7.2.4 第1课时 诱导公式①、②、③、④(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学诱导公式①②③④，基于单位圆对称性（终边相同、关于x轴/ y轴/原点对称）推导，明确函数名不变符号看象限的规律，衔接任意角三角函数知识，为三角求值、化简及恒等式证明提供学习支架。 以南京眼等对称实例引入，用数学眼光观察现实，通过单位圆对称推导培养逻辑推理（数学思维），设置题型训练提升数学运算能力，课中辅助教师授课，课后帮助学生回顾强化，有效查漏补缺。

7.2.4　诱导公式 课标要求 1.能借助对称，会推导三角函数的诱导公式（逻辑推理）. 2.会用诱导公式进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明（数学运算）. 第一课时　诱导公式①、②、③、④ 　　南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现了自己的和谐之美.而三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系.圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形. 【问题】　你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　诱导公式①、②、③、④ 公式 公式① 公式② 公式③ 公式④ 角 α＋2kπ（k∈Z） －α π－α π＋α 图示 公式 公式① 公式② 公式③ 公式④ 与角α终 边的关系 相同 关于　x　轴对称 关于　y　轴对称 关于　原点　对称 正弦 sin（α＋2kπ）＝　sin α　（k∈Z） sin（－α）＝　－sin α　 sin（π－α）＝　sin α　 sin（π＋α）＝　－sin α　 公式 公式① 公式② 公式③ 公式④ 余弦 cos（α＋2kπ）＝　cos α　（k∈Z） cos（－α）＝　cos α　 cos（π－α）＝　－cos α　 cos（π＋α） ＝　－cos α　 正切 tan（α＋2kπ） ＝　tan α　（k∈Z） tan（－α）＝　－tan α　 tan（π－α） ＝　－tan α　 tan（π＋α） ＝　tan α　 记忆口诀 函数名不变，符号看象限 　　提醒：诱导公式的记忆：诱导公式①、②、③、④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角. 【想一想】 1.根据三角函数的诱导公式①，终边相同的角的同名三角函数值有何关系？ 提示：终边相同的角，其同名三角函数的值相等. 2.角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2（cos（－α），sin（－α））与点P（cos α，sin α）有怎样的关系？ 提示：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称. 3.角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3（cos（π－α），sin（π－α））与点P（cos α，sin α）有怎样的关系？ 提示：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）点P（x，y）关于x轴的对称点是P'（－x，y）.（　×　） （2）诱导公式中的符号是由角α的象限决定的.（　×　） （3）诱导公式①、②、③、④中函数的名称都不变.（　√　） （4）公式tan（α－π）＝tan α中，α＝不成立.（　√　） 2.cos ＝（　　） A.　　　 B.　　　 C.－　　　 D.－ 解析：D　cos ＝cos ＝cos＝－cos ＝－. 3.已知tan α＝，则tan（2π－α）＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：A　∵tan α＝，∴tan（2π－α）＝－tan α＝－. 4.sin 300°的值为　　－　　. 解析：sin 300°＝sin（360°－60°）＝sin（－60°）＝－sin 60°＝－. 题型一｜给角求值问题 【例1】　求下列各三角函数式的值： （1）cos 210°； 解：（1）cos 210°＝cos（180°＋30°）＝－cos 30°＝－. （2）sin ； 解：（2）sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝. （3）sin； 解：（3）sin＝－sin＝－sin＝－sin＝sin＝. （4）tan（－855°）. 解：（4）tan（－855°）＝－tan 855°＝－tan（2×360°＋135°）＝－tan 135°＝－tan（180°－45°）＝tan 45°＝1. 通性通法 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式②或③来转化； （2）“大化小”：用公式①将角化为0°到360°间的角； （3）“小化锐”：用公式②或④将大于90°的角转化为锐角； （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 【跟踪训练】 （1）sin 750°＝　　　　；cos（－2 040°）＝　　－　　； 解析：（1）sin 750°＝sin（2×360°＋30°）＝sin 30°＝；cos（－2 040°）＝cos 2 040°＝cos（5×360°＋240°）＝cos 240°＝cos（180°＋60°）＝－cos 60°＝－. （2）计算：sin－cos＝　1　. 解析：（2）原式＝－sin －cos ＝－sin（4π＋π＋）－cos＝sin ＋cos ＝＋＝1. 题型二｜化简、求值问题 【例2】　化简下列各式： （1）； 解：（1）原式＝＝＝－＝－tan α. （2）； 解：（2）原式＝＝＝＝＝－1. （3）sin（ 2kπ＋）cos（ kπ＋）（k∈Z）. 解：（3）当k为偶数时，原式＝sincos＝sin（ π－）cos（ π＋）＝－sincos＝－. 当k为奇数时，原式＝sincos（ π＋）＝sin（ π－）cos（ 2π＋）＝sincos＝. 通性通法 三角函数式化简的常用方法 （1）依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数. （2）切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦或余弦函数. （3）注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan. （4）用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简. 【跟踪训练】 化简：（n∈Z）. 解：当n＝2k时，原式＝＝1； 当n＝2k＋1时，原式＝＝1. 综上，原式＝1. 题型三｜给值（式）求值问题 【例3】　已知cos＝，求： （1）cos的值； 解：（1）cos＝cos ＝－cos＝－. （2）cos的值. 解：（2）cos＝cos＝cos＝. 【母题探究】 1.（变设问）在本例条件下，求sin2的值. 解：sin2＝sin2＝sin2＝1－cos2＝1－＝. 2.（变条件）若将本例中条件“cos＝”改为“sin＝，α∈”，如何求得（1）的值？ 解：因为α∈，则α－∈. 所以cos＝－cos＝－cos ＝＝＝. 通性通法 解决条件求值问题的2技巧 【跟踪训练】 1.若sin（π＋α）＝，α∈，则tan（π－α）＝（　　） A.－　　　B.－ C.－　　　D.－ 解析：D　因为sin（π＋α）＝－sin α，根据条件得sin α＝－，又α∈，所以cos α＝－＝－.所以tan α＝＝＝.所以tan（π－α）＝－tan α＝－. 2.已知sin＝－，则sin＝　　－　　. 解析：∵－＝2π，∴α－＝－2π.∵sin＝－，∴sin（α－）＝sin＝sin（α＋）＝－. 1.（2025·烟台期末）cos（ －）＝（　　） A.－　　　 B.－　　　 C.　　　 D. 解析：C　cos（ －）＝cos＝cos（ 8π－）＝cos＝. 2.〔多选〕下列式子化简正确的是（　　） A.sin＝ B.cos（ －）＝ C.sin（2 026π－α）＝－sin α D.tan（α－2 025π）＝－tan α 解析：BC　对于A，sin＝sin（ π＋）＝－sin＝－，故A错误；对于B，cos（ －）＝cos＝，故B正确；对于C，sin（2 026π－α）＝sin（－α）＝－sin α，故C正确；对于D，tan（α－2 025 π）＝tan α，故D错误. 3.点P（cos 2 025°，sin 2 025°）落在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：C　2 025°＝6×360°－135°，所以cos 2 025°＝cos（－135°）＝cos 135°＜0，sin 2 025°＝sin（－135°）＝－sin 135°＜0，所以点P在第三象限. 4.的化简结果为　1　. 解析：原式＝＝1. 5.求下列各式的值： （1）sin（－1 395°）cos 1 110°＋cos（－1 020°）sin 750°； （2）sin·cos ·tan . 解：（1）原式＝sin（－4×360°＋45°）cos（3×360°＋30°）＋cos（－3×360°＋60°）sin（2×360°＋30°）＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝. （2）原式＝sin·cos·tan＝sin ·cos·tan ＝sin·cos ·tan ＝－sin ·cos ·tan ＝－××＝－. 1.sin（ －）－cos的值为（　　） A.0 B.1 C.＋ D.－ 解析：B　sin（ －）－cos＝sin（ －6π）－cos（ 4π－）＝sin－cos（ －）＝－（ －）＝1. 2.化简sin（π－2）－cos（4π－2）的结果为（　　） A.sin 2－cos 2 B.－1 C.2sin 2 D.－2sin 2 解析：A　原式＝sin 2－cos 2，故选A. 3.已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，则cos（150°－α）的值为（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：A　由sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，则90°＜30°＋α＜180°，所以cos（30°＋α）＝－，则cos（150°－α）＝cos[180°－（30°＋α）]＝－cos（30°＋α）＝. 4.若sin（π－α）＝log8 ，且α∈，则cos（π＋α）＝（　　） A. B.－ C.± D.以上都不对 解析：B　因为sin（π－α）＝sin α＝lo 2－2＝－，所以cos（π＋α）＝－cos α＝－＝－＝－. 5.〔多选〕下列各式正确的是（　　） A.sin（α＋180°）＝－sin α B.cos（－α＋β）＝－cos（α－β） C.sin（－α－360°）＝－sin α D.cos（－α－β）＝cos（α＋β） 解析：ACD　sin（α＋180°）＝－sin α，cos（－α＋β）＝cos[－（α－β）]＝cos（α－β），sin（－α－360°）＝－sin（α＋360°）＝－sin α，cos（－α－β）＝cos[－（α＋β）]＝cos（α＋β）. 6.〔多选〕在△ABC中，三个内角分别为A，B，C.下列结论正确的是（　　） A.sin（B＋C）＝sin A B.若cos A＞0，则△ABC为锐角三角形 C.cos（B＋C）＝cos A D.若sin（π－A）＝sin B，则A＝B 解析：AD　由A＋B＋C＝π，故A正确，C错误；对B，若cos A＞0，可得A为锐角，△ABC不一定是锐角三角形，B错误；由sin（π－A）＝sin A＝sin B，A，B∈（0，π）知，A＝B，故D正确. 7.可化简为　　1－sin θ　. 解析：＝＝＝＝＝1－sin θ. 8.已知sin（α＋π）＝，且sin αcos α＜0，则＝　－　　　. 解析：∵sin（α＋π）＝，∴sin α＝－. 又∵sin αcos α＜0，∴cos α＞0，cos α＝＝，∴tan α＝－.原式＝＝＝－. 9.已知cos（75°＋α）＝，α是第三象限角，则sin（α－105°）＝　　　　. 解析：因为cos（75°＋α）＝，所以cos（α－105°）＝cos（105°－α）＝cos[180°－（75°＋α）]＝－cos（75°＋α）＝－，又α是第三象限角，即180°＋360°k＜α＜270°＋360°k，k∈Z，所以75°＋360°k＜α－105°＜165°＋360°k，k∈Z，由cos（α－105°）＝－＜0得90°＋360°k＜α－105°＜165°＋360°k，k∈Z，所以sin（α－105°）＝＝. 10.已知f（α）＝. （1）化简f（α）； （2）若α是第三象限角，且sin（α－π）＝，求f（α）的值； （3）若α＝－，求f（α）的值. 解：（1）f（α）＝＝－cos α. （2）∵sin（α－π）＝－sin α＝，∴sin α＝－.又α是第三象限角，∴cos α＝－＝－＝－.∴f（α）＝－cos α＝. （3）∵－＝－6×2π＋，∴f（ －）＝－cos（ －6×2π＋）＝－cos＝－cos（ 2π－）＝－cos＝－. 11.已知sin＝，则sin的值为（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：D　sin＝sin＝sin＝－sin＝－. 12.已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋x，且f（2 026）＝0，则f（2 027）＝　4 053　. 解析：因为f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋x，所以f（2 026）＝asin（2 026π＋α）＋bcos（2 026π＋β）＋2 026＝asin α＋bcos β＋2 026＝0，得到asin α＋bcos β＝－2 026，所以f（2 027）＝asin（2 027π＋α）＋bcos（2 027π＋β）＋2 027＝asin（π＋α）＋bcos（π＋β）＋2 027＝－asin α－bcos β＋2 027＝－（－2 026）＋2 027＝4 053. 13.是否存在角α和β，当α∈，β∈（0，π）时，等式sin（3π－α）＝sin（2π＋β），cos（－α）＝－cos（π＋β）同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由. 解：存在α＝，β＝使等式同时成立.理由如下： 由sin（3π－α）＝sin（2π＋β），cos（－α）＝－cos（π＋β）得，sin α＝sin β，cos α＝cos β，两式平方相加得，sin2α＋3cos2α＝2，得到sin2α＝，即sin α＝±.因为α∈，所以α＝或α＝－.将α＝代入cos α＝cos β，得cos β＝，由于β∈（0，π），所以β＝.将α＝－代入sin α＝sin β，得sin β＝－，由于β∈（0，π），这样的角β不存在.综上可知，存在α＝，β＝使等式同时成立. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $