章末检测（八） 向量的数量积与三角恒等变换(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

章末检测（八）　向量的数量积与三角恒等变换 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知向量a＝（－1，3），b＝（1，k），若a⊥b，则实数k的值是（　　） A.3　　　　B.－3　　　　 C.　　　　D.－ 解析：C　∵a⊥b，∴a·b＝－1×1＋3k＝0，∴k＝. 2.＝（　　） A.2 B. C. D. 解析：D　＝＝＝，故选D. 3.已知sin＝，则cos＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　∵sin＝，∴cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝.故选A. 4.已知｜a｜＝｜b｜＝3，e是与b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为e，则向量a与b的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：B　根据题意，设a与b的夹角为θ.已知向量a在向量b上的投影向量为（｜a｜cos θ）e＝e，｜a｜＝3，则有cos θ＝.又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，故选B. 5.已知函数f（x）＝sin x＋acos x，且f（ x＋）是偶函数，则实数a＝（　　） A. B. C. D.2 解析：B　f（x）＝sin x＋acos x＝sin（x＋φ），其中tan φ＝a，f（ x＋）＝sin（ x＋＋φ），f（ x＋）为偶函数，故＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z，则a＝tan φ＝. 6.已知向量a＝（－1，），b＝（2，－），a与b的夹角为θ，则sin（ ＋θ）＝（　　） A. B.－ C.－ D. 解析：C　a·b＝（－1）×2＋×（－）＝－2－3＝－5，｜a｜＝＝＝2，｜b｜＝＝＝，所以cos θ＝＝＝－.根据三角函数诱导公式sin（ ＋θ）＝cos θ，所以sin（ ＋θ）＝－. 7.已知sin（α＋2β）＝，cos β＝，α，β为锐角，则sin（α＋β）的值为（　　） A. B. C. D. 解析：D　因为sin（α＋2β）＝，cos β＝，α，β为锐角，又cos（2β）＝2cos2β－1＝－＜0，所以α＋2β大于90°.由同角三角函数关系，可得cos（α＋2β）＝－，sin β＝，所以sin（α＋β）＝sin[（α＋2β）－β]＝sin（α＋2β）cos β－cos（α＋2β）sin β＝×－×＝，故选D. 8.已知向量a＝（cos θ，sin θ），b＝（1，），其中θ∈[0，π]，则a·b的取值范围是（　　） A.[－1，2] B.[－1，1] C.[－2，2] D.[－，2] 解析：A　a·b＝cos θ＋sin θ＝2sin，∵θ∈[0，π]，∴θ＋∈，∴sin∈，∴a·b∈[－1，2].故选A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知向量a＝（1，2），｜b｜＝2，｜a＋b｜＝，则（　　） A.a在b上的投影的数量是－ B.b在a上的投影向量是（ －，－） C.a与b夹角的正弦值是 D.（4a＋b）⊥b 解析：AD　因为a＝（1，2），｜b｜＝2，｜a＋b｜＝，所以｜a｜＝＝，a2＋2a·b＋b2＝7，即5＋4＋2a·b＝7，所以a·b＝－1.对于A，a在b上的投影的数量是＝－，故A正确；对于B，b在a上的投影向量是·＝－a＝（ －，－），故B错误；对于C，cos＜a，b＞＝＝＝－，所以sin＜a，b＞＝＝，故C错误；对于D，因为（4a＋b）·b＝4a·b＋b2＝－4＋4＝0，所以（4a＋b）⊥b，故D正确.故选A、D. 10.已知sin α＝－，180°＜α＜270°，则下列选项正确的是（　　） A.sin 2α＝－ B.sin ＝ C.cos ＝－ D.tan ＝－2 解析：BCD　∵180°＜α＜270°，∴cos α＝－，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故A错误.∵90°＜＜135°，∴sin ＝ ＝ ＝；cos ＝－ ＝ ＝－；tan ＝＝－2，故B、C、D均正确. 11.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，令g（x）＝f（x）－2sin2（ ＋x）＋1，则下列说法正确的有（　　） A.f（x）的最小正周期为π B.g（x）图象的对称轴方程为x＝kπ＋（k∈Z） C.g（x）在［0，］上的值域为［－1，］ D.g（x）的单调递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z） 解析：ACD　对于函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），由图可知A＝，函数f（x）的最小正周期为T＝×（ ＋）＝π，则ω＝＝2，所以f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π），又f（ ）＝sin（ 2×＋φ）＝－，所以2×＋φ＝－＋2kπ（k∈Z），解得φ＝－＋2kπ（k∈Z），又0＜φ＜π，所以φ＝，则f（x）＝sin（ 2x＋），所以g（x）＝sin（ 2x＋）－2sin2（ ＋x）＋1＝sin（ 2x＋）＋cos（2x＋π）＝（ －sin 2x＋cos 2x）－cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝cos（ 2x＋）.对于A，f（x）的最小正周期为π，A正确；对于B，对于g（x），令2x＋＝kπ（k∈Z），解得x＝－（k∈Z），函数g（x）图象的对称轴方程为x＝－（k∈Z），B错误；对于C，当0≤x≤时，≤2x＋≤，所以－1≤cos（ 2x＋）≤，即g（x）在［0，］上的值域为［－1，］，C正确；对于D，令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ（k∈Z），解得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），即g（x）的单调递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z），D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知角α终边经过点P（2，1），则sin 2α＝　　　　. 解析：由三角函数的定义可得sin α＝＝，cos α＝＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝. 13.已知向量a＝（2，4），b＝（－2，2），若c＝a＋（a·b）b，则｜c｜＝　6　，cos＜a，b＞＝　　. 解析：由题知a·b＝2×（－2）＋4×2＝4，所以c＝a＋4b＝（－6，12），｜c｜＝＝6.cos＜a，b＞＝＝＝. 14.随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1∶0.618∶1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点.若照片长、宽比例为7∶3，设∠CAB＝α，则－tan α＝　　. 解析：依题意＝，所以tan α＝，所以－tan α＝－tan α＝－tan α＝＝＝＝. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知｜a｜＝4，｜b｜＝8，a与b的夹角是120°. （1）求a·b及｜a＋b｜的值； （2）当k为何值时，（a＋2b）⊥（ka－b）？ 解：（1）a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝－16，｜a＋b｜＝＝＝4. （2）由题意，知（a＋2b）·（ka－b）＝ka2＋（2k－1）a·b－2b2＝0，即16k－16（2k－1）－2×64＝0，解得k＝－7. 16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝sin（ 2x＋）＋sin（ 2x－）＋2cos2x－1，x∈R. （1）求函数f（x）的最小正周期和f（x）图象的对称轴方程； （2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到g（x）的图象，求函数y＝g（x）＋2cos x在［0，］上的值域. 解：（1）f（x）＝sin（ 2x＋）＋sin（ 2x－）＋2cos2x－1 ＝sin 2xcos＋cos 2xsin＋sin 2xcos－cos 2xsin＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin（ 2x＋），函数f（x）的最小正周期T＝＝π. 令2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋（k∈Z）. 所以f（x）图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）. （2）由题知g（x）＝sin［2（ x－）＋］＝sin（ 2x－）＝－cos 2x， 则y＝－cos 2x＋2cos x＝－（2cos2x－1）＋2cos x＝－2cos2x＋2cos x＋， 令t＝cos x，x∈［0，］，t∈[0，1]，则y＝－2t2＋2t＋＝－2（ t－）2＋， 当t＝时，ymax＝；当t＝1时，ymin＝2－. 综上可知，所求值域为［2－，］. 17.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知A（2，3），B（1，4），C（3，3）. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若点D满足∥，⊥，求点D的坐标及向量在向量上的投影向量的坐标. 解：（1）因为A（2，3），B（1，4），C（3，3）， 所以＝（2，3），＝（3，3）－（1，4）＝（2，－1）， 所以cos＜，＞＝＝＝，故向量与夹角的余弦值为. （2）依题意可得＝（1，4），＝（3，3）， 由∥，不妨设＝λ＝（λ，4λ）（λ≠0）， 所以＝＋＝（2，3）＋（λ，4λ）＝（λ＋2，4λ＋3）， 因为⊥，所以·＝3（λ＋2）＋3（4λ＋3）＝0，解得λ＝－1，所以＝（1，－1），即D（1，－1）， 所以·＝1×1＋4×（－1）＝－3，｜｜＝＝， 所以向量在向量上的投影向量为·＝·（1，4）＝（－，－）， 故向量在向量上的投影向量的坐标为（－，－）. 18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），定义这两个向量的“相离度”为d（a，b）＝，容易知道非零向量a，b平行的充要条件为d（a，b）＝0. （1）已知向量a＝（，2），b＝（1，－4），求d（a，b）； （2）（ⅰ）设向量a，b的夹角为θ，证明：d（a，b）＝sin θ； （ⅱ）在△ABC中，AB＝4，AC＝8，D为BC的中点，且AD＝2，若＝2，求d（，）. 解：（1）由d（a，b）＝，a＝（，2），b＝（1，－4）， 可得d（a，b）＝＝. （2）（ⅰ）证明：因为cos2θ＋d2（a，b）＝＋ ＝＝1， 且d（a，b）≥0，θ∈[0，π]，则d2（a，b）＝1－cos2θ＝sin2θ，所以d（a，b）＝sin θ. （ⅱ）因为D为BC的中点， 则＝＋， 可得＝（ ＋）2＝＋＋·， 即28＝4＋16＋·，可得·＝16. 又因为＝2，可知点P为AD的中点，则＝＝＋， 可得＝＋＝－＋， 则＝（ ＋）2＝＋＋·＝7， ＝（ －＋）2＝＋－·＝7， ·＝（ ＋）·（ －＋）＝－＋－·＝－1， 可得cos2＜，＞＝＝， 所以d（，）＝sin＜，＞＝＝＝. 19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋（ω＞0）的最小正周期为π. （1）求f（x）的解析式； （2）设函数g（x）＝2x＋1，若对任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈［0，］，使得g（x1）＝f（x2）＋a成立，求a的取值范围； （3）若函数u（x）＝8[f（x）]2－8mf（x）＋m在［0，］上有3个零点，求m的取值范围. 解：（1）因为f（x）＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋ ＝sin 2ωx－＋ ＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin（ 2ωx－）， 函数f（x）的最小正周期为π，又ω＞0，则2ω＝＝2，所以ω＝1，所以f（x）＝sin（ 2x－）. （2）因为g（x）＝2x＋1是增函数，当x1∈[0，1]时，g（x1）∈[g（0），g（1）]＝[2，3]. 当x2∈［0，］时，2x2－∈［－，π］， 则f（x2）∈［－，1］，所以f（x2）＋a∈［－＋a，1＋a］. 由题意可知[2，3]⊆［－＋a，1＋a］， 则解得2≤a≤，即a的取值范围为［2，］. （3）令t＝f（x），由（2）知当x∈［0，］时，f（x）∈［－，1］，即t∈［－，1］， 则函数h（t）＝8t2－8mt＋m有两个零点t1，t2（t1＜t2）， 且f（x）的图象与直线y＝t1，y＝t2共有3个公共点， 由f（x）的图象可知，当t2＝1，t1∈[0，1）时，h（t2）＝h（1）＝8－8m＋m＝0，得m＝， 由h（t）＝8t2－t＋＝0，得t2＝1，t1＝∈[0，1），符合题意. 当t2∈[0，1），t1∈［－，0）时，解得－≤m＜0. 综上，m的取值范围为［－，0）∪{}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $