模块综合检测卷(二)（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

模块综合检测卷(二) [时间：120分钟，满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin ，则当t＝ s时，电流I为(　　) A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A 解析　由题知t＝ s时，I＝5sin ＝5cos ＝2.5 (A)，故选B. 答案　B 2．(2025·辽宁朝阳期中)已知平面向量a，b满足|a|＝2，b＝(，1)，若|a－b|＝1，则|a＋b|＝(　　) A．2 B．4 C． D． 解析　∵b＝(，1)，∴|b|＝2， ∵|a－b|＝1，∴a2－2a·b＋b2＝1， 即 4－2a·b＋4＝1，∴2a·b＝7， ∴|a＋b|＝＝＝＝，故选D. 答案　D 3．(2025·江西上饶月考)某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间满足关系式 y＝20sin ，t∈，则该弹簧振子运动的最小正周期为(　　) A．0.6 s B．0.5 s C．0.4 s D．0.3 s 解析　由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期 T＝＝0.6(s). 答案　A 4．(2025·湖南长沙月考)已知sin θ＋cos θ＝，0≤θ≤π，则cos 2θ＝(　　) A．－ B．－ C． D．± 解析　已知sin θ＋cos θ＝，两边同时平方得2＝，即cos2θ＋sin2θ＋2sinθcos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝－， 所以2＝1－2sin θcos θ＝， 又 2sin θcos θ＝－<0，0≤θ≤π，由sin θ>0得cos θ<0，所以sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ＝， 所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－(sinθ＋cos θ)·(sin θ－cos θ)＝－×＝－. 答案　B 5．(2025·广东中山月考)已知向量m＝(2cos2x，)，n＝(1，－sin2x)，设函数 f(x)＝m·n，下列关于函数f(x)的描述正确的是(　　) A．关于直线x＝对称 B．关于点对称 C．在上是增函数 D．相邻两条对称轴之间的距离为 解析　向量m＝，n＝， 则f(x)＝m·n＝2cos2x－sin2x＝cos 2x－sin 2x＋1＝2cos ＋1， 对于A，f＝2cos ＋1＝1≠±2＋1，f(x)不关于直线x＝对称，A错误； 对于B，f＝2cos ＋1＝0≠0＋1，f(x)不关于点对称，B错误； 对于C，当 x∈时，2x＋∈，由于y＝cos x在上不单调，故f(x)在上不单调，C错误； 对于D，f(x)最小正周期 T＝π，则相邻两条对称轴之间的距离＝，D正确． 答案　D 6．记某时钟的中心点为O，分针针尖对应的端点为A.已知分针长OA＝5 cm，且分针从12点位置开始绕中心点O顺时针匀速转动．若以中心点O为原点，3点和12点方向分别为x轴和y轴正方向建立平面直角坐标系，则点A到x轴的距离y(单位：cm)与时间t(单位：min)的函数解析式为(　　) A．y＝5|sin t| B．y＝5|cos t| C．y＝5 D．y＝5 解析　如图所示： 由题意得分针每分钟转－＝－ rad，则t分钟后转了－t rad， 则点A到x轴的距离y与时间t的关系可设为：y＝5， 当t＝0时，点A在钟表的12点处，此时y＝5， 所以5＝5⇔|sin φ|＝1， 所以可以取φ＝，此时y＝5，故选D. 答案　D 7．(2024·浙江丽水高一期末)已知α∈，β∈，sin β＝－，且cos (α－β)＝，则α的值(　　) A． B． C． D． 解析　因为β∈，sin β＝－， 所以cos β＝； 因为α∈，β∈， 所以α－β∈(0，π)， 因为cos (α－β)＝，所以sin (α－β)＝， 因为sin α＝sin (α－β＋β) ＝sin (α－β)cos β＋cos (α－β)sin β ＝×＋×＝， 又α∈，所以α＝. 答案　B 8．(2024·北京朝阳高一期中)在△ABC中，AB＝1，AC＝3，A＝60°，则BC边上的中线长为(　　) A． B． C． D． 解析　如下图，设D为BC的中点， 则＝(＋)，两边同时平方可得： 2＝(2＋2＋2||·||cos 60°)， 2＝＝， 解得||＝. 答案　A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝，＝2，延长DP交BC于点M，则下列结论正确的是(　　) A．＝－ B．＝4 C．·＝1 D．·＝ 解析　依题意， 因为在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝，＝2， 所以＝＝＝2，即M为BC的中点， 所以＝＝＝－，故A正确； 因为，不共线，所以＝4错误，故B错误； ·＝2×1×cos ＝1，故C正确； ·＝·＝2＋·－2＝， 故D正确． 答案　ACD 10．已知函数f(x)＝sin x cos x－cos2x，下列命题正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)在区间上为增函数 C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D．函数f(x)的图象可由函数f(x)＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到 解析　f(x)＝sin 2x－＝sin －，显然A错误；x∈时，2x－∈，函数f(x)为增函数，故B正确；令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，显然x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确；f(x)＝·sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y＝·sin ＝sin 的图象，故D错误． 答案　BC 11．函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)＝3sin B．f(x)图象的一条对称轴方程是x＝－ C．f(x)图象的对称中心是(k∈Z) D．函数y＝f是偶函数 解析　由函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)的图象知： T＝－＝π，所以T＝π，即＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝3sin (2x＋φ)， 因为f＝3sin ＝3， 所以φ－＝＋2kπ，k∈Z， 即φ＝＋2kπ，k∈Z，因为0<φ<π， 所以φ＝，f(x)＝3sin . 对选项A，因为f(x)＝3sin ，故A错误． 对选项B，f＝3sin ＝3sin ＝－3，故B正确． 对选项C，令2x＋＝kπ，k∈Z， 解得x＝kπ－，k∈Z， 所以f(x)的对称中心是(k∈Z)，故C错误． 对选项D，设g(x)＝f＝3sin ＝3sin ＝3cos 2x， 则g(x)的定义域为R，g(－x)＝3cos (－2x)＝3cos 2x＝g(x)， 所以g(x)为偶函数，故D正确． 答案　BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为54 cm，内弧线的长为18 cm，连接外弧与内弧的两端的线段的长均为16 cm，则该扇环的面积为 cm2. 解析　设该扇形内弧半径为r cm， 由弧长公式和已知，可得＝， 解得r＝8 (cm)， 则外弧半径为8＋16＝24 cm， 所以该扇环的面积为×54×24－×18×8＝576 cm2. 答案　576 13．(2024·广东广州高一期中)△ABC中，若sin ＝－，则sin ＝ ． 解析　△ABC中，若sin ＝－，则＞A＋＞π，则cos ＝－＝－. 故sin ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝×－×＝. 答案　 14．(2025·北京朝阳高一月考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是CD的中点，那么·＝ ． 解析　因为在矩形ABCD中，E是CD的中点，AB＝4， 所以＝，＝＋＝＋， ·＝0， 则·＝·＝·＋2＝0＋×16＝8. 答案　8 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(2025·陕西西安期末)如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，设AB的中点为O，以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，已知B(1，0). (1)求 ·； (2)若点G在线段BC上，·＝1，求cos 〈，〉. 解析　(1)因为B(1，0)，由对称性可得A，E，F，则＝，＝，∴·＝－3＋9＝6. (2)设G，则＝， ∴·＝－2＋3λ＝1，解得λ＝1， ∴＝， ∴cos 〈，〉＝＝＝. 16．(15分)(2025·上海闵行期中)已知函数f(x)＝sin2x＋sinx·cos x. (1)求f(x)的值域，并写出f(x)的单调递增区间； (2)求f(x)的对称轴方程，并求方程f(x)＝的解集． 解析　(1)由f(x)＝sin2x＋sinx·cos x＝－＋sin 2x＝sin ＋，因为 x∈R，所以函数 f(x)＝sin ＋的值域为，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数 f(x)＝sin ＋的单调递增区间是(k∈Z). (2)令2x－＝＋kπ，k∈Z， 解得x＝＋，k∈Z， 即函数 f(x)＝sin ＋的对称轴方程为 x＝＋，k∈Z. 由方程 f(x)＝sin ＋＝⇒sin ＝，则2x－＝＋2kπ，k∈Z或 2x－＝＋2kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z或 x＝＋kπ，k∈Z，故方程 f(x)＝的解集为. 17．(15分)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b. (1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 解析　(1)由已知，可得f(x)＝a·b ＝sin x cos x－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin ， ∴f(x)的最小正周期T＝＝π； 令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z). (2)∵x∈，∴2x－∈， ∴sin ∈， ∴f(x)∈， ∴f(x)的最大值为1，最小值为－. 18．(17分)如图所示，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为. (1)求sin 2α－cos 的值； (2)已知OP⊥OQ，求sin (α＋β). 解析　(1)由已知，sin α＝，cos α＝－， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， 又0<α<π，∴0<<，∴cos >0， ∴cos ＝ ＝ ＝. ∴sin 2α－cos ＝－－＝－. (2)∵OP⊥OQ，∴β＝α－， ∴sin β＝sin ＝－cos α＝， cos β＝cos ＝sin α＝， ∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝. 19．(17分)某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB＝50米，BC＝25 米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE，EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF＝90°，如图所示． (1)设∠BOE＝α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用． 解析　(1)∵在Rt△BOE中，OB＝25，∠B＝90°，∠BOE＝α，OE＝. 在Rt△AOF中，OA＝25，∠A＝90°，∠AFO＝α，∴OF＝. 又∠EOF＝90°，∴EF＝＝ ＝， ∴l＝OE＋OF＋EF ＝＋＋， 即l＝. 当点F在点D时，这时角α取小，求得此时α＝；当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α＝. 故此函数的定义域为. (2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可． 由(1)得，l＝，α∈， 设sin α＋cos α＝t，则sin α·cos α＝， ∴l＝＝＝， 由≤α＋≤，得≤t≤， ∴≤t－1≤－1， 从而＋1≤≤＋1， 当α＝，即BE＝25时，lmin＝50(＋1). 所以当BE＝AF＝25米时，铺路总费用最低，最低总费用为20 000(＋1)元． 学科网（北京）股份有限公司 $