7.2.2 单位圆与三角函数线(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦“单位圆与三角函数线”核心知识点，承接三角函数定义，通过单位圆建立角的终边与有向线段（正弦线、余弦线、正切线）的关联，为后续三角函数性质、图像学习提供几何直观的学习支架。 该资料以“江南水乡水车转动”情境引入，将现实问题抽象为数学模型，培养数学抽象与直观想象素养。通过“想一想”“题型示例”及通性通法总结，引导学生用数学思维解决比较大小、解三角不等式等问题，课中辅助教师直观教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

7.2.2　单位圆与三角函数线 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切（数学抽象）. 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题（直观想象）. 　　江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些什么呢？ 【问题】　将图中的水车抽象出一个数学模型，建立平面直角坐标系（如图所示），设水车的轮廓为单位圆.在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴.过点A（1，0）作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与，，的关系吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　单位圆 1.在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆. 2.角α的　　　和　　　分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标. 【想一想】 1.单位圆的圆心和半径分别是什么？ 2.角α的终边与单位圆的交点是否可以表示为（cos α，sin α）？ 　角的终边与单位圆的交点的坐标是　　　　. 知识点二　三角函数线 　正弦线、余弦线和正切线都称为　　　　　　. 　　提醒：三角函数线的特征：①位置：三条三角函数线中有两条在以坐标原点为圆心的单位圆内，一条在以坐标原点为圆心的单位圆外；②方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向x轴上的垂足；正切线由切点指向切线与α的终边（或其反向延长线）的交点；③正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”；④书写：起点（比如点A）在前，终点（比如点B）在后，写为. 【想一想】 1.三角函数线的长度与三角函数的值有何关系？ 2.三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？请说明理由. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）余弦线也可写成 .（　　） （2）三角函数线的长度等于三角函数值.（　　） （3）三角函数线的方向表示三角函数值的正负.（　　） （4）当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.（　　） 2.如图所示，在单位圆中角α的正弦线，正切线分别是（　　） A.， B.， C.， D.， 3.角和角有相同的（　　） A.正弦线　　　　　 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定 题型一｜三角函数线的意义 【例1】　（1）角α（0＜α＜2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为（　　） A.　　B.　　C.　　D.或 （2）作出π的正弦线、余弦线和正切线. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. 2.作正切线时，应从A（1，0）点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线. 【跟踪训练】 1.已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边（　　） A.在x轴上　　　　　 B.在y轴上 C.在直线y＝x上 D.在直线y＝－x上 2.有下列说法：①和的正弦线长度相等；②和的正切线长度相等；③和的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为（　　） A.1　　　B.2 C.3　　　D.0 题型二｜利用三角函数线比较大小 【例2】　利用三角函数线比较下列各组数的大小： （1）sin 与sin ；（2）cos 与cos ；（3）tan 与tan . 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 利用三角函数线比较三角函数值的大小的步骤 （1）角的位置标注清楚； （2）比较三角函数线的有向线段的长度； （3）确定有向线段的正负. 【跟踪训练】 　若－＜α＜－，比较sin α，cos α，tan α的大小. 题型三｜利用三角函数线解简单三角不等式（组） 【例3】　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合. （1）sin α≥；（2）cos α≤－. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 利用三角函数线解简单的三角不等式的步骤 （1）在单位圆中作出边界角的终边； （2）利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围； （3）将图中角的范围用不等式表示出来. 【跟踪训练】 　求y＝lg（1－cos x）的定义域. 　设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图①，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点P的坐标为（cos α，sin α），其中cos α＝OM，sin α＝ON，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.以A为原点建立y'轴与y轴同向，y'轴与α的终边（或其反向延长线）相交于点T（或T'），如图②，则tan α＝AT（或AT'）. 我们把有向线段OM，ON和AT（或AT'）分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示. 【问题探究】 1.设角α＝x rad，且0＜x＜ ，于是x，sin x，tan x都是实数，请你给x一个具体的值，比较三个实数的大小. 提示： 我们先给x一个具体的值来进行比较：取x＝，则sin x＝，tan x＝.因为＝＜，所以sin＜.又tan＝＝＞，所以tan ＞.从而可得sin ＜＜tan .即当x＝时，sin x＜x＜tan x. 2.你在第1问中得到的大小关系是否对区间上的任意x都成立？ 提示：设角α的顶点与圆心O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图所示.过点P作PM⊥x轴于点M，过x轴正半轴与以坐标原点为圆心的单位圆的交点A作该单位圆的切线AT，交α的终边于点T，连接AP，则MP＝sin x，AT＝tan x，S△OAP＜S扇形AOP ＜S△OAT. 因为S△OAP＝OA·MP＝sin x， S扇形AOP＝x·12＝x， S△OAT＝OA·AT＝tan x， 所以sin x＜x＜tan x， 即sin x＜x＜tan x. 因此当x∈时，sin x＜x＜tan x. 【迁移应用】 　利用三角函数线证明：正弦函数在上是增函数. 1.若角α的正切线位于第一象限，则角α是（　　） A.第一象限的角 B.第一、第二象限的角 C.第三象限的角 D.第一、第三象限的角 2.已知θ∈（ ，），在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，，，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是（　　） A.sin θ＞cos θ＞tan θ B.sin θ＞tan θ＞cos θ C.tan θ＞cos θ＞sin θ D.tan θ＞sin θ＞cos θ 3.函数y＝的定义域为　　　　. 4.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边. （1）sin α＝；（2）cos α＝－. 提示：完成课后作业　第七章　7.2　7.2.2 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.2　单位圆与三角函数线 【基础落实】 知识点一 2.余弦　正弦 想一想 1.提示：单位圆的圆心在原点，半径为单位长度即半径等于1. 2.提示：可以. 自我诊断 　　解析：由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ＝－，纵坐标是sin ＝，所以角的终边与单位圆的交点的坐标是. 知识点二 　　　　三角函数线 想一想 1.提示：三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值. 2.提示：能，当三角函数线与x轴（或y轴）正向同向时，所表示三角函数值为正的，与x轴（或y轴）正向反向时，所表示三角函数值为负的. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√ 2.C　α为第三象限角，故正弦线为，正切线为，所以C正确. 3.C　与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线. 【典例研析】 【例1】　（1）D　根据三角函数值的符号可知，当角α在二、四象限时，角α的正弦、余弦符号相反.又角α的正、余弦线的长度相等，0＜α＜2π，所以α＝或. （2）解：在直角坐标系中作单位圆，如图所示，以Ox轴为始边作角π，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin π＝，cosπ＝，tan π＝，即π的正弦线为，余弦线为，正切线为. 跟踪训练 1.B　根据正弦线的定义知，｜sin α｜＝1，所以sin α＝±1，所以角α的终边在y轴上. 2.C　和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线长度相等；和的余弦线长度相等.故①②③都正确，故选C. 【例2】　解：如图所示，设的终边与单位圆交于点P1，的终边与单位圆交于点P2. （1）过点P1作P1M1垂直x轴于点M1，过点P2作P2M2垂直x轴于点M2，则，分别是，的正弦线. ∵｜｜＞｜｜，且与的方向都与y轴的正方向相同，∴sin ＞sin . （2）易知，分别是，的余弦线. ∵｜｜＜｜｜，且与的方向都与x轴的正方向相反，∴cos ＞cos . （3）过点A（1，0）作x轴的垂线，交的终边的反向延长线于点T1，交的终边的反向延长线于点T2，则，分别是，的正切线. ∵｜｜＞｜｜，且与的方向都与y轴的正方向相反，∴tan ＜tan . 跟踪训练 　解：如图，在单位圆中，作出－＜α＜－内的任意一个角α及其余弦线、正弦线、正切线，，. 由图知，｜｜＜｜｜＜｜｜， ∴－｜｜＜－｜｜＜｜｜， 即sin α＜cos α＜tan α. 【例3】　解：（1）作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域（如图①所示的阴影部分，包括边界），即为角α的终边的范围. 故满足要求的角α的集合为. （2）作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域（如图②所示的阴影部分，包括边界），即为角α的终边的范围. 故满足条件的角α的集合为，. 跟踪训练 　解：如图所示，∵1－cos x＞0， ∴cos x＜， ∴2kπ＋＜x＜2kπ＋（k∈Z）， ∴函数定义域为（ 2kπ＋，2kπ＋）（k∈Z）. 拓视野　三角函数在单位圆中的几何表示及应用 迁移应用 　解：设0≤α1＜α2≤，分别作出α1，α2的正弦线，，如图所示. ∵｜｜＜｜｜，且与的方向都与y轴的正方向相同， ∴sin α1＜sin α2， 故正弦函数在上是增函数. 随堂检测 1.D　由正切线的定义知，当角α是第一、第三象限的角时，正切线都在第一象限. 2.D　画出图象如图所示，由图可知，tan θ＞sin θ＞cos θ. 3.　解析：利用三角函数线，画出满足条件的终边的范围（如图阴影部分所示）.因此所求定义域为{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}. 4.解：（1）作直线y＝交单位圆于P，Q两点，连接OP，OQ，则OP与OQ为角α的终边，如图甲. （2）作直线x＝－交单位圆于M，N两点，连接OM，ON，则OM与ON为角α的终边，如图乙. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $