模块综合检测（二）(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

模块综合检测（二） （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.集合{α｜kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（　　） 解析：C　集合中角α的终边落在直线y＝x与y轴之间.故选C. 2.已知a，b，c为三个非零向量.甲：a·b＝a·c；乙：b＝c，则（　　） A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析：B　若乙：b＝c成立，则a·b＝a·c成立，∴甲是乙的必要条件；反之，不成立.令a＝0，当b≠c时，有0·b＝0·c成立，∴甲不是乙的充分条件. 3.若cos（－α）＝，则sin 2α＝（　　） A.　　　 B.　　　 C.－　　　 D.－ 解析：D　由cos（－α）＝（cos α＋sin α）＝，得cos α＋sin α＝，两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－.故选D. 4.已知向量a＝（1，n），b＝（－1，n），若2a－b与b垂直，则｜a｜＝（　　） A.1 B. C.2 D.4 解析：C　∵（2a－b）·b＝2a·b－｜b｜2＝2（－1＋n2）－（1＋n2）＝n2－3＝0，∴n2＝3，∴｜a｜＝＝2. 5.把函数f（x）＝3sin 3x的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（　　） A.y＝3sin（3x＋） B.y＝3sin（3x－） C.y＝3cos 3x D.y＝－3cos 3x 解析：C　由题意得f（x）的最小正周期为，则所求函数为y＝3sin［3（x＋×）］＝3sin（3x＋）＝3cos 3x. 6.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为（　　） A.－ B. C. D. 解析：B　由DE＝2EF可得＝＝，且·＝，则·＝（＋）·（－）＝（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2－·＝－－＝.故选B. 7.若函数f（x）＝sin＋cos在（－a，a）（a＞0）上单调递增，则a的取值范围是（　　） A.（ 0，］ B.（0，］ C.（0，］ D.（0，］ 解析：A　f（x）＝sin＋cos＝2sin（＋），由－＋2kπ≤＋≤＋2kπ（k∈Z）得－＋4kπ≤x≤＋4kπ（k∈Z），所以（－a，a）⊆［－，］，则a∈（0，］.故选A. 8.已知A（－1，0），B（1，0），M是曲线x＝上异于点B的任意一点，令∠MAB＝α，∠MBA＝β，则下列式子中最大的是（　　） A.｜tan α·tan β｜ B.｜tan α＋tan β｜ C.｜tan α－tan β｜ D.｜｜ 解析：C　依据对称性，不妨设点M在第一象限，即M（x，y）（x＞1，y＞0），则tan α＝，tan β＝－，即｜tan α·tan β｜＝＝1；｜tan α＋tan β｜＝｜－｜＝｜｜＝；｜tan α－tan β｜＝｜＋｜＝＝·x＞，｜tan α－tan β｜＝·x＝2·＝2·＝2·＞2＞1，｜｜＝｜｜＝｜1－｜＜1.故选C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，周长为L，则（　　） A.若α，r确定，则L，S唯一确定 B.若α，l确定，则L，S唯一确定 C.若S，L确定，则α，r唯一确定 D.若S，l确定，则α，r唯一确定 解析：ABD　对于A，若a，r确定，则L＝2r＋l＝2r＋｜α｜·r，S＝l·r＝｜α｜·r2，故L，S唯一确定，故A正确；对于B，若α，l确定，则r＝确定，从而L＝2r＋α·r，S＝｜α｜·r2唯一确定，故B正确；对于C，若S，L确定，则S＝α·r2，L＝2r＋αr，则α，r可能有两解，不唯一确定，故C错误；对于D，若S，l确定，则S＝α·r2，l＝αr，从而α，r唯一确定，故D正确.故选A、B、D. 10.已知函数f（x）＝2sin（2x－）＋1，则下列说法中正确的是（　　） A.f（－x）＝2－f（x） B.f（－x）的图象关于直线x＝对称 C.若0＜x1＜x2＜，则f（x1）＜f（x2） D.若x1，x2，x3∈［，］，则f（x1）＋f（x2）＞f（x3） 解析：BD　对于A，因为f（x）＝2sin（2x－）＋1，所以f（－x）＝－2sin 2x＋1，故A错误；对于B，当x＝时，f（－x）＝－2sin（2×）＋1＝－1取到最值，故直线x＝是对称轴，故B正确；对于C，f（x）＝2sin（2x－）＋1的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z，所以f（x）在［－，］上单调递增，在［，］上单调递减，故C错误；对于D，因为f（x）＝2sin（2x－）＋1在［，］上单调递增，在［，］上单调递减，故f（x）min＝f（）＝f（）＝＋1，f（x）max＝f（）＝3，则f（x1）＋f（x2）≥2f（x）min＝2＋2＞3＝f（x）max≥f（x3），故D正确.故选B、D. 11.平面向量m，n满足｜m｜＝｜n｜＝1，对任意的实数t，｜m－n｜≤｜m＋tn｜恒成立，则（　　） A.m与n的夹角为60° B.（m＋tn）2＋（m－tn）2为定值 C.｜n－tm｜的最小值为 D.m在m＋n上的投影向量为（m＋n） 解析：AD　设平面向量m与n的夹角为θ，因为对任意的实数t，｜m－n｜≤｜m＋tn｜恒成立，即m2－m·n＋n2≤m2＋2tm·n＋t2n2恒成立，又｜m｜＝｜n｜＝1，所以t2＋2tcos θ＋cos θ－≥0对任意的实数t恒成立，所以Δ＝4cos2θ－4cos θ＋1＝（2cos θ－1）2≤0，则cos θ＝，所以θ＝60°，故A正确；对于B，（m＋tn）2＋（m－tn）2＝1＋2tcos 60°＋t2＋1＋t2－2tcos 60°＝2＋2t2，随t的变化而变化，故B错误；对于C，因为｜n－tm｜＝＝＝，由二次函数的性质可知，当t＝时，｜n－tm｜取最小值，故C错误；对于D，向量m＋n的一个单位向量为e＝＝，由向量夹角公式可得cos＜m，m＋n＞＝＝＝，则m在m＋n上的投影向量为｜m｜·cos＜m，m＋n＞e＝1××＝（m＋n），故D正确.故选A、D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知函数f（x）＝－cos（ωx＋φ－），（－π＜φ＜π，ω≠0）是奇函数，则φ＝　－或　. 解析：因为函数f（x）＝－cos（ωx＋φ－）是奇函数，所以φ－＝kπ＋（k∈Z），即φ＝kπ＋，k∈Z.又－π＜φ＜π，故当k＝0时，φ＝；当k＝－1时，φ＝－π＋＝－. 13.已知平面向量a，b，c均为单位向量，且｜a－b｜＝1，则（a－b）·（b－c）的最大值为　　. 解析：依题意，1＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2a·b，故a·b＝，所以（a－b）·（b－c）＝a·b－b2－（a－b）·c＝（b－a）·c－＝｜b－a｜｜c｜·cos＜b－a，c＞－≤1－＝，当且仅当b－a与c同向时取等号.所以（a－b）·（b－c）的最大值为. 14.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为α（0°＜α＜45°），且小正方形与大正方形面积之比为1∶25，则tan α＝　　. 解析：依题意可令大正方形边长，小正方形边长分别为5a，a，所以5acos α－a＝5asin α，则5cos α－5sin α＝1＞0.又0＜α＜，所以sin αcos α＝，即＝，解得tan α＝或（舍去）. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝sin（x＋）＋cos（x＋），x∈R. （1）求f（）的值； （2）当x∈［0，］时，求函数f（x）的值域. 解：（1）f（）＝sin＋cos＝. （2）f（x）＝sin（x＋＋）＝sin（x＋）， 因为x∈［0，］，所以x＋∈［，π］. 当x＋＝π，即x＝时，f（x）min＝0， 当x＋＝，即x＝时，f（x）max＝1， 所以函数f（x）的值域为[0，1]. 16.（本小题满分15分）已知向量m＝（1，3cos α），n＝（1，4tan α），α∈（－，），且m·n＝5. （1）求｜m＋n｜； （2）向量m与n的夹角为β，求tan（α＋β）的值. 解：（1）由m·n＝1＋12cos αtan α＝5，解得sin α＝， 因为α∈（－，），所以cos α＝，tan α＝， 则m＝（1，2），n＝（1，），所以m＋n＝（2，3）， 所以｜m＋n｜＝. （2）由（1）知m＝（1，2），n＝（1，）， 则cos β＝cos＜m，n＞＝＝， sin β＝＝，所以tan β＝， 所以tan（α＋β）＝＝. 17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋）（A＞0，0＜ω＜1），f（）＝f（），且f（x）在（0，）上的最大值为. （1）求f（x）的解析式； （2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若g（）＝，求sin 2α的值. 解：（1）因为0＜ω＜1，所以周期T＝＞2π，又f（x）在（0，）上的最大值为，且f（）＝f（），所以当x＝×（＋）＝时，f（x）取得最大值，所以A＝，且f（）＝， 即sin（ω＋）＝， 因为0＜ω＜1，所以＜ω＋＜，故ω＋＝，解得ω＝，故f（x）＝sin（x＋）. （2）由题意得g（x）＝f（3x）＝sin（2x＋）， 又g（）＝sin（α＋）＝，所以sin（α＋）＝，所以sin 2α＝－cos（2α＋）＝2sin2（α＋）－1＝－. 18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋. （1）求证：A，B，C三点共线，并求的值； （2）已知A（1，sin x），B（1＋sin x，sin x），x∈（0，π），且函数f（x）＝·＋（2m－）｜｜的最小值为，求实数m的值. 解：（1）证明∵＝＋，∴－＝（－），∴＝，又，有公共点B，∴A，B，C三点共线，＝. （2）∵A（1，sin x），B（1＋sin x，sin x），∴＝＋＝（1＋sin x，sin x），∴·＝1＋sin x＋sin2x. 又｜｜＝sin x（x∈（0，π））， ∴f（x）＝·＋（2m－）｜｜＝sin2x＋2msin x＋1（x∈（0，π））. 设sin x＝t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1]， ∴y＝t2＋2mt＋1＝（t＋m）2＋1－m2. ①当－m≤0，即m≥0时，y＝t2＋2mt＋1无最小值，不合题意； ②当0＜－m≤1，即－1≤m＜0时，当t＝－m时，ymin＝1－m2＝，∴m＝－； ③当－m＞1，即m＜－1时，当t＝1时，ymin＝2＋2m＝，m＝－＞－1，不合题意. 综上可知，m＝－. 19.（本小题满分17分）对于分别定义在D1，D2上的函数f（x），g（x）以及实数k，若任取x1∈D1，存在x2∈D2，使得f（x1）＋g（x2）＝k，则称函数f（x）与g（x）具有关系M（k），其中x2称为x1的像. （1）若f（x）＝2sin（2x＋），x∈R；g（x）＝3cos（3x＋），x∈R.判断f（x）与g（x）是否具有关系M（－6），并说明理由； （2）若f（x）＝2sin（2x＋），x∈［0，］；g（x）＝3cos（3x＋），x∈[0，π]，且f（x）与g（x）具有关系M（），求x1＝的像； （3）若f（x）＝2sin（2x＋），x∈［－，］；g（x）＝－2sin2x＋asin x＋2，x∈R，且f（x）与g（x）具有关系M（5），求实数a的取值范围. 解：（1）f（x）与g（x）不具有关系M（－6），理由如下：当x∈R时，f（x）＝2sin（2x＋）∈[－2，2]，g（x）＝3cos（3x＋）∈[－3，3]，所以f（x1）＋g（x2）∈[－5，5]，－6∉[－5，5]，则f（x）与g（x）不具有关系M（－6）. （2）由题意可知f（x1）＋g（x2）＝2sin（2×＋）＋3cos（3x2＋）＝＋3cos（3x2＋）＝，所以cos（3x2＋）＝， 所以3x2＋＝±＋2kπ，k∈Z，又x2∈[0，π]，所以3x2＋∈［，］，解得x2＝或或， 即x1＝的像为或或. （3）若x∈［－，］，则2x＋∈［－，］， 所以f（x）＝2sin（2x＋）∈[－1，2]， 即∀x1∈［－，］，f（x1）∈[－1，2]. 因为f（x）与g（x）具有关系M（5），所以满足∃x2∈R，使得[－1，2]包含于5－g（x2）的取值范围即可. 令5－g（x）＝2sin2x－asin x＋3（x∈R），令t＝sin x， 即t∈[－1，1]，设h（t）＝2t2－at＋3（t∈[－1，1]）. ①若≤－1，即当a≤－4时，h（t）∈[h（－1），h（1）]＝[5＋a，5－a]，则解得a≤－6； ②若≥1，即当a≥4时，h（t）∈[h（1），h（－1）]＝[5－a，5＋a]，则解得a≥6； ③若－1＜≤0，即当－4＜a≤0时，h（t）∈［h（），h（1）］＝［3－，5－a］，则a无解； ④若0＜＜1，即当0＜a＜4时，h（t）∈［h（），h（－1）］＝［3－，5＋a］，则a无解. 综上所述，实数a的取值范围为（－∞，－6]∪[6，＋∞）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $