7.2.3 同角三角函数的基本关系式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“同角三角函数的基本关系式”核心知识点，通过“蝴蝶效应”生活情境引入问题，系统梳理平方关系（sin²α + cos²α = 1）与商数关系（tanα = sinα/cosα），结合变形公式、角的范围及“同角”含义解析，搭建从问题到概念再到应用的学习支架。 该资料以生活现象激发探究欲，培养数学眼光，通过“想一想”辨析、例题（如已知sinθ+cosθ求sinθcosθ）及通性通法总结，发展逻辑推理与数学运算素养。课中辅助教师引导学生深化理解，课后通过跟踪训练与综合练习，助力学生巩固知识、查漏补缺。

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 课标要求 1.理解同角三角函数基本关系式（逻辑推理）. 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与证明（数学运算）. 　　气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点. 【问题】　既然感觉毫不相干的事物都是互相联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　同角三角函数的基本关系式 关系式 文字表述 平方 关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的　平方和　等于1 商数 关系 ＝　tan α　 同一个角α的正弦、余弦的　商　等于角α的　正切　 　　提醒：同角三角函数基本关系式的变形：①sin2α＝1－cos2α；②cos2α＝1－sin2α；③sin α＝cos αtan α；④cos α＝；⑤（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α. 【想一想】 1.同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？ 提示：平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，它要求α≠kπ＋，k∈Z. 2.“同角”一词的含义是什么？ 提示：一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立.二是对任意一个角（在使得函数有意义的前提下），关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1等. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）对∀x∈R，sin24x＋cos24x＝1.（　√　） （2）对∀x∈R，tan x＝.（　×　） （3）若cos α＝0，则sin α＝1.（　×　） 2.设θ∈，若sin θ＝，则cos θ＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：D　∵θ∈，sin θ＝，∴cos θ＝＝＝，故选D. 3.已知tan α＝－，＜α＜π，则sin α＝　　. 解析：由tan α＝＝－，得cos α＝－2sin α.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝.因为＜α＜π，所以sin α＝. 题型一｜利用同角三角函数的基本关系式求值 【例1】　（1）已知角α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α的值是（　D　） A.　　　B.－　　　C.　　　D.－ 解析：（1）因为α为第二象限角，所以sin α＝＝＝，所以tan α＝＝＝－. （2）已知＝2，则＝　　　　. 解析：（2）由＝2，化简得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.原式＝＝. 【母题探究】 　（变设问）本例（2）条件不变，计算2sin2α－3sin αcos α的值. 解：因为tan α＝3， 所以原式＝＝＝＝＝. 通性通法 1.求三角函数值的方法 （1）已知sin θ（或cos θ）求tan θ常用以下方式求解 （2）已知tan θ求sin θ（或cos θ）常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间（象限）讨论. 2.已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式值的方法 （1）关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值； （2）若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值. 【跟踪训练】 1.已知tan θ＝4，则sin2θ－3sin θcos θ＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　因为tan θ＝4，所以sin2θ－3sin θcos θ＝＝＝＝. 2.若tan θ＋＝4，则sin θcos θ＝（　　） A. B. C. D. 解析：D　∵tan θ＋＝4，∴＋＝4，即＝4，sin θcos θ＝.故选D. 题型二｜三角函数式的化简与证明 角度1　三角函数式的化简 【例2】　若sin α·tan α＜0，化简＋. 解：因为sin α·tan α＜0，所以cos α＜0. 原式＝＋ ＝＋＝＋＝＝－. 通性通法 三角函数式的化简技巧 （1）化切为弦，即把正切函数化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的； （2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的； （3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 角度2　三角函数式的证明 【例3】　求证：＝. 证明：法一　因为左边＝ ＝＝ ＝＝＝右边. 所以原式成立. 法二　由法一知，左边＝， 右边＝＝， 所以左边＝右边，原式成立. 通性通法 证明三角恒等式常用的方法 （1）从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性； （2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等； （3）比较法：即证左边－右边＝0或证＝1； （4）综合法：即由一个已知成立的等式（如公式等）恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想. 【跟踪训练】 1.已知α∈（ －，0），则sin α＋cos2α＝（　　） A.－1 B.－2cos α－1 C.1 D.2cos α＋1 解析：A　原式＝sin α＋cos2α＝＋cos2α.因为α∈（ －，0），则sin α＜0，cos α＞0，所以上式＝－（1＋cos α）＋cos α＝－1. 2.证明下列恒等式： （1）sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝1； （2）2（1－sin α）（1＋cos α）＝（1－sin α＋cos α）2. 证明：（1）左边＝sin2α（1－sin2β）＋sin2β＋cos2αcos2β ＝sin2αcos2β＋sin2β＋cos2αcos2β＝cos2β（sin2α＋cos2α）＋sin2β ＝cos2β＋sin2β＝1＝右边.故恒等式成立. （2）右边＝sin2α＋cos2α＋1－2sin α＋2cos α－2sin αcos α ＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2（1－sin α＋cos α－sin αcos α） ＝2（1－sin α）（1＋cos α）＝左边.故恒等式成立. 题型三｜sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 【例4】　已知sin θ＋cos θ＝（0＜θ＜π），求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值. 解：因为sin θ＋cos θ＝（0＜θ＜π）， 所以（sin θ＋cos θ）2＝， 即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝， 所以sin θcos θ＝－. 由上式可知，θ为第二象限的角， 所以sin θ－cos θ＞0， 所以sin θ－cos θ ＝ ＝＝. 通性通法 　　已知sin α±cos α，sin αcos α的求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有： （1）（sin α＋cos α）2＝1＋2sin αcos α； （2）（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α； （3）（sin α＋cos α）2＋（sin α－cos α）2＝2； （4）（sin α－cos α）2＝（sin α＋cos α）2－4sin αcos α. 【跟踪训练】 1.已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为（　　） A. B.± C. D.± 解析：A　由已知得（cos α－sin α）2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝. 2.已知sin x＋cos x＝，且0＜x＜π.求sin x，cos x，tan x的值. 解：∵sin x＋cos x＝， ① 两边平方，得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝， ∴2sin xcos x＝－， ∴（sin x－cos x）2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x ＝1＋＝. ∵sin xcos x＜0，而0＜x＜π，∴sin x＞0，cos x＜0， ∴sin x－cos x＞0，则sin x－cos x＝. ② 联立①②两式， 解得sin x＝，cos x＝－，故tan x＝－. 1.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是（　　） A.tan α＝－ B.cos α＝－ C.sin α＝－ D.tan α＝ 解析：B　由商数关系可知A、D项均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B项正确. 2.若cos α＝－，α∈（0，π），则sin α的值等于（　　） A.－ B. C. D.－ 解析：C　∵cos α＝－，α∈（0，π），∴sin α＝＝＝.故选C. 3.〔多选〕已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是（　　） A.θ∈（ ，π） B.cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝ 解析：ABC　对于A，因为sin θ＋cos θ＝，则（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝－.又因为θ∈（0，π），则sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ∈（ ，π），故A正确；对于D，可得（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝，且sin θ－cos θ＞0，所以sin θ－cos θ＝，故D错误；对于B，联立可得sin θ＝，cos θ＝－，故B正确；对于C，可得tan θ＝＝－，故C正确.故选A、B、C. 4.已知sin θ－cos θ＝，则sin3 θ－cos3 θ的值为　　　　. 解析：将sin θ－cos θ＝两边同时平方，得1－2sin θcos θ＝，从而可得sin θcos θ＝， 故sin3θ－cos3θ＝（sin θ－cos θ）（sin2θ＋sin θcos θ＋cos2 θ）＝×＝. 5.已知　　　　.请从下列两个条件中任选一个作答. 条件①：角α的终边与单位圆的交点为M（ x，）； 条件②：角α满足3sin2α－2cos2α＋1＝0. （1）求tan α的值； 解：（1）条件①：因为角α的终边与单位圆的交点为M（ x，）， 可得x2＋（ ）2＝1，x＝±，由三角函数的定义可得tan α＝±. 条件②：因为角α满足3sin2α－2cos2α＋1＝0，又sin2α＋cos2α＝1， 即3sin2α－2cos2α＋sin2α＋cos2α＝0，可得4sin2α＝cos2α， 又cos2α≠0，所以tan2α＝，即tan α＝±. （2）求sin αcos α－sin2α的值. 解：（2）无论选择①还是②均可得到tan α＝±， sin αcos α－sin2α＝＝， 当tan α＝时，＝＝； 当tan α＝－时，＝＝－. 1.若α为第三象限角，则 ＋的值为（　　） A.3　　　　B.－3　　　　 C.1　　　　D.－1 解析：B　原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3. 2.若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：D　因为sin α＝－，且α为第四象限角，所以cos α＝，所以tan α＝－. 3.已知sin θ＝，cos θ＝－，若θ是第二象限角，则tan θ的值为（　　） A.－ B.－2 C.－ D.－ 解析：C　∵sin θ＝，cos θ＝－，∴sin2θ＋cos2θ＝＋＝1，解得a＝0或a＝4.∵θ为第二象限角，∴sin θ＞0，cos θ＜0，∴a＝4，∴sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－. 4.化简sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的结果是（　　） A.89 B. C.45 D. 解析：B　∵sin 1°＝cos 89°，sin 2°＝cos 88°，…，sin 89°＝cos 1°，故设cos289°＋cos288°＋…＋cos22°＋cos21°＝t，则2t＝89，∴t＝. 5.〔多选〕已知θ∈（0，π），且sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是（　　） A.sin θcos θ＝－ B.sin θ－cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin θcos θ－cos2θ＝－ 解析：AD　由sin θ＋cos θ＝可得（sin θ＋cos θ）2＝，即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，所以2sin θcos θ＝－，即sin θcos θ＝－，即A正确；又θ∈（0，π），所以sin θ＞0，cos θ＜0，因此sin θ－cos θ＞0，所以sin θ－cos θ＝＝＝＝，即B错误；联立可得sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝＝＝－，即C错误；代入计算可得sin θcos θ－cos2θ＝×（ －）－（ －）2＝－－＝－，即D正确. 6.〔多选〕若1＋sin θ＋cos θ＝0成立，则角θ不可能位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：ABD　∵1＋sin θ＋cos θ·＝1＋sin θ·｜sin θ｜＋cos θ｜cos θ｜＝0.又sin2θ＋cos2θ＝1，∴即π＋2kπ≤θ≤＋2kπ（k∈Z）.故角θ不可能在第一、二、四象限. 7.已知＝1，则α在第　二或四　象限. 解析：由＝1⇒tan α＝－1＜0，∴α在第二或第四象限. 8.已知tan θ＝，则＝　　. 解析：∵tan θ＝，∴原式＝＝＝. 9.已知θ∈（0，2π），且sin θ，cos θ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实数根，则实数k＝　－1　，θ＝　π或　. 解析：依题意有sin θ＋cos θ＝k， ① sin θcos θ＝k＋1. ② 又∵（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ，∴k2－2k－3＝0.解得k＝3或k＝－1.∵｜sin θcos θ｜＝｜k＋1｜≤1，∴k＝－1.代入①②，得解得或又∵θ∈（0，2π），∴θ＝π或. 10.已知f（α）＝. （1）若sin α＋cos α＝，且0＜α＜π，求f（α）的值； （2）若f（α）＝，求sin2α－3sin αcos α的值. 解：（1）法一 f（α）＝，因为sin α＋cos α＝， 所以（sin α＋cos α）2＝，即2sin αcos α＝－， 从而（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝.因为0＜α＜π，sin α＞0， 又sin αcos α＜0，所以cos α＜0，因此sin α－cos α＞0， 从而sin α－cos α＝， 故f（α）＝＝. 法二 由sin α＋cos α＝及sin2α＋cos2α＝1， 解得sin α＝，cos α＝，或sin α＝，cos α＝， 因为0＜α＜π，所以sin α＝，cos α＝， 所以sin α－cos α＝，因此f（α）＝＝. （2）法一 f（α）＝＝，所以2sin α＝－4cos α， 假设cos α＝0，则由上式知sin α＝0，与sin2α＋cos2α＝1矛盾，所以cos α≠0， 从而tan α＝－2，则sin2α－3sin αcos α＝＝＝2. 法二 f（α）＝＝，所以sin α＝－2cos α， 又sin2α＋cos2α＝1，所以5cos2α＝1，即cos2α＝， 因此sin2α－3sin αcos α＝4cos2α＋6cos2α＝10cos2α＝2. 11.〔多选〕下列计算或化简结果正确的是（　　） A.＝2 B.若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋＝2 C.若tan x＝，则＝1 D.若α为第一象限角，则＋＝2 解析：ABD　A正确，＝·＝2；B正确，tan θ＋＝＋＝＝2；C不正确，＝＝＝2；D正确，∵α为第一象限角，∴原式＝＋＝2.故选A、B、D. 12.若tan α＋＝3，则sin αcos α＝　　；tan2α＋＝　7　. 解析：∵tan α＋＝3，∴＋＝3，即＝3，∴sin αcos α＝，tan2α＋＝－2tan α·＝9－2＝7. 13.已知函数f（x）＝（ cos x＋）2－tan2x·sin2x. （1）分别计算f（0），f（ ），f（ ）和f（ ）的值； （2）根据（1）的计算结果，你发现了什么恒等关系？并证明你的结论. 解：（1）f（0）＝（1＋1）2－0＝4； f（ ）＝（ ＋）2－（ ）2×（ ）2＝－＝4； f（ ）＝（ ＋）2－12×（ ）2＝－＝4； f（ ）＝（ ＋2）2－（）2×（ ）2＝－＝4. （2）发现结论：f（x）＝（ cos x＋）2－tan2x·sin2x＝4. 下面给予证明：∀x∈R，且x≠kπ＋（k∈Z），有 f（x）＝cos2x＋2＋－·sin2x ＝cos2x＋2＋ ＝cos2x＋2＋ ＝cos2x＋2＋（1＋sin2x） ＝4. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $