7.2.1 三角函数的定义(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦三角函数的定义这一核心知识点，承接任意角概念，通过终边上点坐标比值系统构建正弦、余弦、正切的定义，为后续三角函数图像与性质学习搭建基础支架，涵盖定义理解、符号判断及应用等内容。 以摩天轮运动问题情境引入，培养数学抽象与数学建模素养，通过定义探究、“想一想”互动及分层题型设计发展逻辑推理与数学运算能力。课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后借练习与母题探究帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

7.2.1　三角函数的定义 【基础落实】 知识点一 　　　　　　　三角函数 想一想 　提示：无关.三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角α的大小有关. 自我诊断 1.B　∵角α的终边经过点P（3，－4），∴sin α＝＝－. 2.－　－1　解析：如图，在135°角的终边上取一点P，使OP＝1，作PM垂直于x轴，垂足为点M，则∠POM＝45°.在Rt△PMO中，OM＝MP＝，所以点P的坐标为.所以cos 135°＝－，tan 135°＝－1. 知识点二 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）× 2.解：（1）因为260°是第三象限角，所以cos 260°＜0. （2）因为－是第四象限角，所以sin＜0. （3）因为是第三象限角，所以tan ＞0. 【典例研析】 【例1】　（1）A　由sin α，cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A. （2）解：直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点（－1，），则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；在第四象限取直线上的点（1，－），则r＝＝2，所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 母题探究 　解：由条件知不妨令x＝－3，则y＝－4，∴r＝5，∴cos α＝＝－，sin α＝＝－，tan α＝＝. 跟踪训练 1.D　由三角函数的定义得cos α＝x＝，解得x＝0或x＝±.又点P在第二象限内，所以x＝－. 2.解：若角α的终边在第一象限内，设点P（a，2a）（a＞0）是其终边上任意一点， 因为r＝｜OP｜＝＝a（a＞0），所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝， tan α＝＝＝2. 若角α的终边在第三象限内，设点P（a，2a）（a＜0）是其终边上任意一点， 因为r＝｜OP｜＝＝－a（a＜0），所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝2. 【例2】　（1）C　（2）C　解析：（1）由sin θcos θ＞0可知θ是第一或第三象限角，由sin θtan θ＜0可知θ是第二或第三象限角，所以θ是第三象限角. （2）由于α是第四象限角，故sin α＜0，tan α＜0，故点P（sin α，tan α）在第三象限. 跟踪训练 　ABD　因为90°＜165°＜180°，所以sin 165°＞0；因为270°＜280°＜360°，所以cos 280°＞0；因为90°＜170°＜180°，所以tan 170°＜0；因为270°＜310°＜360°，所以tan 310°＜0.故选A、B、D. 【例3】　C　∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴－＝－＝2. 跟踪训练 　{－4，0，2}　解析：由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上，当x为第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，sin xcos x＞0，y＝0；当x为第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，sin xcos x＜0，y＝2；当x为第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，sin xcos x＞0，y＝－4；当x为第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，sin xcos x＜0，y＝2.故函数y＝＋－的值域为{－4，0，2}. 随堂检测 1.B　∵角α的终边经过点P（－4，3），∴r＝｜OP｜＝5.∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.∴2sin α＋tan α＝2×＋＝.故选B. 2.D　由cos α＞0，得角α的终边在第一象限或第四象限或x轴的正半轴上.由sin α＜0，得角α的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上.综上可得，角α的终边在第四象限. 3.BC　由题意得α为第二象限角，sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝－. 4.（1）＜　（2）＜　（3）＜　解析：（1）因为270°＜328°＜360°，所以328°在第四象限，所以sin 328°＜0. （2）因为π＜π＜π，所以π在第三象限，所以cos π＜0. （3）因为π＜π＜π，所以π在第二象限，所以tan π＜0. 5.解：根据三角函数的定义，tan α＝＝－， 所以a＝－12， 所以P（5，－12），r＝13， 所以sin α＝－，cos α＝， 从而sin α＋cos α＝－. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.1　三角函数的定义 1.理解三角函数的定义，会求给定角的三角函数值（数学抽象、数学运算）. 2.会判断给定角的三角函数值的符号（逻辑推理）. 　　如图所示是某游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，按逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒. 【问题】　若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　任意角的正弦、余弦与正切的定义 前 提 如图，角α终边上异于原点的任意一点P（x，y），r＝ 定 义 正弦 称　　　为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝　　　 余弦 称　　　为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝　　　 正切 当角α的终边不在y轴上时，称　　　为角α的正切，记作tan α，即tan α＝　　　. 角α的正弦、余弦、正切都称为α的　　　 　　提醒：对三角函数定义的理解：①三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合（弧度制）到一个比值的集合的对应；②三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围. 【想一想】 　三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？ 1.已知角α的终边经过点P（3，－4），那么sin α的值为（　　） A.－　　B.－　　C.－　　D. 2.135°角的余弦函数值为　　　　，正切函数值为　　　　. 知识点二　正弦、余弦与正切在各象限的符号 　　提醒：三角函数值的符号：正弦、余弦和正切函数值在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.其含义是：在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α是三角形的内角，则必有sin α＞0.（　　） （2）若α是第二象限角，且P（x，y）是其终边与单位圆的交点，则cos α＝－x.（　　） （3）若sin α＞0，则α是第一或第二象限角.（　　） 2.确定下列各三角函数值的符号： （1）cos 260°；（2）sin；（3）tan . 　　 题型一｜任意角的三角函数的定义及应用 【例1】　（1）若sin α＝，cos α＝－，则在角α终边上的点有（　　） A.（－4，3） B.（3，－4） C.（4，－3） D.（－3，4） （2）已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 （变条件）本例（2）中条件变为“角α的终边落在射线4x－3y＝0（x≤0）上”，问题不变. 通性通法 　　由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤 （1）已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值； ②在α的终边上任选一点P（x，y），P到原点的距离为r（r＞0），则sin α＝，cos α＝，tan α＝. （2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对参数正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论. 【跟踪训练】 1.已知α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cos α＝x，则x等于（　　） A.　　B.± C.－　　D.－ 2.已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值. 题型二｜三角函数值符号的判定 【例2】　（1）已知sin θcos θ＞0，sin θtan θ＜0，则角θ是（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 （2）若α是第四象限角，则点P（sin α，tan α）在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 正弦、余弦函数值的正负规律 【跟踪训练】 　〔多选〕下列三角函数判断正确的是（　　） A.sin 165°＞0 B.cos 280°＞0 C.tan 170°＞0 D.tan 310°＜0 题型三｜三角函数式的化简 【例3】　当α为第二象限角时，－的值是（　　） A.1　　　B.0 C.2　　　D.－2 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　带绝对值的问题，关键是去绝对值，去绝对值时，要注意绝对值内代数式的正负. 【跟踪训练】 　函数y＝＋－的值域是　　　. 1.已知角α的终边过点P（－4，3），则2sin α＋tan α的值是（　　） A.－　　B.　　C.－　　D. 2.若cos α＞0，sin α＜0，则角α的终边在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.〔多选〕已知角α的终边上一点P的坐标为（－1，），则（　　） A.α为第四象限角 B.sin α＝ C.cos α＝－ D.tan α＝ 4.判断下列各式的符号（填“＞”或“＜”）： （1）sin 328°　　　　0；（2）cos π　　　　0；（3）tan π　　　　0. 5.已知角α的终边过点P（5，a），且tan α＝－，求sin α＋cos α的值. 提示：完成课后作业　第七章　7.2　7.2.1 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $