7.2.4 第2课时 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧，承接诱导公式①到④，构建完整诱导公式体系，以“奇变偶不变，符号看象限”口诀为学习支架，结合角的终边对称关系等直观理解公式推导。 通过“想一想”环节培养几何直观（数学眼光），题型分类与通性通法总结提升推理运算能力（数学思维），例题与跟踪训练强化符号表达（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固查漏。

第二课时　诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧ 　　同学们听了老师的记忆口诀后，更是摸不着头脑，老师随后做了解释，同学们脑洞大开，都拍手叫绝. 【问题】　你知道“奇变偶不变，符号看象限”的含义吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧ 1.诱导公式⑤ sin＝　cos α　；cos＝　sin α　. 2.诱导公式⑥ sin＝　cos α　；cos＝　－sin α　. 3.诱导公式⑦ sin＝　－cos α　；cos＝　sin α　. 4.诱导公式⑧ sin＝　－cos α　；cos＝　－sin α　. 　　提醒：对诱导公式的理解：（1）公式⑤～⑧中的角α是任意角；（2）诱导公式①～⑧中的角可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”.①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的；②“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的；③“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号. 【想一想】 1.角－α与角α的终边有什么样的位置关系？ 提示：如图，角－α与角α的终边关于y＝x对称. 2.点P1（a，b）关于y＝x对称的对称点坐标是什么？ 提示：点P1（a，b）关于y＝x对称的对称点坐标是P2（b，a）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧中的角α只能是锐角.（　×　） （2）sin＝cos α.（　×　） （3）若α为第二象限角，则sin＝cos α.（　√　） （4）cos＝－sin α.（　√　） 2.已知sin（＋θ）－3cos（θ－）＝0，则tan θ＝　　－　　. 解析：由sin－3cos＝0，可得－cos θ－3sin θ＝0，tan θ＝－. 3.已知sin＝，那么cos α＝　　　　. 题型一｜利用诱导公式求值 【例1】　（1）已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°＝（　B　） A.　　　　　　　　B. C.－ D.－ 解析：（1）sin 239°tan 149°＝sin（270°－31°）·tan（180°－31°）＝－cos 31°·（－tan 31°）＝sin 31°＝＝. （2）已知cos（π＋α）＝－，α为第一象限角，则cos＝　　－　　； 解析：（2）因为cos（π＋α）＝－cos α＝－，所以cos α＝，又α为第一象限角，则cos＝－sin α＝－＝－＝－. （3）已知sin＝，则cos＝　　　. 解析：（3）cos＝cos＝ sin＝. 通性通法 解决化简求值问题的策略 （1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少； （2）对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名. 注意：常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等. 【跟踪训练】 1.若cos（ ＋θ）＋sin（ θ＋）＝－，则的值为（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：B　因为cos（ ＋θ）＋sin（ θ＋）＝－，所以sin θ＋cos θ＝，（sin θ＋cos θ）2＝，即sin2θ＋cos2θ＋2sin θcos θ＝，得sin θcos θ＝－.所以＝＝＝＝. 2.已知cos（ α－）＝－，且0＜α＜π，则cos（ α＋）＝（　　） A.－　　　 B.－ C.　　　 D. 解析：A　因为0＜α＜π，故－＜α－＜，又cos（ α－）＝－，所以＜α－＜，sin（ α－）＝＝，又cos（ α＋）＝cos［＋（ α－）］＝－sin（ α－），所以cos（ α＋）＝－. 题型二｜利用诱导公式化简 【例2】　化简：（1）sincos； 解：（1）原式＝·sin［－（－α）］（－sin α） ＝·（－sin α） ＝·（－cos α）（－sin α） ＝－cos2α. （2）sin（－α－5π）cos－sincos（α－2π）. 解：（2）原式＝sin（－α－π）cos－sin［π＋（＋α）］·cos[－（2π－α）] ＝sin[－（α＋π）]cos＋sincos（2π－α） ＝－sin（α＋π）sin α＋cos αcos α ＝sin2α＋cos2α ＝1. 通性通法 用诱导公式进行化简时的注意点 （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母尽量不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等. 【跟踪训练】 化简： －. 解：∵sin（4π－α）＝sin（－α）＝－sin α， cos＝cos＝cos＝－sin α， sin＝sin＝－sin＝－cos α， tan（5π－α）＝tan（π－α）＝－tan α， sin（3π－α）＝sin（π－α）＝sin α， ∴原式＝－＝－＋＝＝＝1. 题型三｜诱导公式的综合应用 【例3】　已知f（α）＝. （1）化简f（α）； 解：（1）f（α）＝ ＝＝－sin α. （2）若cos＝－，求f（α）的值. 解：（2）因为cos＝－， 即cos＝cos ＝cos＝sin α＝－，即sin α＝－， 由（1）知f（α）＝－sin α＝. 【母题探究】 （变结论）本例的条件不变，若cos（3π－α）＝，求f的值. 解：由cos（3π－α）＝可得cos α＝－，由本例可知f＝－sin＝－sin［8π－（－α）］＝sin＝cos α＝－. 通性通法 诱导公式综合应用要“三看” 　　一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系； 二看函数名称：一般是弦切互化； 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 【跟踪训练】 已知f（α）＝. （1）化简f（α）； 解：（1）f（α）＝ ＝＝－cos α. （2）若α是第三象限角，且cos（ α－）＝，求f（α）的值； 解：（2）因为cos（ α－）＝cos（ α＋）＝－sin α＝，所以sin α＝－.又因为α是第三象限角， 所以cos α＝－＝－＝－，所以f（α）＝－cos α＝. 1.sin 95°＋cos 175°＝（　　） A.sin 5°　　　 B.cos 5°　　 C.0　　　 D.2sin 5° 解析：C　原式＝sin（90°＋5°）＋cos（180°－5°）＝cos 5°－cos 5°＝0.故选C. 2.（2025·济南期末）已知sin（ α－）＝，则cos（ α＋）＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：C　因为sin（ α－）＝，所以sin（ －α）＝－，所以cos（ α＋）＝cos［－（ －α）］＝sin（ －α）＝－. 3.〔多选〕（2025·宁波期末）设A，B，C分别是△ABC的三个内角，则（　　） A.cos（A＋B）＝cos C B.cos＝sin C.sin（A＋B）＝sin C D.sin＝sin 解析：BC　cos（A＋B）＝cos（π－C）＝－cos C，A错误.cos＝cos＝cos（ －）＝sin，B正确.sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C，C正确.sin＝sin＝sin（ －）＝cos，D错误. 4.化简：＝　　－sin θ　　. 解析：原式＝＝＝－sin θ. 1.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点（2，3），则sin（ ＋α）＝（　　） A.　 B.　 C.－　 D.－ 解析：A　由题意结合三角函数的定义可得cos α＝＝，由诱导公式可得sin（ ＋α）＝sin（ ＋α）＝cos α＝. 2.已知sin＝，α∈，则tan α的值为（　　） A.－2 B.2 C.－ D. 解析：A　由已知得cos α＝，又α∈，所以sin α＝－＝－＝－.因此，tan α＝＝－2. 3.若sin（180°＋α）＋cos（90°＋α）＝－a，则cos（270°－α）＋2sin（360°－α）的值是（　　） A.－a B.－a C.a D.a 解析：B　由条件得－sin α－sin α＝－a，故sin α＝，原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a. 4.已知f（sin x）＝cos 3x，则f（cos 10°）的值为（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：A　f（cos 10°）＝f（sin 80°）＝cos 240°＝cos（270°－30°）＝－sin 30°＝－. 5.〔多选〕已知f（x）＝sin x＋cos x，则下列结论不正确的是（　　） A.f（x＋π）＝sin x＋cos x B.f（π－x）＝sin x＋cos x C.f＝sin x＋cos x D.f＝sin x＋cos x 解析：ABC　f（x＋π）＝sin（x＋π）＋cos（x＋π）＝－sin x－cos x，f（π－x）＝sin（π－x）＋cos（π－x）＝sin x－cos x，f（x＋）＝sin（x＋）＋cos（x＋）＝cos x－sin x，f（－x）＝sin（－x）＋cos＝cos x＋sin x，故选A、B、C. 6.（2025·泉州期末）已知α∈（ ，π），sin（ α－）＝，则tan（ α＋）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：D　α∈（ ，π），α－∈（ ，），所以cos（ α－）＝－＝－，所以sin（ α＋）＝sin［（ α－）＋］＝cos（ α－）＝－，cos（ α＋）＝cos［（ α－）＋］＝－sin（ α－）＝－，所以tan（ α＋）＝＝. 7.已知角α的终边上有一点P的坐标是（m，2m），m≠0，则＝　　－3　　. 解析：由角α的终边上有一点P的坐标是（m，2m），可得tan α＝2，则＝＝＝＝－3. 8.已知sin（＋θ）＋2sin（－θ）＝0，则tan（＋θ）＝　　2　　. 解析：∵sin＋2sin＝0，∴sin（＋θ）＝2sin＝2sin［－］＝2cos（＋θ），∴tan＝2. 9.已知sin（ α－）＝，则cos（ －α）＝　　　－　. 解析：由sin（ α－）＝，得sin（ α－＋2π）＝，即sin（ α＋）＝，所以cos（ －α）＝cos（ 3π＋－α）＝－cos（ －α）＝－sin（ α＋）＝－. 10.化简：＋. 解：因为sin＝cos α，cos＝sin α， cos（π＋α）＝－cos α，sin（π－α）＝sin α， cos＝－sin α，sin（π＋α）＝－sin α， 所以原式＝＋ ＝－sin α＋sin α＝0. 11.已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sin α＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由已知得消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝，则sin α＝（α为锐角）. 12.〔多选〕下列结论正确的是（　　） A.sin（π＋α）＝－sin α成立的条件是角α是锐角 B.若cos（nπ－α）＝（n∈Z），则cos α＝ C.若α≠（k∈Z），则tan＝－ D.△ABC中，sin ＝cos 解析：CD　由诱导公式知α∈R时，sin（π＋α）＝－sin α，所以A错误；当n＝2k（k∈Z）时，cos（nπ－α）＝cos（－α）＝cos α，此时cos α＝，当n＝2k＋1（k∈Z）时，cos（nπ－α）＝cos[（2k＋1）π－α]＝cos（π－α）＝－cos α，此时cos α＝－，所以B错误；若α≠（k∈Z），则tan＝＝＝－，所以C正确；因为在△ABC中，B＋C＝π－A，所以sin ＝sin＝cos ，故D正确. 13.如图，以Ox为始边作角α与β（ 0＜β＜＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为（ x，）. （1）求的值； （2）若OP⊥OQ，求P的坐标； （3）分别计算cos2β－sin2β和cos4β－sin4β的值，根据计算结果，请你提出一个猜想，并证明你的猜想. 解：（1）因为点Q在单位圆上且0＜β＜，所以x＞0且x2＋（ ）2＝1， 解得x＝，即Q（ ，），故sin β＝，cos β＝，tan β＝， 故原式＝＝＝＝－12. （2）由题意α＝β＋，故sin α＝sin（ β＋）＝cos β＝， cos α＝cos（ β＋）＝－sin β＝－，故P（ －，）. （3）由（1）知sin β＝，cos β＝， 所以cos2β－sin2β＝－＝，cos4β－sin4β＝－＝. 根据计算结果猜想：∀x∈R，cos4x－sin4x＝cos2x－sin2x. 证明：cos2x－sin2x＝（cos2x－sin2x）·（cos2x＋sin2x）＝cos4x－sin4x，故猜想成立. 14.已知f（α）＝，则f（α）＝　　cos α　　，f的值为　　　　. 解析：f（α）＝＝cos α，∴f（－）＝cos＝cos ＝cos（8π＋）＝cos ＝. 15.在①tan（π＋α）＝2；②sin（π－α）－sin＝cos（－α）；③2sin＝cos，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题. 问题：已知　　　　. （1）求的值； （2）当α为第三象限角时，求sin（－α）－cos（π＋α）－cossin的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：若选①，则tan（π＋α）＝2，即tan α＝2； 若选②，则sin（π－α）－sin＝cos（－α），即sin α－cos α＝cos α， 即sin α＝2cos α，tan α＝2； 若选③，2sin＝cos，即2cos α＝sin α，tan α＝2； （1）＝＝＝＝8. （2）当α为第三象限角时，tan α＝＝2， 即sin α＝2cos α， 又∵sin2α＋cos2α＝1，即（2cos α）2＋cos2α＝1，解得cos α＝－， sin α＝－＝－＝－， sin（－α）－cos（π＋α）－cossin＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝－－＋×＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $