8.1.3 向量数量积的坐标运算(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦向量数量积的坐标运算核心知识点，承接向量数量积的几何定义，通过具体向量实例（如a=(3,2),b=(2,1)求数量积）引导抽象出坐标公式，构建“定义-坐标表示-应用（模、夹角、垂直）”的学习支架，系统梳理数量积坐标公式及模、距离、夹角三个重要公式。 该资料以问题驱动和题型分层为特色，用“隐形的翅膀”比喻激发兴趣，例题采用一题多解（如例1两种算法）培养数学运算能力，综合题（如例4中线问题）结合坐标系转化为函数最值，发展逻辑推理素养。课中助力分层教学，课后通过跟踪训练和综合题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

8.1.3　向量数量积的坐标运算 课标要求 1.掌握向量数量积的坐标表示及运算（数学运算）. 2.能根据两向量的坐标解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题（逻辑推理）. 　　“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”，如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究. 【问题】　在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝（3，2），b＝（2，1），则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b为多少？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　向量数量积的坐标表示 1.设平面向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则 （1）a·b＝　x1x2＋y1y2　； （2）a⊥b⇔　x1x2＋y1y2＝0　. 2.三个重要公式 （1）设a＝（x，y），则a2＝x2＋y2⇔｜a｜＝　　； （2）两点间的距离公式：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜＝｜｜＝　　； （3）向量的夹角公式：设a，b都是　非零　向量，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则cos＜a，b＞＝＝　　 . 【想一想】 1.向量数量积的坐标表示公式有什么特点？应用时应注意什么？ 提示：公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题时要注意坐标的顺序. 2.已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），问a与b夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系式是什么？ 提示：（1）当θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2＞0； （2）当θ为直角⇔x1x2＋y1y2＝0； （3）当θ为钝角或平角⇔x1x2＋y1y2＜0. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.（　√　） （2）已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a⊥b ⇔x1x2－y1y2＝0.（　×　） （3）两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为180°.（　×　） 2.已知a＝（－2，4），b＝（1，2），则a·b等于（　　） A.0　　　 B.10　　　 C.6　　　 D.－10 解析：C　由题意知，a·b＝（－2）×1＋4×2＝6. 3.已知向量a＝（1，2），b＝（x，－2），且a⊥b，则实数x等于（　　） A.－7 B.9 C.4 D.－4 解析：C　∵a＝（1，2），b＝（x，－2），且a⊥b，∴a·b＝1×x＋2×（－2）＝0，即x－4＝0，∴x＝4. 4.已知向量a＝（2，2），b＝（0，－3），则a与b的夹角为　135°　. 解析：因为向量a＝（2，2），b＝（0，－3），则a·b＝－6，｜a｜＝2，｜b｜＝3，则cos＜a，b＞＝＝－，又0°≤＜a，b＞≤180°，所以a与b的夹角为135°. 题型一｜向量数量积的坐标运算 【例1】　（1）已知a＝（1，2），b＝（3，4），求a·b，（a－b）·（2a＋3b）； 解：（1）法一　因为a＝（1，2），b＝（3，4）， 所以a·b＝1×3＋2×4＝11， （a－b）·（2a＋3b）＝2a2＋a·b－3b2＝2｜a｜2＋a·b－3｜b｜2＝2（12＋22）＋11－3（32＋42）＝－54. 法二　因为a＝（1，2），b＝（3，4），所以a·b＝1×3＋2×4＝11. 因为a－b＝（1，2）－（3，4）＝（－2，－2）， 2a＋3b＝2（1，2）＋3（3，4）＝（2×1＋3×3，2×2＋3×4）＝（11，16）， 所以（a－b）·（2a＋3b）＝－2×11＋（－2）×16＝－54. （2）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，且＝2，求·. 解：（2）如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系. 则B（2，0），E（1，2），C（2，2），F， 因为＝（－1，2），＝. 所以·＝2－＝. 通性通法 平面向量数量积坐标运算的两条途径 　　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径： 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. 【跟踪训练】 1.已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2），则a·b＝　　1　　，a·（a－b）＝　　4　　. 解析：a·b＝（－1，2）·（3，2）＝（－1）×3＋2×2＝1，a·（a－b）＝（－1，2）·[（－1，2）－（3，2）]＝（－1，2）·（－4，0）＝4. 2.已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则（＋）·＝　－　. 解析：如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 则A（0，0），B（2，0），D（0，1），所以C（2，1）. 因为E，F分别为BC，CD的中点， 所以E，F（1，1）， 所以＋＝，＝（－2，1）， 所以（＋）·＝3×（－2）＋×1＝－. 题型二｜求向量的模 【例2】　（1）若a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a－b＝（，），则｜2a－b｜＝（　C　） A.　 　B.　 　C.2　 　D.2 解析：（1）由已知得（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b＋4＝5，∴a·b＝0，∴（2a－b）2＝4a2－4a·b＋b2＝4－0＋4＝8，∴｜2a－b｜＝2. （2）若向量＝（1，－3），｜｜＝｜｜，·＝0，则｜｜＝　2　. 解析：（2）法一　设＝（x，y），由｜｜＝｜｜，知 ＝. ① 由题意知·＝x－3y＝0. ② 由①②组成方程组，解得或当x＝3，y＝1时，＝－＝（2，4），则｜｜＝2；当x＝－3，y＝－1时，＝（－4，2），则｜｜＝2.故｜｜＝2. 法二　由题意知，｜｜就是以，对应线段为邻边的正方形的对角线长，∵｜｜＝，∴｜｜＝×＝2. 【母题探究】 　（变条件）本例（1）中条件变为“设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b”，求｜2a－b｜. 解：由a∥b，得1×y－2×（－2）＝0，解得y＝－4，所以b＝（－2，－4），所以2a－b＝（4，8），则｜2a－b｜＝4. 通性通法 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积问题； （2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是｜a｜＝. 【跟踪训练】 　已知点O（0，0），向量＝（－1，2），向量＝（2，4），且＝2，则｜｜＝（　　） A. B. C. D. 解析：D　设＝（x，y），因为向量＝（－1，2），＝（2，4），则＝－＝（x，y）－（－1，2）＝（x＋1，y－2），＝－＝（2，4）－（x，y）＝（2－x，4－y）.因为＝2，所以解得所以＝（ 1，）.故｜｜＝＝. 题型三｜向量夹角和垂直问题 【例3】　（1）设平面向量a＝（cos α，sin α）（0°≤α≤90°），b＝.求证：a＋b与a－b垂直； 解：（1）证明：法一　∵（a＋b）·（a－b）＝（ cos α－，sin α＋）·（cos α＋，sin α－）＝（cos α－）·（cos α＋）＋·＝cos2α－＋sin2α－＝1－－＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）. 法二　由已知可得a2＝1，b2＝1， ∴（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝1－1＝0， ∴（a＋b）⊥（a－b）. （2）平面直角坐标系xOy中，O是原点（如图）.已知点A（16，12），B（－5，15）.求∠OAB. 解：（2）由＝（16，12），＝（－5－16，15－12）＝（－21，3），得｜｜＝＝20， ｜｜＝＝15. cos∠OAB＝cos＜，＞＝. 其中·＝－·＝－（16，12）·（－21，3） ＝－[16×（－21）＋12×3]＝300. 故cos∠OAB＝＝.∴∠OAB＝45°. 通性通法 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 （1）利用向量的坐标求出这两个向量的数量积； （2）利用｜a｜＝求两向量的模； （3）代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值. 【跟踪训练】 1.已知向量a＝（4，0），b＝（x，3），若（a＋2b）⊥（a－b），则x＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 解析：C　由a＝（4，0），b＝（x，3），a＋2b＝（4＋2x，6），a－b＝（4－x，－3），由（a＋2b）⊥（a－b）得（a＋2b）·（a－b）＝（4＋2x）（4－x）－18＝0，解得x＝1. 2.设x∈R，向量a＝（3，x），b＝（1，－1）且a⊥b，则cos＜a＋b，a＞＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　由向量a＝（3，x），b＝（1，－1）且a⊥b，得x＝3，则a＝（3，3），a＋b＝（4，2），所以cos＜a＋b，a＞＝＝. 题型四｜向量数量积的坐标运算的综合问题 【例4】　在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，P是△ABC所在平面上的任意一点，则·＋·的最小值为（　　） A.1 B.2 C.－2 D.－1 解析：C　建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A（0，2）.设点P的坐标为（x，y），则＝（－x，2－y），＝（－x，－y），故·＋·＝·（＋）＝2·＝2（x2＋y2－2y）＝2[x2＋（y－1）2]－2≥－2，当且仅当x＝0，y＝1时等号成立.所以·＋·的最小值为－2. 通性通法 解决向量数量积的最值或范围问题的方法技巧 （1）“图形化”技巧：利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的直观特征进行判断； （2）“代数化”技巧：若已知条件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐标系，通过坐标运算转化为函数的性质解决最值或范围问题. 【跟踪训练】 在如图所示的矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为线段BC上的点，则·的最小值为（　　） A.2 B. C. D.4 解析：B　如图所示，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，2），D（1，2）.设E（x，0）（0≤x≤1），则＝（x，－2），＝（x－1，－2），∴·＝（x，－2）·（x－1，－2）＝x2－x＋4＝＋，又0≤x≤1，故当x＝时，·取得最小值. 1.已知｜a｜＝1，b＝（0，2），且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为（　　） A. B. C. D. 解析：C　因为｜a｜＝1，b＝（0，2），且a·b＝1，设a，b夹角为θ，所以cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，所以向量a与b夹角的大小为.故选C. 2.〔多选〕已知向量a＝（1，3），b＝（2，y），（a＋b）⊥a，则（　　） A.b＝（2，－3） B.向量a，b的夹角为 C.｜a＋b｜＝ D.a在b上的投影向量是（－1，2） 解析：BD　对于A，因为a＝（1，3），b＝（2，y），（a＋b）⊥a，所以（a＋b）·a＝（3，3＋y）·（1，3）＝3＋3（3＋y）＝12＋3y＝0⇒y＝－4，所以b＝（2，－4），故A错误；对于B，由A可得cos＜a，b＞＝＝＝－＝－，又＜a，b＞∈[0，π]，故＜a，b＞＝，即向量a，b的夹角为，故B正确；对于C，a＋b＝（1，3）＋（2，－4）＝（2，1），所以｜a＋b｜＝＝，故C错误；对于D，a在b上的投影向量是｜a｜cos＜a，b＞·＝·＝－·＝－（2，－4）＝（－1，2），故D正确. 3.已知向量a＝（1，－1），向量b＝（－1，2），则（2a＋b）·a＝　1　. 解析：由向量a＝（1，－1），b＝（－1，2），得2a＋b＝（1，0），所以（2a＋b）·a＝（1，0）·（1，－1）＝1×1＋0×（－1）＝1. 4.已知平面向量a＝（2，2），b＝（x，－1）. （1）若a∥b，求x； （2）若a⊥（a－2b），求a与b所成夹角的余弦值. 解：（1）因为a∥b，所以－2－2x＝0，可得x＝－1. （2）依题意a－2b＝（2－2x，4）， 因为a⊥（a－2b），所以a·（a－2b）＝0， 即4－4x＋8＝0，解得x＝3， 所以b＝（3，－1）. 所以cos＜a，b＞＝＝. 1.已知向量a＝（2，），b＝（－1，），则向量a在b上的投影向量为（　　） A.　　　　　　B. C. D. 解析：A　∵b＝（－1，），∴｜b｜＝2.又∵向量a＝（2，），∴向量a在b的投影的数量为＝＝，所以向量a在b上的投影向量为｜a｜cos＜a，b＞＝·＝b＝.故选A. 2.已知向量a＝（2，1），b＝（1，1），若（λa＋b）⊥（2a－b），则λ＝（　　） A.－　　　B.－　　　C.　　　D. 解析：A　因为a＝（2，1），b＝（1，1），所以λa＋b＝λ（2，1）＋（1，1）＝（2λ＋1，λ＋1），2a－b＝2（2，1）－（1，1）＝（3，1）.因为（λa＋b）⊥（2a－b），所以（λa＋b）·（2a－b）＝0，所以3（2λ＋1）＋1（λ＋1）＝0，解得λ＝－. 3.〔多选〕已知平面向量a＝（1，），b＝（3，），则下列说法正确的是（　　） A.｜a＋b｜＝2 B.b·（b－a）＝6 C.a与b的夹角为 D.a在b上的投影向量为b 解析：ABD　对于A，因为a＋b＝（4，2），所以｜a＋b｜＝＝2，故A正确；对于B，因为b－a＝（2，0），所以b·（b－a）＝6，故B正确；对于C，因为a·b＝6，｜a｜＝2，｜b｜＝2，则cos＜a，b＞＝＝，且＜a，b＞∈[0，π]，所以a与b的夹角为，故C错误；对于D，结合C可知a在b上的投影向量为b＝b，故D正确.故选A、B、D. 4.设x，y∈R，向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），且a⊥c，b∥c，则｜a＋b｜＝（　　） A. B. C.2 D.10 解析：B　因为a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，所以 x＝2.由b∥c，得1×（－4）－2y＝0，所以 y＝－2.所以a＝（2，1），b＝（1，－2）.所以a＋b＝（3，－1），所以｜a＋b｜＝＝. 5.〔多选〕 已知平面向量a＝（m，m＋2），m∈R，b＝（3，4），则下列结论正确的是（　　） A.｜a｜的最小值为 B.若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是（ －，＋∞） C.一定存在一个实数m，使得｜a＋b｜＝｜a－b｜ D.若m＝1，则b在a上的投影向量的坐标为（ ，） 解析：ACD　对于A，因为a＝（m，m＋2），m∈R，则｜a｜＝＝≥，当且仅当m＝－1时取等号，所以｜a｜的最小值为，故A正确；对于B，若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0且a与b不同向，所以3m＋4（m＋2）＞0且4m≠3（m＋2），解得m＞－且m≠6，故B错误；对于C，若｜a＋b｜＝｜a－b｜，则a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝0，则3m＋4（m＋2）＝0，解得m＝－，即存在m＝－，使得｜a＋b｜＝｜a－b｜，故C正确；对于D，当m＝1时，a＝（1，3），所以a·b＝1×3＋3×4＝15，又｜a｜＝＝，所以b在a上的投影向量的坐标为·＝×＝a＝（ ，），故D正确.故选A、C、D. 6.在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，点F在CD上，若·＝，则·的值为（　　） A. 　　　B.2 C.0 　　　D.1 解析：A　建立如图所示的坐标系xAy，可得A（0，0），B（，0），E（，1），F（x，2），则＝（，0），＝（x，2），于是·＝x＝，解得x＝1，因此F（1，2），＝（，1），＝（1－，2），·＝（1－）＋1×2＝.故选A. 7.已知平面向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），若｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·b＝－6，则向量a与b的夹角为　180°　，的值为　－　. 解析：设a，b的夹角为θ，则a·b＝｜a｜｜b｜·cos θ＝－6，∴cos θ＝－1，∴θ＝180°.即a，b共线且反向，∴a＝－b，∴x1＝－x2，y1＝－y2，∴＝－. 8.在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，4），B（－2，3），C（2，－1），若（－t）⊥，则实数t＝　－1　. 解析：∵＝（－3，－1），＝（2，－1），∴－t＝（－3－2t，－1＋t），又（－t）⊥，∴（－3－2t）×2＋（－1＋t）·（－1）＝0.∴t＝－1. 9.已知向量a＝（cos θ，sin θ），向量b＝（，0），则｜2a－b｜的最大值为　2＋　. 解析：2a－b＝（2cos θ－，2sin θ），｜2a－b｜＝＝ ＝，当且仅当cos θ＝－1时，｜2a－b｜取最大值2＋. 10.已知向量a＝（1，2），b＝（2，x）. （1）若a⊥（a－b），求｜b｜； （2）若向量c＝（－3，－2），a∥（b＋c），求a与b夹角的余弦值. 解：（1）因为a＝（1，2），b＝（2，x），所以a－b＝（－1，2－x）. 由a⊥（a－b），可得a·（a－b）＝0， 即－1×1＋2（2－x）＝0，解得x＝， 所以b＝（ 2，），故｜b｜＝. （2）依题意得b＋c＝（－1，x－2）.因为a∥（b＋c），所以x－2＋2＝0，解得x＝0，则b＝（2，0）. a·b＝2，｜a｜＝，｜b｜＝2， 所以cos＜a，b＞＝＝， 所以a与b夹角的余弦值为. 11.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，定义余弦相似度为cos（A，B）＝cos＜，＞，余弦距离为1－cos（A，B）.已知点A（sin θ，cos θ），B（0，1），若A，B的余弦距离为，则锐角θ＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　由题意得1－cos（A，B）＝，故cos（A，B）＝，＝（sin θ，cos θ），＝（0，1），又cos（A，B）＝cos＜，＞＝＝＝cos θ，故cos θ＝，所以锐角θ＝. 12.已知向量m＝（λ＋2，1），n＝（λ＋1，2），若（m＋n）⊥（m－n），则向量m，n的夹角的余弦值为　　，m＋n在n方向上的投影的数量为　　. 解析：由题意知向量m＋n＝（2λ＋3，3），m－n＝（1，－1），因为（m＋n）⊥（m－n），所以λ＝0.所以m＝（2，1），n＝（1，2），cos＜m，n＞＝，m＋n＝（3，3）.m＋n在n方向上的投影的数量为｜m＋n｜cos＜m＋n，n＞＝＝. 13.已知向量a＝（1，2），b＝（－3，4），c＝a＋λb，λ∈R. （1）求λ为何值时， ｜c｜最小？此时b与c的位置关系如何？ （2）求λ为何值时， a与c的夹角最小？ 此时a与c的位置关系如何？ 解：（1）由a＝（1，2），b＝（－3，4）， 得c＝a＋λb＝（1－3λ，2＋4λ）， ｜c｜2＝c2＝（1－3λ）2＋（2＋4λ）2＝5＋10λ＋25λ2＝25＋4，当λ＝－时，｜c｜最小，此时c＝，b·c＝0，所以b⊥c. （2）设向量a与c的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝， 要使向量a与c的夹角最小，则cos θ最大，由于θ∈[0， π]，所以cos θ的最大值为1，此时θ＝0，＝1，解得λ＝0，c＝（1，2）. 所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c. 14.〔多选〕在△ABC中，＝（2，3），＝（1，k），若△ABC是直角三角形，则k的值可以是（　　） A.－1　　　B.　　C.　　D. 解析：BCD　在△ABC中，＝（2，3），＝（1，k），①当A＝90°时，·＝0，即2×1＋3k＝0，解得k＝－.②当B＝90°时，＝－＝（－1，k－3），且·＝0，即2×（－1）＋3×（k－3）＝0，解得k＝.③当C＝90°时，·＝0，即－1＋k（k－3）＝0，整理得k2－3k－1＝0，解得k＝.综上知，k的取值为－或或. 15.在△ABC中，满足⊥，M是BC的中点. （1）若｜｜＝｜｜，求向量＋2与向量2＋的夹角的余弦值； （2）若O是线段AM上任意一点，且｜｜＝｜｜＝，求·＋·的最小值. 解：（1）设向量＋2与向量2＋的夹角为θ，｜｜＝｜｜＝a.∵⊥，∴·＝0，∴（＋2）·（2＋）＝2＋5·＋2＝4a2， ｜＋2｜＝ ＝＝a， 同理可得｜2＋｜＝a， ∴cos θ＝＝＝. （2）∵⊥，｜｜＝｜｜＝，∴｜｜＝1. 设｜｜＝x（0≤x≤1），则｜｜＝1－x，而＋＝2，∴·＋·＝·（＋）＝2·＝2｜｜·｜｜·cos π＝－2x（1－x）＝2x2－2x＝2－，当且仅当x＝时，·＋·取得最小值－. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $