8.2.4 三角恒等变换的应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦三角恒等变换的应用，核心知识点包括半角公式及其推导、积化和差与和差化积公式，在和差倍角公式基础上延伸，构建完整的三角恒等变换体系，为复杂三角函数计算、化简及证明提供学习支架。 资料以电脑输入法半角全角实例引入，培养数学眼光，通过“想一想”“母题探究”引导逻辑推理（数学思维），题型训练强化数学运算（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后练习题及解析帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

8.2.4　三角恒等变换的应用 课标要求 1.了解半角公式及其推导过程，并能推导出积化和差与和差化积公式（逻辑推理）. 2.灵活运用和、差、倍角公式、积化和差与和差化积公式进行相关计算及化简、证明（数学运算）. 　　同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符. 【问题】　任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　半角公式 ：sin ＝　±　； ：cos ＝　±　； ：tan ＝　±　＝　　＝　　. 【想一想】 　如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？ 提示：（1）如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号； （2）若给出角α的具体范围（即某一区间）时，则先求角所在范围，然后再根据角所在象限确定符号. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）cos ＝ .（　×　） （2）存在α∈R，使得cos ＝cos α.（　√　） （3）对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立.（　×　） （4）若α是第一象限角，则tan ＝ .（　√　） 2.若cos α＝，α∈（0，π），则cos ＝（　　） A.　 　B.－　 　C.　 　D.－ 解析：C　由题意知∈，所以cos ＞0，cos ＝ ＝. 3.已知sin θ＝－，3π＜θ＜π，则tan 的值为（　　） A.3 B.－3 C. D.－ 解析：B　∵3π＜θ＜，sin θ＝－，∴cos θ＝－，tan ＝＝－3. 知识点二　积化和差、和差化积公式 1.积化和差公式 cos αcos β＝　[cos（α＋β）＋cos（α－β）]　； sin αsin β＝　－[cos（α＋β）－cos（α－β）]　； sin αcos β＝　[sin（α＋β）＋sin（α－β）]　； cos αsin β＝　[sin（α＋β）－sin（α－β）]　. 2.和差化积公式 cos x＋cos y＝　2coscos　； cos x－cos y＝　－2sinsin　； sin x＋sin y＝　2sincos　； sin x－sin y＝　2cossin　. 【想一想】 　和差化积公式的适用条件是什么？ 提示：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式. 1.计算sin 105°cos 75°＝（　　） A. B. C.－ D.－ 解析：B　sin 105°cos 75°＝（sin 180°＋sin 30°）＝. 2.sincos化成和差的形式为（　　） A.sin（α＋β）＋cos（α－β） B.cos（α＋β）＋sin（α－β） C.sin（α＋β）＋sin（α－β） D.cos（α＋β）＋cos（α－β） 解析：B　sincos＝［sin（＋α＋＋β）＋sin（＋α－－β）］＝［sin（＋α＋β）＋sin（α－β）］＝cos（α＋β）＋sin（α－β）.故选B. 3.cos 2α－cos 3α化为积的形式为　2sin sin 　. 解析：cos 2α－cos 3α＝－2sinsin ＝－2sin sin＝2sin sin . 题型一｜应用半角公式求值 【例1】　已知sin α＝－，π＜α＜，求sin，cos，tan的值. 解：∵π＜α＜，sin α＝－，∴cos α＝－，且＜＜，∴sin ＝ ＝，cos ＝ －＝－，tan＝＝－2. 【母题探究】 （变条件）本例条件变为“已知cos α＝，α为第四象限角”，问题不变. 解：∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角. 当为第二象限角时，sin ＝＝，cos ＝－＝－， tan ＝－＝－； 当为第四象限角时，sin ＝－＝－，cos ＝＝，tan ＝－＝－. 通性通法 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解； （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. 注意：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号. 【跟踪训练】 1.（1）sin＝　　； （2）tan＝　－1　. 解析：（1）sin＝＝＝＝＝. （2）tan＝＝＝－1. 2.已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，求tan的值. 解：因为cos 2θ＝－，＜θ＜π，依半角公式得 sin θ＝＝＝， cos θ＝－＝－＝－， 所以tan＝＝＝. 题型二｜积化和差、和差化积问题 【例2】　（1）已知α满足cos 2α＝，则cos·cos＝（　A　） A.　　　B.　　　C.－　　　D.－ 解析：（1）法一　∵cos 2α＝，∴coscos（ －α）＝coscos［－］＝cos·sin＝sin＝cos 2α＝. 法二　coscos＝［cos（＋α＋－α）＋cos］＝cos 2α＝. （2）sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan（α＋β）的值为　　. 解析：（2）由sin α＋sin β＝，得2sin cos ＝， ① 由cos α＋cos β＝，得2cos cos ＝， ② 由①②两式相除得tan ＝， 则tan（α＋β）＝＝＝. 通性通法 积化和差、和差化积公式应用时的注意事项 （1）关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数； （2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项. 【跟踪训练】 　求下列各式的值： （1）cos ＋cos －2sin cos ； 解：（1）cos ＋cos －2sin cos ＝2cos ·cos －cos ＝2cos cos －cos ＝cos －cos ＝0. （2）sin 138°－cos 12°＋sin 54°. 解：（2）sin 138°－ cos 12°＋sin 54°＝sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°＝－2cos 60°sin 18°＋sin 54°＝sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°＝＝＝＝＝＝. 题型三｜积化和差、和差化积公式的应用 【例3】　已知函数f（x）＝sincos. （1）求f（x）的值域； 解：（1）由积化和差公式可知 f（x）＝［sin＋sin（x－－x－）］ ＝ ＝sin－， ∵sin∈[－1，1]，∴f（x）的值域为[－1，0]. （2）若x∈[0，2π]，求f（x）的零点. 解：（2）令f（x）＝0，∴sin＝1， ∴2x－＝＋2kπ，k∈Z， ∴x＝＋kπ，k∈Z， ∵x∈[0，2π]，∴x＝或x＝， ∴f（x）的零点为，. 通性通法 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 【跟踪训练】 1.函数y＝coscos的最大值是　　. 解析：由题意知，y＝［cos（2x＋π）＋cos（－）］＝＝－cos 2x.因为－1≤cos 2x≤1，所以ymax＝. 2.已知在△ABC中，cos A＋cos B＝sin C，求证：△ABC是直角三角形. 证明：在△ABC中，A＋B＋C＝π， ∴sin C＝sin（A＋B）＝cos A＋cos B， 由和差化积公式，得 cos A＋cos B＝2cos cos ， ∴2sin cos ＝2cos cos . 显然cos ≠0，∴sin ＝cos . 两边平方，得sin2＝cos2， ∴＝， ∴cos（A＋B）＋cos（A－B）＝0， ∴2cos Acos B＝0，∴cos A＝0或cos B＝0. ∵A，B为△ABC的内角，∴A，B中必有一个是直角. ∴△ABC是直角三角形. 1.已知cos α＝，α∈，则sin ＝（　　） A.　 　B.－　 　C.　 　D. 解析：A　∵α∈，∴∈，sin ＝＝. 2.已知sin 2α＝，则cos2＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：D　cos2＝＝＝. 3.已知cos α＝，α为第四象限角，则tan的值为　　　　. 解析：因为α为第四象限角，所以sin α＜0，所以sin α＝－＝－＝－，所以tan＝＝＝. 4.若cos2α－cos2β＝m，则sin（α＋β）sin（α－β）＝　　－m　　. 解析：sin（α＋β）sin（α－β）＝－（cos 2α－cos 2β）＝－[（2cos2α－1）－（2cos2β－1）]＝cos2β－cos2α＝－m. 5.证明：tan －tan ＝. 证明：法一　tan －tan ＝－ ＝＝ ＝＝. 法二　＝ ＝＝ ＝－＝tan －tan . 1.若π＜α＜2π，则化简的结果是（　　） A.sin B.cos C.－cos D.－sin 解析：C　∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos＜0，原式＝＝｜cos｜＝－cos.故选C. 2.cos 37.5°·cos 22.5°的值是（　　） A.＋ B. C. D. 解析：D　原式＝（cos 60°＋cos 15°）＝（＋）. 3.〔多选〕下列命题是真命题的有（　　） A.∃x∈R，sin2＋cos2＝ B.∃x，y∈R，sin（x－y）＝sin x－sin y C.∀x∈[0，π]，＝sin x D.sin x＝cos y⇒x＋y＝ 解析：BC　因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin（x－y）＝sin x－sin y，所以B为真命题；因为＝＝｜sin x｜＝sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题.故选B、C. 4.已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos（α＋β）等于（　　） A.　　　B.－ C.　　　D.－ 解析：D　∵cos α＋cos β＝，∴2coscos＝.∵α－β＝，∴cos＝，∴cos＝，∴cos（α＋β）＝2cos2－1＝－. 5.在△ABC中，sin C＝，则此三角形的形状是（　　） A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析：C　∵C＝π－（A＋B），∴sin C＝sin（A＋B）＝，∴2sin cos ＝，∴2cos2＝1，即cos（A＋B）＝0，∴A＋B＝，∴C＝.故此三角形为直角三角形. 6.若x＋y＝1，则sin x＋sin y与1的大小关系是（　　） A.sin x＋sin y＞1 B.sin x＋sin y＝1 C.sin x＋sin y＜1 D.不确定 解析：C　∵sin x＋sin y＝2sin ·cos ＝2sin ·cos ，又0＜＜＜，∴sin ＜sin .∴2sin ＜2sin ＝1.∴sin x＋sin y＝2sin ·cos ＜cos ≤1.∴sin x＋sin y＜1. 7.已知cos（ x－）＝－，则cos x＋cos（ x－）＝　　－1　　. 解析：法一 cos x＋cos（ x－）＝cos x＋cos xcos＋sin xsin＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝（ cos x＋sin x）＝cos（ x－）＝×（ －）＝－1. 法二 cos x＋cos（ x－）＝2cos·cos＝2cos（ x－）cos＝2×（ －）×＝－1. 8.求值：cos 47°－cos 61°－cos 11°＋cos 25°－sin 7°＝　　0　. 解析：原式＝（cos 47°－cos 61°）－（cos 11°－cos 25°）－sin 7°＝2sin 54°sin 7°－2sin 18°sin 7°－sin 7°＝2sin 7°·（sin 54°－sin 18°）－sin 7°＝2sin 7°·2cos 36°sin 18°－sin 7°＝sin 7°·－sin 7°＝sin 7°·－sin 7°＝sin 7°－sin 7°＝0. 9.设a，b是非零实数，且满足＝tan ，则＝　　　　. 解析：∵tan ＝＝tan，tan θ＝，∴＋θ＝kπ＋，k∈Z，解得θ＝kπ＋.∴tan θ＝tan＝.∴＝. 10.已知函数f（x）＝－＋，x∈（0，π）. （1）将f（x）表示成cos x的多项式； （2）求f（x）的最小值. 解：（1）f（x）＝＝ ＝2cos cos ＝cos 2x＋cos x ＝2cos2x＋cos x－1. （2）∵f（x）＝2－且－1＜cos x＜1， ∴当cos x＝－时，f（x）取最小值－. 11.在△ABC中，若B＝45°，则cos Asin C的取值范围是（　　） A.[－1，1] B. C. D. 解析：B　在△ABC中，B＝45°，所以cos Asin C＝[sin（A＋C）－sin（A－C）]＝[sin B－sin（A－C）]＝－sin（A－C），因为B＝45°，所以－135°＜A－C＜135°，所以－1≤sin（A－C）≤1，所以≤cos Asin C≤，故选B. 12.已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是　　，最小值是　　. 解析：∵A＋B＝，∴cos2A＋cos2B＝（1＋cos 2A＋1＋cos 2B）＝1＋（cos 2A＋cos 2B）＝1＋cos（A＋B）·cos（A－B）＝1＋coscos（A－B）＝1－cos（A－B），∴当cos（A－B）＝－1时，原式取得最大值；当cos（A－B）＝1时，原式取得最小值. 13.已知函数f（x）＝2sin xcos x－2cos·cos. （1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数f（x）在区间上的值域. 解：f（x）＝sin 2x＋2sincos＝sin 2x＋sin＝sin 2x－cos 2x＝2sin. （1）函数f（x）的最小正周期T＝＝π， 由2x－＝kπ＋，k∈Z，得对称轴方程为x＝＋，k∈Z. （2）因为－≤x≤，所以－≤2x－≤， 所以当2x－＝，即x＝时，f（x）max＝2， 当2x－＝－，即x＝－时，f（x）min＝2×＝－，所以f（x）的值域是[－，2]. 14.〔多选〕下列各式与tan α相等的是（　　） A. B. C.·（α∈（0，π）） D. 解析：CD　A项，＝＝＝｜tan α｜，不符合；B项，＝＝tan ，不符合；C项，因为α∈（0，π），所以原式＝·＝＝tan α，符合；D项，＝＝tan α，符合；故选C、D. 15.在△ABC中，求证： （1）tan nA＋tan nB＋tan nC＝tan nAtan nBtan nC，其中n∈Z； （2）tan tan ＋tan tan ＋tan tan 为定值. 证明：（1）∵A＋B＝π－C， ∴tan（nA＋nB）＝tan（nπ－nC）＝－tan nC， ∴＝－tan nC，∴tan nA＋tan nB＝－tan nC＋tan nAtan nBtan nC， ∴tan nA＋tan nB＋tan nC＝tan nAtan nBtan nC. （2）原式＝tan ＋tan tan ＝tan tan＋tan ·tan . ∵＋＝，∴sin ＝cos ，cos ＝sin ，∴tan tan ＝·＝·＝1， ∴原式＝1－tan tan ＋tan tan ＝1（定值）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $