7.3.2 第1课时 正弦型函数的图象(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象这一核心知识点，基于已学的y=sinx图象，通过探究参数A、ω、φ对周期、最值及图象变换的影响，构建从基础到应用的学习支架，涵盖实际意义及“图象变换法”作图。 以物理简谐运动、交流电实例引入，通过问题驱动培养数学抽象与直观想象，题型示例结合通性通法总结提升数学运算能力。课中助力教师引导探究，课后通过练习题与跟踪训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

7.3.2　正弦型函数的性质与图象 1.了解正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的实际意义及各参数对图象变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等（数学抽象、数学运算）. 2.会用“图象变换法”作正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象（数学运算、直观想象）. 第一课时　正弦型函数的图象 　　在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin（ωx＋φ）的函数.如图①所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象. 　　将测得的图象放大，如图②所示，可以看出它和正弦曲线很相似.那么函数y＝Asin（ωx＋φ）与函数y＝sin x有什么关系呢？ 【问题】　（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）的周期、最值分别受哪些量的影响？ （2）如何作出函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　正弦型函数 1.形如y＝Asin（ωx＋φ）（其中A，ω，φ都是常数）的函数，通常叫做正弦型函数. 2.函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期T＝　　　，频率f＝　　　，初相为　　，值域为　　　　　，　　　也称为振幅，｜A｜的大小反映了y＝Asin（ωx＋φ）的波动幅度的大小. 知识点二　A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 1.φ对函数y＝sin（x＋φ）图象的影响 2.ω对函数y＝sin（ωx＋φ）图象的影响 3.A对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 　　提醒：在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了｜φ｜个单位长度，而后者平移了个单位长度，这是因为由y＝sin ωx的图象变换为y＝sin（ωx＋φ）的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了个单位长度，即y＝sin ωx的图象y＝sin＝sin（ωx＋φ）的图象. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象.（　　） （2）将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象.（　　） （3）函数y＝2sin 2x的振幅为2.（　　） 2.函数f（x）＝sin的最小正周期为（　　） A.　　　　　　　　 B.π C.2π D.4π 3.要得到y＝sin的图象，只要将y＝sin x的图象（　　） A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向上平移个单位 D.向下平移个单位 4.已知函数y＝3sin（x＋），则该函数的振幅、初相分别是　　　　，　　　　. 题型一｜正弦型函数图象的变换 【例1】　（1）函数y＝cos的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？ （2）函数y＝2sin－2的图象是由函数y＝sin x的图象通过怎样的变换得到的？ 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略 （1）确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言； （2）已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位. 【跟踪训练】 1.把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝sin（ x＋）的图象，则f（x）＝（　　） A.sin（ －）　　　 B.sin（ ＋） C.sin（ 2x－） D.sin（ 2x＋） 2.为了得到函数y＝sin（ 2x＋）的图象，只需要把函数y＝cos x图象上所有的点（　　） A.向右平移个单位，横坐标变为原来的 B.向左平移个单位，横坐标变为原来的2倍 C.横坐标变为原来的，向左平移个单位 D.横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位 题型二｜求正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 【例2】　已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在一个周期内的函数图象如图所示，求函数的一个解析式. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式的策略 （1）一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定｜A｜. （2）因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω. （3）可以从寻找“五点法”中的第一个“零点”（ωx＋φ＝0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ.也可以从相邻的最高点（ ωx＋φ＝）或最低点（ ωx＋φ＝）来求解φ. 2.确定函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的初相φ的值的两种方法 （1）代入法：把图象上的一个已知点代入（此时A，ω已知）或代入图象与x轴的交点求解.（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上） （2）五点对应法： “第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx＋φ＝0； “第二点”（即图象的“峰点”）为ωx＋φ＝； “第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π； “第四点”（即图象的“谷点”）为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π. 【跟踪训练】 　函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示，则f（ ）＝　　　　. 1.函数y＝2sin的周期、振幅依次是（　　） A.6π，－2 B.6π，2 C.π，2 D.π，－2 2.为了得到函数y＝3sin的图象，只要把函数y＝3sin图象上的所有点（　　） A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 3.已知f（x）＝sin（ωx＋φ），其中ω＞0，0＜φ＜π.其部分图象如图，则f（ ）＝（　　） A.－1　　B.－　　C.－　　D.－ 4.如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π）的图象的一部分，试求该函数的解析式. 提示：完成课后作业　第七章　7.3　7.3.2　第一课时 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.2　正弦型函数的性质与图象 第一课时　正弦型函数的图象 【基础落实】 知识点一 2.　　φ　[－｜A｜，｜A｜]　｜A｜ 知识点二 1.左　右　2.缩短　伸长　3.伸长　缩短 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）√ 2.D　函数的最小正周期T＝＝4π. 3.B　将y＝sin x的图象向左平移个单位可得到y＝sin的图象. 4.3　 【典例研析】 【例1】　解：（1）y＝cos＝sin＝sin，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度得到. （2）法一　y＝sin xy＝sin 2xy＝siny＝2siny＝2sin－2. 法二　y＝sin xy＝siny＝siny＝2siny＝2sin－2. 跟踪训练 1.D　函数y＝sin（ x＋）的图象向右平移个单位长度得到y＝sin（ x＋－）＝sin（ x＋）的图象，然后把所得曲线所有点的横坐标缩短到原来的得到y＝sin（ 2x＋）的图象，所以f（x）＝sin（ 2x＋）. 2.A　y＝cos x＝sin（ x＋）的图象向右平移个单位，得到y＝sin（ x＋）的图象，横坐标变为原来的，可得y＝sin（ 2x＋）的图象. 【例2】　解：法一 由图象可知函数的最大值为，最小值为－，∵A＞0，∴A＝. 由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2. ∵图象过点（ ，0），∴0＝sin（ 2×＋φ），即sin（ ＋φ）＝1，可取φ＝－，故函数的一个解析式为y＝sin（ 2x－）. 法二 由图象可知A＝，又图象过点（ ，0），（ ，0），根据五点法作图原理，以上两点可判断为五点法作图中的“第一点”与“第三点”，则有解得 故函数的一个解析式为y＝sin（ 2x－）. 跟踪训练 　－　解析：根据函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象，可得A＝2，×＝＋，解得ω＝2，再根据最高点的坐标，可得2×（ －）＋φ＝＋2kπ，k∈Z，结合φ的范围，可得k＝0，φ＝，所以f（x）＝2sin（ 2x＋），所以f（ ）＝2sin（ 2×＋）＝2sin＝－2sin＝－. 随堂检测 1.B　振幅为2，周期为＝6π. 2.B　由函数图象的伸缩规律知，将函数y＝3sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝3sin的图象.故选B. 3.C　由题意可得，函数图象关于直线x＝＝对称，故T＝4（ －）＝π，所以ω＝＝2，则f（x）＝sin（2x＋φ），又2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，且0＜φ＜π，所以φ＝，所以f（x）＝sin（ 2x＋），所以f（ ）＝sin（ ＋）＝－sin＝－.故选C. 4.解：由图象可知A＝2，T＝4×（6－2）＝16，ω＝＝. 又x＝6时，×6＋φ＝2kπ，又｜φ｜＜π，所以φ＝－. 所以所求函数的解析式为y＝2sin. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $