第8章 8.2.3 倍角公式（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．设sin θ－cos θ＝，则sin 2θ＝(　　) A.－ B．－ C. D． 解析　由sin θ－cos θ＝，平方可得 2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcos θ＝1－sin 2θ＝＝，解得sin 2θ＝. 答案　C 2．若sin ＝，则cos ＝(　　) A.－ B．－ C. D． 解析　由题意cos ＝1－2sin2＝1－2×2＝. 答案　D 3．若α是第三象限角，cosα＝－，则tan 2α的值为(　　) A.－ B． C.－ D． 解析　α是第三象限角，cos α＝－， ∴sin α＝－＝－，tanα＝＝2， ∴tan 2α＝＝－，故选A. 答案　A 4．(2025·黑龙江哈尔滨期末)化简＋tan 12°＝(　　) A.1 B． C. D．2 解析　＋tan 12° ＝＋＝ ＝ ＝ ＝＝. 答案　C 5．化简：＝ ． 解析　＝＝＝4sin α. 答案　4sin α 6．(2025·四川遂宁高一月考)已知sin ＝－，则cos ＝ ． 解析　cos ＝1－2sin2＝1－2×＝. 答案　 7．(2025·陕西西安高一月考)已知tanα＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝ ． 解析　因为tan α＝＞0，tan β＝－＜0，α，β∈(0，π)， 所以α∈，β∈，因为tan 2α＝＝＝＞0， 所以2α∈，β∈，因此－π＜2α－β＜0， 因为tan(2α－β)＝ ＝＝1，所以2α－β＝－. 答案　－ 8．已知sin sin ＝，且α∈，求tan 4α的值． 解析　因为sin ＝sin ＝cos ， 则已知条件可化为sin cos ＝， 即sin ＝， 所以sin ＝， 所以cos 2α＝. 因为α∈，所以2α∈(π，2π)， 从而sin 2α＝－＝－， 所以tan2α＝＝－2， 故tan 4α＝＝＝. [关键能力·综合提升] 9．等腰三角形的底和腰之比为(黄金分割比)的三角形称为黄金三角形，它被称为最美的三角形．如图所示，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，且黄金三角形ABC的顶角A＝36°.根据这些信息，可求得cos216°的值为(　　) A.－ B．－ C. D．－ 解析　由图形知∠A＝36°，则∠A＝18°， 所以sin 18°＝×＝×＝， ∴cos 36°＝1－2sin218°＝1－2×＝， ∴cos216°＝cos (180°＋36°)＝－cos 36°＝－. 答案　A 10．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tan α的值等于(　　) A. B． C. D． 解析　∵cos 2α＝cos2α－sin2α， ∴sin2α＋cos2α＝cos2α，∴cos2α＝， 又α∈，∴cosα＝， ∴α＝，故tan α＝，因此选D. 答案　D 11．化简：sin 2α＝ ． 解析　sin 2α ＝2sin αcos α· ＝2sin αcos α ＝2sin αcos α· ＝2sin αcos α·＝2sin α. 答案　2sin α 12．已知函数f(x)＝cos 2x＋a sin x，若对于任意x∈R都满足f(x)≤f，则实数a的取值范围是 ． 解析　依题意，f(x)＝－2sin2x＋a sinx＋1，x∈R，令t＝sin x∈[－1，1]， 对于任意x∈R都满足f(x)≤f，则有f(x)max＝f，即当x＝，sin x＝1时，函数f(x)取得最大值， 于是函数y＝－2t2＋at＋1，t∈[－1，1]在t＝1时取得最大值，因此≥1，解得a≥4， 所以实数a的取值范围是[4，＋∞). 答案　[4，＋∞) 13．已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 解析　∵tan α＝＞0，且α∈(0，π)， ∴α∈，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝＝＝＞0， ∴2α∈. ∵tanβ＝－＜0，且β∈(0，π)， ∴β∈， ∴tan (2α－β)＝ ＝＝1. ∵2α∈，β∈ ∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－. [学科素养·探索创新] 14．已知α∈(0，π)，β∈满足sin ＝，cos ＝，则sin (α＋2β)＝(　　 ) A. B． C. D．－ 解析　因为α∈(0，π)，则α＋∈， 又sin ＝<＝sin ， 则α＋∈，得cos ＝. 因为cos ＝， 则cos ＝2cos2－1＝－. 又β∈，则β－∈，结合cos＝<＝cos ， 则β－∈，得sin ＝－， 则sin ＝2cos sin ＝－. 又注意到α＋2β＝α＋＋2， 则sin (α＋2β)＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝. 答案　B 15．已知函数f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x－1(x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值． 解析　(1)由f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x－1，得f(x)＝(2sinx cos x)＋(2cos2x－1) ＝sin2x＋cos 2x＝2sin ， 所以函数f(x)的最小正周期为π. 因为f(x)＝2sin 在区间上为增函数，在区间上为减函数， 又f(0)＝1，f＝2，f＝－1， 所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f(x0)＝2sin . 又因为f(x0)＝，所以sin ＝. 由x0∈，得2x0＋∈， 从而cos ＝－＝－. 所以cos 2x0＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $