第8章 8.1.3 向量数量积的坐标运算（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·湖南株洲期末)已知向量a＝，b＝，a⊥b，则x＝(　　) A.－8 B．－2 C.2 D．8 解析　因为向量a＝，b＝，a⊥b，则a·b＝－4＋2x＝0，解得x＝2. 答案　C 2．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则|b|＝(　　) A. B． C.2 D．4 解析　因为a∥b，所以a＝λb，即(－2，4)＝λ(1，x)⇒(－2，4)＝(λ，xλ)， 所以 ⇒ 所以b＝， 所以|b|＝＝，故选B. 答案　B 3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，＝，＝，则cos ∠POQ＝(　　) A. B． C.－ D．－ 解析　cos ∠POQ＝cos 〈，〉＝＝＝－. 答案　D 4．已知a＝，b＝，且a·b＝2，则|a＋b|＝(　　) A.4 B．2 C. D．1 解析　因为a·b＝3－m＝2，解得m＝1，则a＝，则a＋b＝，则|a＋b|＝4. 答案　A 5．(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1).若a⊥b，则m＝ ． 解析　由a⊥b，得m＋3m＋3＝0，解得m＝－. 答案　－ 6．已知a＝(1，1)，b＝(0，－2)，若ka－b与a＋b的夹角为120°，则k的值为 ． 解析　因为a＝(1，1)，b＝(0，－2)， 所以ka－b＝(k，k＋2)，a＋b＝(1，－1)， 所以|ka－b|＝， |a＋b|＝＝， 所以(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，又ka－b与a＋b的夹角为120°， 所以cos 120°＝ ＝＝－， 整理得k2＋2k－2＝0， 解得k＝－1±. 答案　－1± 7．已知a＝(2，0)，b＝(1，2)，实数t满足|a－tb|＝，则t＝ ． 解析　由题意得|a|＝2，|b|＝， 因为|a－tb|＝，所以a2＋t2b2－2ta·b＝5， 所以4＋5t2－4t＝5，所以5t2－4t－1＝0， 所以t＝1或t＝－. 答案　1或－ 8．已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，1). (1)求2a－b的坐标； (2)设a，b的夹角为θ，求cos θ的值； (3)若(a－kb)⊥b，求k的值． 解析　(1)因为a＝(1，2)，b＝(－1，1)， 所以2a－b＝2×(1，2)－(－1，1)＝(3，3). (2)cos θ＝＝＝. (3)因为(a－kb)⊥b，所以(a－kb)·b＝0， 所以1×(－1)＋2×1－2k＝0，解得k＝. [关键能力·综合提升] 9．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为(　　) A.30° B．60° C.120° D．150° 解析　由a·b＝－10， 得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝， ∴c·a＝－. 设a与c的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－. ∵0°≤0≤180°，∴θ＝120°. 答案　C 10．已知向量a，b满足a＋b＝(4，－1)，2a－b＝(2，1)，则cos 〈a－b，b〉＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析　由题意可得 两式相加可得3a＝(6，0)，即a＝(2，0)， 可得a－b＝－a＝(0，1)， b＝－a＝(2，－1)， 所以cos 〈a－b，b〉＝＝＝－. 答案　B 11．已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，则 (1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为 ； (2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为 ． 解析　(1)∵2a＋b＝(3，1)， ∴|2a＋b|＝＝. ∴与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为 ＝. (2)∵b－3a＝(－2，1)，∴|b－3a|＝，|a|＝1， (b－3a)·a＝(－2，1)·(1，0)＝－2， ∴cos 〈b－3a，a〉＝＝＝. 答案　(1)　(2)－ 12．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝6，∠BAC＝60°，BC边上的中线为AM，N为AC的三等分点，且满足AN＝2NC，连接BN，BN与AM相交于点P，则∠MPN的余弦值为 ． 解析　以点A为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可得A(0，0)，C(6，0)，B(1，)，M，N(4，0)， 所以＝，＝(3，－)， 则||＝＝，||＝＝2， 所以cos ∠MPN＝cos 〈，〉＝cos 〈，〉＝＝＝. 答案　 13．已知向量＝(2，2)，＝(x，－1)，＝(－2，1). (1)若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，求x的值； (2)x为何值时，三点A，B，C可以构成一个三角形？ 解析　(1)∵＝(2，2)，＝(x，－1)，＝(－2，1). ∴＝(x－2，－3)，＝(－4，－1)， 当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时，⊥， ∴(x－2)×(－4)＋(－3)×(－1)＝0，得x＝. (2)B与AC不在同一条直线上时，三点A，B，C可构成三角形，即，不共线， ∴(x－2)×(－1)≠(－3)×(－4)，得x≠－10. 即x∈(－∞，－10)∪(－10，＋∞)时，三点A，B，C可构成三角形． [学科素养·探索创新] 14．(2025·广东深圳高一期中)已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部(不含边界)的动点，且满足·＝0，则·的取值范围是(　　 ) A.(0，8] B．[0，8) C.(0，4] D．[0，4) 解析　以AB中点为原点建立如图所示的直角坐标系， 则A(－1，0)，B(1，0)，C(1，2)， D(－1，2)， 设P(x，y)，则＝(－1－x，－y)， ＝(1－x，－y)， 则·＝－(1－x2)＋y2＝0， 即x2＋y2＝1，则x2－1＝－y2，其中－1<x<1，0<y≤1， 则＝(x－1，y－2)，＝(x＋1，y－2)，0<y≤1， 则·＝x2－1＋(y－2)2＝－y2＋(y－2)2＝－4y＋4∈[0，4)，故选D. 答案　D 15．已知＝(2，1)，＝(1，7)，＝(5，1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点). (1)求·取得最小值时的坐标； (2)对(1)中求出的点C，求cos ∠ACB. 解析　(1)∵点C是直线OP上的一点， ∴向量与共线， 设＝t(t∈R)，因为＝(2t，t). ∵＝－＝(1－2t，7－t)， ＝－＝(5－2t，1－t)， ∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t) ＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8， 当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4，2). (2)当＝(4，2)时，＝(－3，5)，＝(1，－1)， ∴||＝，||＝，·＝－8. ∴cos ∠ACB＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $