第8章 向量的数量积与三角恒等变换 单元检测卷 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂单元双测卷（人教B版）

数 新高考 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 ( 学 单元检测卷 同步单元双测卷 B卷·素养提升卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40 6.已知A,B均为饨角，sim2号十co(A+罗) 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.) 5,且nB=则A+B= 10 整 1.sin163°sin223°+sin253°sin313°= A名 B合 A C.- D.3 c 7.已知点P为△ABC所在平面内一点，且满足 如 2.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a十b)·a= ( AP= AB AC ABI cos B ACl cos C (∈R),则 A.-1 B.0 直线AP必经过△ABC的 C.1 D.2 A.重心 B.内心 3.已知sina= 3 (an(x-=,则 C.垂心 D.外心 樂 tan(a一3)的值为 8.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(√3 A.- 品 B.11 sinA,sinB),n=(cosB,√3cosA),若m·n=1 +cos(A+B),则C的值为 () c号 n号 A晋 R营 4.为了得到函数y=sin3.x+cos3x的图像，可以 将函数y=√2cos3x的图像 c n.彩 A.向右平移牙个单位 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 B.向左平移灭个单位 4 求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选 错的得0分.) 期 C.向右平移节个单位 9.已知a=2√13，b=(-2,3),且a⊥b,求向量a D.向左平移号个单位 的坐标是 ) A.(6,4) B.(6,-4) 5.已知向量a,b满足a=1,a与b的夹角为行， C.(-6,4) D.(-6,-4) 若对一切实数x,laa十2b1≥a十b1恒成立，则 10.下列各式与tana相等的是 b的取值范围是 1-cos 2a sin 2a A[2+∞） B(2+∞） V1++cos 2a 3 1+cos 2a sin a 1-cos 2a C.[1,+o∞) D.(1,+o∞) C.1-cos 2a D. sin 2a 29 11.y-- sin2x的一个单调递增区 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出 文字说明.证明过程或演讲算步骤.) 间是 1n.10分)已如0<a<号<p<,o(g) A【-,] B[B】 4 3'sin(a5 c割 D.[] (1)求sin23的值. 12.若a=k·180°+45(k∈Z),则a在() (2)求cosa+牙)的值. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共 20分.) 13.(2019·天津卷)在四边形ABCD中，AD∥ BC,AB=2√3，AD=5,∠A=30°，点E在线段 CB的延长线上，且AE=BE,则BD·AE 1+.关于函数f(x)=4sin(2x-5)(x∈R),有下 18.(12分)如图所示，在平面直角坐标系aOy中， 已知四边形OABC是平行四边形，且点A(4, 列命题： 0),C(1,√3). ①y=fx+否)为偶函数： ②要得到函数g(x)=一4sin2x的图像，只需 将f(x)的图像向右平移5个单位长度； (1)求∠ABC的大小. (2)设点M是OA的中点，点P在线段BC上 ③y=f(x)的图像关于直线x=一是对称： 运动（包括端点），求OP·CM的取值范围. ④y=f)在[0,2x]内的增区间为[0.]和 [告，2小，其中正确命超的序号为 15.已知向量a=3e,-2e2,b=4e1+e2,其中e,= (1,0),e2=(0,1),则a·b= ,a与b 夹角(a,b)的余弦值为 16.已知向量m=(cos0,sin0),n=(√2-sin0,cos ,9e(,2x).且m+al=8,则ms (号+)的值为 30 19.(12分)某实验室一天的温度（单位：℃）随时间 20.(12分)已知a=(cosa,sina),b=(cos3,sin3) t(单位：h)的变化近似满足函数关系： (0<a<3π). f)=10-5cos1-sin,1∈[0.24). (1)求证：a+b与a一b互相垂直； (2)若ka+b与a一b长度相等（其中k为非 (1)求实验室这一天的最大温差； 零实数)，求3一a的值. (2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段 时间实验室需要降温？ 31 21.(12分)已知w>0,a=（2 sin wx+c0sw.x,2sin 22.(12分)已知函数f(x)=cos wx-cos wx),b=(sin wx,cos wx),f()= )+ a·b,且f(x)的图像上相邻的两条对称轴之 -cos2x+2√3 sin ccos x. 间的距离是受 (1)求函数f(x)的单调递减区间. (1)求ω的值； (2)若x∈[p,],求f()的最大值和最 (2)求函数f(x)在区间[0，受]上的最大值和 小值. 最小值 (3)若f(a)=7,2a是第-象限角，求sin2a 的值， 时 32数学B版· 20.解：法-1)因为0a<受na-号. 21 所以cosa= 2 所以f(a)= 9×+9) (2)因为fr)=sin rcos+cos2r-司 =sn2r+1+g2- 2 号n(2:+) 所以T-晋=元 由2x-受<2x+于≤2x+受，k∈Z得 kx一晋≤<km十晋，k∈Z 所以f)的单调逅增区同为[x-誓x十吾]k ∈Z. 法二f)=sinx0sx十cos2r-号 =im2x+1+g2- 2 2 sin cosr ①)因为0Ca<吾sina- 2 所以a=元」 4 (2)T2=元 由2kx-受<2x+牙≤2x+受，k∈Z得 kx-3晋<r≤kx+吾，k∈Z 8 所以)的单调说增区间为[x一晋，x十吾]k ∈Z. 21l.证明：(1)因为sin(a十3)=sin acos B+cos asin月， sin(a-3)=sin acos3-cos asin B,将上式左右两边 分别相减， sin(a+B)-sin(a-B)=2cos asin B, 即os in=zsin(a+倒-sna-D]. (2)若a=b,则c·d=(a十b)·(a-b)=a2-b2 =|a2-|b2=0,所以c⊥d.若c⊥d,则c·d=0,即 (a+b)·(a-b)=a2-b2=a|2-b2=0,所以a =1bl. 综上，a=b台c⊥d. 必修第三册 2.解：)因为fx)=sin(or-若）十sin(ar-） 所以f(x)=sin2● 2cos w.r-cos w.r 9m 3 2cos wr 由题技知f(信)0， 所以5-吾=k,k∈乙 故w=6k十2，k∈Z, 又0<w<3,所以w=2. (2)由1)得fx)=5sin(（2x-音） 所以gx)=in（+T-牙）-5sin(（-)月 因为[] 所以[] 即x=一 时gx)取得最小位一是 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 单元检测卷 (B卷) 1.B[sin163°sin223°+sin253°sin313 =sin(90°+73)sin(270°-47°)+sin(180°+73)sin (360°-47°) =cos73°(-cos47°)-sin73°(-sin47) =-(cos73°cos47°-sin73sin47°) =-c0s(73°+47) =-c0s120=7] 2.C[2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0), .(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1, 故选C.] 品.A[:na=寻a∈（受小 cosa=-√1-sin2a=- cos a tan(x-)-2=-tan 8.tan8-- 2 tan a-tan B 4.C[因为y=sin3z+cos3x=Esin(3z+T) =反m[(+登)小又y=Es3x=反 sim(3z+）) -反m[3(+否)门，所以应由y=Ecos3x的图像 向右平移登个单位得到.] 56 参考 5.C[因为a=1,a与b的夹角为子，所以a…b=a 1bco晋-2b1,起m十2b≥a+b两边平方整 理可得x2+2b1x+3b12-b|-1≥0恒成立，所以 △=4b12-4(3b2-b-1)≤0，即(b1-1)(2b +1)≥0，即b≥1.] 6.C[:sm2+c(+号）=1gA+osA 10 又如B=AB均为纯身oA=-25 cos B=- 3√10 10 .cos (A +B)=cos Acos B -sin Asin B 5x⑩-2 102 又KA+B<2A+B-] 7.C[B. AB AC =-|BC1+ ABI cos B ACl cos C BC=0,.BC与x AB AC 垂直， ABI cos B ACI cos C 即AP⊥BC,.直线AP必经过△ABC的垂心.] 8.C[,m·n=√3 sin Acos B+3 cos Asin B =3sin(A+B)=1+cos(A+B), ∴.√5sin(A+B)-cos(A+B)=√5sinC+cosC =2sim(+C）=1. n(+c) ∴十C=5或+C=（含去）， 6 6 9.AD[设a=(x,W,则{2+y2=52 -2.x+3y=0, 6 或=-6， y=4.(y=-4. .a=(6,4)或a=(-6,-4).] 10.BD [1co 2a-2sin'a-sin a=tan a. sin 2a 2sin acos a cos a sin 2a2sin acos a-sin a=tan a. 1+cos 2a 2cos a coS a 11.BC [y=sin(2)-sin 2x =sim2xcos-cos2zsin-sin2x π 2 sin 2.3 1 2cos 2x 5 答案 =-sim(2x+)月 y=一sin(2x+)的逅增区间是y=sim(2z+号）的 递减区间， :受+2x≤2x+子<+2，∈Z 令-0得x[臣引 令=1，得[岛] 故选BC.] 12.AC[当k=2m+1(m∈Z)时，a=2m·180°+225 =m·360°+225°，故a为第三象限角；当k=2m(m ∈Z)时，a=m·360°+45°，故a为第一象限角.] 13.解析：平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标 法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为 方便.如图，过点B作AE的平行线交AD于F, 因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形. 因为∠BAD=30°，AB=2√3，所以AF=2,即AF= 茄 因为A正-F店=A店-A=A店-名AD, 所以成·范=（市-）·（店-子） 号A店.A元-A-号A市=号X2BX5×写-12 -10=-1. 答案：一1 14.解析：①因为画数f(x)=4sin(2r-子)x∈R),所 以y=fx+爱)=4sim(2+弩)不是偶函教： 3 @②将f()的图像向右平移号个单位长度，得到y 4sin(2.x-x)=-4sin2.x的图像，正确： ®当x=-是时，f(x)=4sin(-若-牙)= 一4，所以y=f:)的图像关于直线x=一登对称， 正确： ④y=f(x)=4sin(2x-冬)在[0,2x]内的增区同有 三个，所以不正确； 故答案为②③. 答案：②③ 数学B版 15.解析：因为e1=(1,0),e2=(0,1), 所以a=3e1-2e2=(3,-2), b=4e1+e2=(4,1), 所以a·b=(3,-2)·(4,1)=12-2=10, 设a与b的夹角为0， 则c0s0=a·b 10 10√221 a b √13×W17 221 答案：10 10√22] 221 16.解析：，m十n=(cos0-sin0+√2，cos0+sin), .m+nl =√(cos0-sin8+√2)2+(cos0+sin0)2 =√4+2(cos0-sinD√+4os(+子） =21+cos(0+)片 2o(号+）1-o2(+) 9e2<号+< cos(号+爱）-号 答案：号 17.解：1)（方法1Dcos(B)=cos至osB+sim至 即co9叶in日-号，所以1十sin2g-号，故sin2g (方法2)sin2g-co(受-29）-2co2(g)-1 (2)由0<a<受<<，得<g-于<，<a +要， 所以m(g-至)>0，cosa+》<0, 又os(g)na+=号 则n(-）22cse+=- 故os(+至)-co[a+-(B-)] =cosa+co(eF）+sin(a+》sin(a-于） 4×22_8E-3 + 3 15 必修第三册 18.解：(1)由题意得OA=(4,0),OC=(1,√3) :四边形OABC是平行四边形，∴.cos∠ABC= cos∠AOC 器瓷成：以-手 =0A.0d (2)设P(t5),其中1≤t≤5，则OP=(t,W3). CM=(2,0)-(1,W5)=(1,-√5)， OP.CM=(tw3)·(1,-3)=t-3, 故OP.CM的取值范围是[-2,2]. 1解：周为f)-10-2(s+n 10-2sim(位+5）： 又0≤t≤24， 所以≤+晋<-1n(+）1， 3 当1=2时，m(备+登）=1： 当=14时，n(危+登）-1 于是f(t)在[0,24)上的最大值为12，最小值为8. 故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃， 最大温差为4℃ (2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温。 由1)得f)=10-2n(位+号）： 故有10-2sin(径+答)>11， 即si血（备+登）K- 又0C1<21,因此货<+音<，即10<18. 故在10时至18时实验室需要降温. 20.证明：法-，a=(cosa,sina),b=(cos3,sin3), ∴.a+b=(cosa+cos3,sina+sinβ)， a-b=(cos a-cos B,sin a-sin B), .(a+b)·(a-b) =(cos a+cos B)(cos a-cos B)+(sin a+sin B)(sin a -sin B) =cos2a-cos2B+sin2a-sin2B=0. .(a+b)⊥(a-b). 法二，'a=(cosa,sina),b=(cos3,sin3), la2=cos2a+sin2a=1, b2=cos2B+sin2B=1. ∴.a2=|b2. ∴.(a+b)(a-b)=a2-b2=a2-|b2=0, ∴.(a+b)⊥(a-b). (2)'.'ka+b=(kcos a,ksin a)+(cos B,sin B) =(kcos a+cos B,ksin a+sin B), a-kb=(cos a-kcos B,sin a-ksin B), .'ka+b2=(kcos a+cos B)2+(ksin a+sin B)2 =k2cos2a+2kcos acos B+cos2B+k2 sin2a+2ksin 58 参考 asin +sin28 =k2+2kcos(a-3)+1. 同理可求|a-kb|2=k2-2kcos(a-3)+1. 又，ka+b|=|a-kb|,|ka+b12=|a-b|2. .'.2kcos(a-B)=-2kcos(a-B). k≠0，∴cos(a-3)=0. ∴.cos(3-a)=0. 又0<a<3<π， 明-a=受 2l.解：f(x)=a·b=(2 sin wx-+cos wx)sinr+(2sinx cos wx)cos w.x=2sin2 wx+3sin wxcos w.r-cos2or- 1-c0s sin cos ur)(in 2 c+-39.smar） (1),函数f(x)的图像上相邻的两条对称轴之间的 距离是受，“函教f)的最小正同期T=元 又.w>0,∴w=1. f)=2m(2:)+2 2:[p]2x-∈[-至]则当2z 牙=-冬，即x=0时，(x)取得最小值-1：当2z 至-受，即警时，fx)取得最大值3 2 2.解：fx)=2ms2x-9n2x-es2x+5sn2z （I①今受+2≤2r-吾<受+2 r(. 解得子十k≤≤+kxk∈Z, fx)的单调减区间是[肾+x,爱+x]h∈Z. ②z[,]2x-晋e【吾] 当2-=一晋，即x=0时，x)小=一： 当2x一晋=受，即x=受时，x)装大值=1. (3)f(a)=im(2a看)=7,2a是第-象限角，即 2kx<2a<+2kx(k∈Z),…2kx-石<2a-石< 十2k， 3 5 答案 ∴sin2a=sin[(（2a-6）+s] =sin(2a-否）os6+cos(2a-吾)）sin晋 -×9+9x 综合检测卷 (A卷) 1.C[AB=(3,1), BC=(-7,-4), :AC=AB+BC=(3,1)+(-7,-4) =(-4,-3).] 2.A[设扇形的半径为r,孤长为1，则 2r十2r=8,得r=2 六扇形的面积S=名0r ×2×4=4.] = 3.D[:fx)=sim(2x+吾） 将画数fx)=si血(2r+看)的图像向右平移答个 单位长度， 得f(-)sm[2(-)十] =sim(2z-6） 所得的图像对应的函数解析式是y=sim(21否) 故选D.] 4.B[AM=AD+D元+CM =Aò+2A店+2Ci+Di+A -茄++2（苏-元+） =A店+号成.] 5A[设9为a,b的夫角，0s9=日治 -4e+e吃 √J4e+4e1·e2+e√/4e-4e1·e2+e -3 5×7 6.A[cos(经+a）·cms(T-a） =cos(至+a）·cos[受-(+a] =co(于+a）小sin(T+a） =名sn(受+2a）分os2a 1-2o)=-] ○