7.2.4 第2课时 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧这一核心知识点，在已学诱导公式①-④基础上延伸，系统梳理公式内容及“奇变偶不变，符号看象限”的记忆规律，构建完整的诱导公式体系，为三角函数化简求值提供关键学习支架。 资料通过“想一想”环节（如角终边位置关系、对称点坐标）培养数学眼光中的几何直观，结合判断、求值、化简等题型设计发展数学思维的推理与运算能力，通性通法总结助力数学语言表达。课中辅助教师引导学生理解公式本质，课后学生可通过跟踪训练和作业查漏补缺，强化知识应用。

第二课时　诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧ 【基础落实】 知识点 1.cos α　sin α　2.cos α　－sin α 3.－cos α　sin α　4.－cos α　－sin α 想一想 1.提示：如图，角－α与角α的终边关于y＝x对称. 2.提示：点P1（a，b）关于y＝x对称的对称点坐标是P2（b，a）. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√ 2.－　解析：由sin－3cos＝0，可得－cos θ－3sin θ＝0，tan θ＝－. 3. 【典例研析】 【例1】　（1）B　（2）－　（3） 解析：（1）sin 239°tan 149°＝sin（270°－31°）·tan（180°－31°）＝－cos 31°·（－tan 31°）＝sin 31°＝＝. （2）因为cos（π＋α）＝－cos α＝－，所以cos α＝，又α为第一象限角，则cos＝－sin α＝－＝－＝－. （3）cos＝cos ＝sin（－α）＝. 跟踪训练 1.B　因为cos（ ＋θ）＋sin（ θ＋）＝－，所以sin θ＋cos θ＝，（sin θ＋cos θ）2＝，即sin2θ＋cos2θ＋2sin θcos θ＝，得sin θcos θ＝－.所以＝ ＝＝＝. 2.A　因为0＜α＜π，故－＜α－＜，又cos（ α－）＝－，所以＜α－＜，sin（ α－）＝＝，又cos（ α＋）＝cos［＋（ α－）］＝－sin（ α－），所以cos（ α＋）＝－. 【例2】　解：（1）原式＝· sin（－sin α） ＝·（－sin α） ＝·（－cos α）（－sin α）＝－cos2α. （2）原式＝sin（－α－π）cos －sin［π＋（＋α）］·cos[－（2π－α）] ＝sin[－（α＋π）]cos＋ sincos（2π－α） ＝－sin（α＋π）sin α＋cos αcos α＝sin2α＋cos2α＝1. 跟踪训练 　解：∵sin（4π－α）＝sin（－α）＝－sin α， cos＝cos＝cos＝－sin α， sin（＋α）＝sin［6π－（－α）］＝ －sin（－α）＝－cos α， tan（5π－α）＝tan（π－α）＝－tan α， sin（3π－α）＝sin（π－α）＝sin α， ∴原式＝－＝ －＋＝＝＝1. 【例3】　解：（1）f（α） ＝ ＝＝－sin α. （2）因为cos＝－， 即cos＝cos ＝cos＝sin α＝－， 即sin α＝－， 由（1）知f（α）＝－sin α＝. 母题探究 　解：由cos（3π－α）＝可得cos α＝－，由本例可知f＝－sin＝－sin＝sin＝cos α＝－. 跟踪训练 　解：（1）f（α）＝ ＝ ＝－cos α. （2）因为cos（ α－）＝cos（ α＋）＝－sin α＝，所以sin α＝－.又因为α是第三象限角， 所以cos α＝－＝－＝－，所以f（α）＝－cos α＝. 随堂检测 1.C　原式＝sin（90°＋5°）＋cos（180°－5°）＝cos 5°－cos 5°＝0.故选C. 2.C　因为sin（ α－）＝，所以sin（ －α）＝－，所以cos（ α＋）＝cos［－（ －α）］＝sin（ －α）＝－. 3.BC　cos（A＋B）＝cos（π－C）＝－cos C，A错误.cos＝cos＝cos（ －）＝sin，B正确.sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C，C正确.sin＝sin＝sin（ －）＝cos，D错误. 4.－sin θ　解析：原式 ＝ ＝ ＝－sin θ. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧ 　　同学们听了老师的记忆口诀后，更是摸不着头脑，老师随后做了解释，同学们脑洞大开，都拍手叫绝. 【问题】　你知道“奇变偶不变，符号看象限”的含义吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧ 1.诱导公式⑤ sin＝　　　；cos＝　　　. 2.诱导公式⑥ sin＝　　　；cos＝　　　. 3.诱导公式⑦ sin＝　　　；cos＝　　　. 4.诱导公式⑧ sin＝　　　；cos＝　　　. 　　提醒：对诱导公式的理解：（1）公式⑤～⑧中的角α是任意角；（2）诱导公式①～⑧中的角可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”.①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的；②“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的；③“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号. 【想一想】 1.角－α与角α的终边有什么样的位置关系？ 2.点P1（a，b）关于y＝x对称的对称点坐标是什么？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧中的角α只能是锐角.（　　） （2）sin＝cos α.（　　） （3）若α为第二象限角，则sin＝cos α.（　　） （4）cos＝－sin α.（　　） 2.已知sin－3cos＝0，则tan θ＝　　　　. 3.已知sin＝，那么cos α＝　　　　. 题型一｜利用诱导公式求值 【例1】　（1）已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°＝（　　） A.　　　　　　B. C.－ D.－ （2）已知cos（π＋α）＝－，α为第一象限角，则cos＝　　　　； （3）已知sin＝，则cos＝　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 解决化简求值问题的策略 （1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少； （2）对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名. 注意：常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等. 【跟踪训练】 1.若cos（ ＋θ）＋sin（ θ＋）＝－，则的值为（　　） A.－　　　　　 B. C.－ D. 2.已知cos（ α－）＝－，且0＜α＜π，则cos（ α＋）＝（　　） A.－　　B.－ C.　　D. 题型二｜利用诱导公式化简 【例2】　化简：（1）sincos； 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （2）sin（－α－5π）cos－sin·cos（α－2π）. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 用诱导公式进行化简时的注意点 （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母尽量不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等. 【跟踪训练】 化简： －. 题型三｜诱导公式的综合应用 【例3】　已知f（α）＝. （1）化简f（α）； （2）若cos＝－，求f（α）的值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 （变结论）本例的条件不变，若cos（3π－α）＝，求f的值. 通性通法 诱导公式综合应用要“三看” 　　一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系； 二看函数名称：一般是弦切互化； 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 【跟踪训练】 已知f（α）＝. （1）化简f（α）； （2）若α是第三象限角，且cos（ α－）＝，求f（α）的值； 1.sin 95°＋cos 175°＝（　　） A.sin 5°　　B.cos 5°　 C.0　　D.2sin 5° 2.（2025·济南期末）已知sin（ α－）＝，则cos（ α＋）＝（　　） A.－ B. C.－ D. 3.〔多选〕（2025·宁波期末）设A，B，C分别是△ABC的三个内角，则（　　） A.cos（A＋B）＝cos C B.cos＝sin C.sin（A＋B）＝sin C D.sin＝sin 4.化简：＝　　　　. 提示：完成课后作业　第七章　7.2　7.2.4　第二课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $