7.2.2 单位圆与三角函数线(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦“单位圆与三角函数线”核心知识点，先通过单位圆定义建立角的终边与交点坐标的联系，明确余弦、正弦分别对应交点横、纵坐标，再引出正弦线、余弦线、正切线的概念，形成从三角函数定义到几何表示的学习支架，并通过比较大小、解三角不等式等例题实现知识应用。 该资料以水车转动情境引入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过单位圆模型抽象出三角函数线，培养数学抽象素养。利用三角函数线直观解决问题，发展直观想象，课中问题探究与例题解析助力教师教学，课后跟踪训练及能力提升题帮助学生查漏补缺，强化知识理解与应用。

7.2.2　单位圆与三角函数线 课标要求 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切（数学抽象）. 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题（直观想象）. 　　江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些什么呢？ 【问题】　将图中的水车抽象出一个数学模型，建立平面直角坐标系（如图所示），设水车的轮廓为单位圆.在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴.过点A（1，0）作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与，，的关系吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　单位圆 1.在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆. 2.角α的　余弦　和　正弦　分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标. 【想一想】 1.单位圆的圆心和半径分别是什么？ 提示：单位圆的圆心在原点，半径为单位长度即半径等于1. 2.角α的终边与单位圆的交点是否可以表示为（cos α，sin α）？ 提示：可以. 　角的终边与单位圆的交点的坐标是　　　　. 解析：由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ＝－，纵坐标是sin ＝，所以角的终边与单位圆的交点的坐标是. 知识点二　三角函数线 　正弦线、余弦线和正切线都称为　三角函数线　. 　　提醒：三角函数线的特征：①位置：三条三角函数线中有两条在以坐标原点为圆心的单位圆内，一条在以坐标原点为圆心的单位圆外；②方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向x轴上的垂足；正切线由切点指向切线与α的终边（或其反向延长线）的交点；③正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”；④书写：起点（比如点A）在前，终点（比如点B）在后，写为. 【想一想】 1.三角函数线的长度与三角函数的值有何关系？ 提示：三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值. 2.三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？请说明理由. 提示：能，当三角函数线与x轴（或y轴）正向同向时，所表示三角函数值为正的，与x轴（或y轴）正向反向时，所表示三角函数值为负的. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）余弦线也可写成 .（　×　） （2）三角函数线的长度等于三角函数值.（　×　） （3）三角函数线的方向表示三角函数值的正负.（　√　） （4）当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.（　√　） 2.如图所示，在单位圆中角α的正弦线，正切线分别是（　　） A.， B.， C.， D.， 解析：C　α为第三象限角，故正弦线为，正切线为，所以C正确. 3.角和角有相同的（　　） A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定 解析：C　与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线. 题型一｜三角函数线的意义 【例1】　（1）角α（0＜α＜2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D.或 （1）解析：D　根据三角函数值的符号可知，当角α在二、四象限时，角α的正弦、余弦符号相反.又角α的正、余弦线的长度相等，0＜α＜2π，所以α＝或. （2）作出π的正弦线、余弦线和正切线. （2）解：在直角坐标系中作单位圆，如图所示，以Ox轴为始边作角π，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin π＝，cosπ＝，tan π＝，即π的正弦线为，余弦线为，正切线为. 通性通法 1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. 2.作正切线时，应从A（1，0）点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线. 【跟踪训练】 1.已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边（　　） A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y＝x上 D.在直线y＝－x上 解析：B　根据正弦线的定义知，｜sin α｜＝1，所以sin α＝±1，所以角α的终边在y轴上. 2.有下列说法：①和的正弦线长度相等；②和的正切线长度相等；③和的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为（　　） A.1　　　B.2 C.3　　　D.0 解析：C　和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线长度相等；和的余弦线长度相等.故①②③都正确，故选C. 题型二｜利用三角函数线比较大小 【例2】　利用三角函数线比较下列各组数的大小： （1）sin 与sin ； 解：如图所示，设的终边与单位圆交于点P1，的终边与单位圆交于点P2. （1）过点P1作P1M1垂直x轴于点M1，过点P2作P2M2垂直x轴于点M2，则，分别是，的正弦线. ∵｜｜＞｜｜，且与的方向都与y轴的正方向相同，∴sin ＞sin . （2）cos 与cos ； 解：（2）易知，分别是，的余弦线. ∵｜｜＜｜｜，且与的方向都与x轴的正方向相反，∴cos ＞cos . （3）tan 与tan . 解：（3）过点A（1，0）作x轴的垂线，交的终边的反向延长线于点T1，交的终边的反向延长线于点T2，则，分别是，的正切线. ∵｜｜＞｜｜，且与的方向都与y轴的正方向相反，∴tan ＜tan . 通性通法 利用三角函数线比较三角函数值的大小的步骤 （1）角的位置标注清楚； （2）比较三角函数线的有向线段的长度； （3）确定有向线段的正负. 【跟踪训练】 　若－＜α＜－，比较sin α，cos α，tan α的大小. 解：如图，在单位圆中，作出－＜α＜－内的任意一个角α及其余弦线、正弦线、正切线，，. 由图知，｜｜＜｜｜＜｜｜， ∴－｜｜＜－｜｜＜｜｜， 即sin α＜cos α＜tan α. 题型三｜利用三角函数线解简单三角不等式（组） 【例3】　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合. （1）sin α≥； 解：（1）作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域（如图①所示的阴影部分，包括边界），即为角α的终边的范围. 故满足要求的角α的集合为{α｜2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}. （2）cos α≤－. 解：（2）作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域（如图②所示的阴影部分，包括边界），即为角α的终边的范围. 故满足条件的角α的集合为{α｜2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}. 通性通法 利用三角函数线解简单的三角不等式的步骤 （1）在单位圆中作出边界角的终边； （2）利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围； （3）将图中角的范围用不等式表示出来. 【跟踪训练】 　求y＝lg（1－cos x）的定义域. 解：如图所示，∵1－cos x＞0， ∴cos x＜， ∴2kπ＋＜x＜2kπ＋（k∈Z）， ∴函数定义域为（ 2kπ＋，2kπ＋）（k∈Z）. 拓视野　三角函数在单位圆中的几何表示及应用 能力提升 　　设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图①，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点P的坐标为（cos α，sin α），其中cos α＝OM，sin α＝ON，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.以A为原点建立y'轴与y轴同向，y'轴与α的终边（或其反向延长线）相交于点T（或T'），如图②，则tan α＝AT（或AT'）. 我们把有向线段OM，ON和AT（或AT'）分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示. 【问题探究】 1.设角α＝x rad，且0＜x＜ ，于是x，sin x，tan x都是实数，请你给x一个具体的值，比较三个实数的大小. 提示：我们先给x一个具体的值来进行比较：取x＝，则sin x＝，tan x＝.因为＝＜，所以sin＜.又tan＝＝＞，所以tan ＞.从而可得sin ＜＜tan .即当x＝时，sin x＜x＜tan x. 2.你在第1问中得到的大小关系是否对区间上的任意x都成立？ 提示：设角α的顶点与圆心O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图所示.过点P作PM⊥x轴于点M，过x轴正半轴与以坐标原点为圆心的单位圆的交点A作该单位圆的切线AT，交α的终边于点T，连接AP，则MP＝sin x，AT＝tan x，S△OAP＜S扇形AOP ＜S△OAT. 因为S△OAP＝OA·MP＝sin x， S扇形AOP＝x·12＝x， S△OAT＝OA·AT＝tan x， 所以sin x＜x＜tan x，即sin x＜x＜tan x. 因此当x∈时，sin x＜x＜tan x. 【迁移应用】 　利用三角函数线证明：正弦函数在上是增函数. 解：设0≤α1＜α2≤，分别作出α1，α2的正弦线，，如图所示. ∵｜｜＜｜｜，且与的方向都与y轴的正方向相同，∴sin α1＜sin α2， 故正弦函数在上是增函数. 1.若角α的正切线位于第一象限，则角α是（　　） A.第一象限的角　　　　 B.第一、第二象限的角 C.第三象限的角 D.第一、第三象限的角 解析：D　由正切线的定义知，当角α是第一、第三象限的角时，正切线都在第一象限. 2.已知θ∈（ ，），在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，，，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是（　　） A.sin θ＞cos θ＞tan θ B.sin θ＞tan θ＞cos θ C.tan θ＞cos θ＞sin θ D.tan θ＞sin θ＞cos θ 解析：D　画出图象如图所示，由图可知，tan θ＞sin θ＞cos θ. 3.函数y＝的定义域为　　. 解析：利用三角函数线，画出满足条件的终边的范围（如图阴影部分所示）.因此所求定义域为{x｜2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}. 4.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边. （1）sin α＝； （2）cos α＝－. 解：（1）作直线y＝交单位圆于P，Q两点，连接OP，OQ，则OP与OQ为角α的终边，如图甲. （2）作直线x＝－交单位圆于M，N两点，连接OM，ON，则OM与ON为角α的终边，如图乙. 1.〔多选〕下列命题正确的是（　　） A.α一定时，单位圆中的正弦线一定 B.单位圆中，有相同正弦线的角相等 C.α和α＋π有相同的正切线 D.具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上 解析：AD　由三角函数线的定义A、D正确，B、C不正确.B中有相同正弦线的角可能不等，如与；C中当α＝时，α与α＋π都没有正切线. 2.〔多选〕已知的正弦线为，正切线为，则有（　　） A.与的方向相同　B.｜｜＝｜｜ C.sin ＝｜｜ D.tan ＝｜｜ 解析：ACD　三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的.sin ＝｜｜＞0，tan ＝｜｜＞0. 3.已知角α的正弦线的方向与y轴正方向相同，余弦线的方向与x轴正方向相反，但它们的长度相等，则（　　） A.sin α＋cos α＝0 B.sin α－cos α＝0 C.tan α＝0 D.sin α＝tan α 解析：A　由题意，得sin α＞0，cos α＜0，且｜sin α｜＝｜cos α｜，所以sin α＋cos α＝0.故选A. 4.有三个命题：①与的正弦线相等；②与的正切线相等；③与的余弦线相等.其中真命题的个数为（　　） A.1　　　　B.2　　 　　C.3　　　　D.0 解析：B　根据三角函数线定义可知，与的正弦线相等，与的正切线相等，与的余弦线相反. 5.设a＝sin（－1），b＝cos（－1），c＝tan（－1），则有（　　） A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜a＜b D.a＜c＜b 解析：C　如图，作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线，因为－＜－1＜－，所以b＝cos（－1）＞0，a＝sin（－1）＜0，c＝tan（－1）＜0，又正切线的长度大于正弦线的长度，所以a＞c，即c＜a＜b. 6.〔多选〕如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A（1，0）.已知点B（x1，y1）在圆O上，点T的坐标是（x0，sin x0），则下列说法中正确的是（　　） A.若∠AOB＝α，则＝α B.若y1＝sin x0，则x1＝x0 C.y1＝sin x0，则＝x0 D.若＝x0，则y1＝sin x0 解析：AD　由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有＝1·α＝α，所以A正确；由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是对应∠AOB的正弦值，即y1＝sin x0，所以x1是对应∠AOB的余弦值，即x1＝cos x0，所以B错误；当y1＝sin x0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误；反过来，当∠AOB＝x0，即＝x0时，y1＝sin x0一定成立，所以D正确.故选A、D. 7.使不等式cos θ＞sin θ＞tan θ成立的一个θ的值是　（答案不唯一）　. 解析：结合单位圆中的正弦线、余弦线及正切线，可知当－＋2kπ＜θ＜2kπ（k∈Z）时，cos θ＞sin θ＞tan θ.故答案为（答案不唯一）. 8.把sin，sin，cos，tan由小到大排列为　cos＜sin＜sin＜tan　. 解析：如图所示，在平面直角坐标系中，以O为圆心作单位圆，分别作出已知角，则sin＝｜｜＞0，sin＝｜｜＞0，tan＝｜｜＞0，cos＝－｜｜＜0.而0＜｜｜＜｜｜＜｜｜，∴cos＜sin＜sin＜tan. 9.函数y＝的定义域为　（k∈Z）　. 解析：要使函数有意义，有1－2sin x≥0，得sin x≤，如图，确定正弦值为的角的终边OP与OP'，其对应的一个角分别为π，π，所求函数定义域为［2kπ＋π，2kπ＋π］（k∈Z）. 10.利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：（1）tan α＝－1；（2）sin α＜－. 解：（1）如图①所示，过点（1，－1）和原点作直线交单位圆于点P和P'，则OP和OP'就是角α的终边， ∴∠xOP＝＝π－，∠xOP'＝－， ∴满足条件的所有角α的集合是{α｜α＝－＋kπ，k∈Z}. （2）如图②所示，过点作x轴的平行线，交单位圆于点P和P'， 则sin∠xOP＝sin∠xOP'＝－， ∴∠xOP＝，∠xOP'＝， ∴满足条件的所有角α的集合是{α｜＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}. 11.〔多选〕已知tan α＞tan β，那么下列命题成立的是（　　） A.若α，β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α，β是第二象限角，则sin α＜sin β C.若α，β是第三象限角，则cos α＜cos β D.若α，β是第四象限角，则sin α＞sin β 解析：BD　对于A，若α，β是第一象限角，且tan α＞tan β，作出三角函数线，如图1所示，则cos α＝｜｜，cos β＝｜｜，所以cos α＜cos β，所以A错误；对于B，若α，β是第二象限角，且tan α＞tan β，作出三角函数线，如图2所示，则sin α＝｜｜，sin β＝｜｜， 所以sin α＜sin β，所以B正确；对于C，若α，β是第三象限角，且tan α＞tan β，作出三角函数线，如图3所示，则cos α＝－｜｜，cos β＝－｜｜，所以cos α＞cos β，所以C错误；对于D，若α，β是第四象限角，且tan α＞tan β，作出三角函数线，如图4所示，则sin α＝－｜｜，sin β＝－｜｜，所以sin α＞sin β，所以D正确. 　 12.已知点P（sin α－cos α，tan α）在第一象限，若α∈[0，2π），则α的取值范围为　（ ，）∪（ π，）　. 解析：∵点P在第一象限，∴∴结合单位圆中三角函数线及0≤α＜2π，可知＜α＜或π＜α＜.即α的取值范围为（ ，）∪（ π，）. 13.已知α∈，求证：1＜sin α＋cos α＜. 证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），过P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，M，N分别为垂足. 所以MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α， 在△OMP中，OM＋MP＞OP， 所以sin α＋cos α＞1. 因为S△OAP＝OA·MP＝y＝sin α， S△OBP＝OB·NP＝x＝cos α， S扇形OAB＝π×12＝， 又因为S△OAP＋S△OBP＜S扇形OAB， 所以sin α＋cos α＜，即sin α＋cos α＜， 所以1＜sin α＋cos α＜. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $