形，有无数个对称中心，图象与x轴的交点都是它的对称中心，对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z. 3.画出函数y＝sin ｜x｜的图象，并利用图象说明它的对称性. 提示：画出函数图象如图，由图象可知，函数y＝sin ｜x｜的图象是轴对称图形，对称轴为y轴，它不是中心对称图形. 【迁移应用】 1.已知函数y＝sin的图象在R上关于原点对称，则φ的值可以是（　　） A.0　　　B.－　　C.　　　D.π 2.求函数y＝2sin的对称轴方程及对称中心坐标. 1.函数f（x）＝sin的最小正周期为（　　） A. B.π C.2π D.4π 2.〔多选〕已知函数f（x）＝2sin（ x－），则（　　） A.f（x）的最小正周期为 B.f（x）的单调递增区间为［－＋，＋］（k∈Z） C.直线x＝是f（x）图象的一条对称轴 D.f（x）在［0，］上的值域为[－，2] 3.求函数y＝3sin（x∈[0，π]）的单调递增区间. 提示：完成课后作业　第七章　7.3　7.3.2　第二课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $