8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“两角和与差的正弦”，通过乔布斯“思想的自行车”类比导入，引导学生类比两角和差的余弦公式推导正弦公式，衔接旧知搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于注重逻辑推理与数学运算，典例研析总结通性通法，拓视野环节结合三角形应用（如钝角三角形中P、Q、R的大小比较）培养模型意识。学生能提升推理和运算能力，教师可利用分层练习和拓展内容优化教学。

8.2.2　两角和与差的正弦、正切 1 1.理解两角和与差的正弦、正切公式的推导过程（逻辑推理）. 2.能够运用两角和与差的正弦、正切公式解决求值、化简等问题（数学运算）. 课标要求 第一课时　两角和与差的正弦 3 基础落实 01 典例研析 02 目录 拓视野　两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用 03 课时作业 04 4 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”—— 一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并 且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新 发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在 生活中随处可见，类比可以推动创新. 【问题】　（1）类比两角和与差的余弦公式如何推导两角和的正弦公式？ （2）由 sin （α＋β）能推导出 sin （α－β）吗？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点　两角和与差的正弦 1. 两角和与差的正弦公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正弦 sin （α＋β）＝ ⁠ ⁠ Sα＋β α，β∈R 两角差 的正弦 sin （α－β）＝ ⁠ ⁠ Sα－β α，β∈R sin α· cos β＋ cos α sin β　 sin α· cos β－ cos α sin β　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 辅助角公式 a sin x＋b cos x＝ · sin （x＋φ）（或a sin x＋b cos x＝ · cos （x－φ）），其中 sin φ＝ 　 　， cos φ ＝ 　 　（或 cos φ＝ ， sin φ＝ ）. 　 　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 　　提醒：两角和与差的正弦公式的结构特征：①“正余余正”表示展开 后的两项分别为两角的正弦乘余弦，余弦乘正弦；②“符号相同”是指展 开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和用 “＋”，两角差用“－”；③两角和与差的正弦公式只有中间的连接符号 不同. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1） sin （α－β）＝ sin α cos α－ cos β sin β. （　×　） （2） sin α＋ sin β＝ sin （α＋β）. （　×　） （3） sin （α＋β－15°）＝ sin （α－15°） cos β＋ cos （α－15°） sin β. （　√　） （4） sin 15°＋ cos 15°＝ sin 60°. （　√　） × × √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. sin 20° cos 40°＋ cos 20° sin 140°＝（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　 sin 20° cos 40°＋ cos 20° sin 140°＝ sin 20° cos 40°＋ cos 20° sin 40°＝ sin 60°＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知θ为锐角，且 sin θ＝ ，则 sin （θ－45°）＝（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　∵θ为锐角，且 sin θ＝ ，∴ cos θ＝ ＝ ，∴ sin （θ －45°）＝ （ sin θ－ cos θ）＝ × ＝－ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 函数y＝ sin x－ cos x的最小正周期是（　　） A. B. π C. 2π D. 4π 解析： 　y＝ sin x－ cos x＝ （ sin x－ cos x）＝ sin ， 所以函数的最小正周期为T＝2π. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜利用公式化简求值 【例1】　（1） ＝（　　） A. － B. － C. D. √ 解析： 　 ＝ ＝ ＝ ＝ sin 30°＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求 sin 157° cos 67°＋ cos 23° sin 67°的值； 解：原式＝ sin （180°－23°） cos 67°＋ cos 23° sin 67°＝ sin 23° cos 67°＋ cos 23° sin 67°＝ sin （23°＋67°）＝ sin 90°＝1. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3）求 sin （θ＋75°）＋ cos （θ＋45°）－ cos （θ＋15°）的值. 解： sin （θ＋75°）＋ cos （θ＋45°）－ cos （θ＋15°） ＝ sin （θ＋15°＋60°）＋ cos （θ＋15°＋30°）－ cos （θ＋15°） ＝ sin （θ＋15°） cos 60°＋ cos （θ＋15°） sin 60°＋ cos （θ＋ 15°）· cos 30°－ sin （θ＋15°） sin 30°－ cos （θ＋15°） ＝ sin （θ＋15°）＋ cos （θ＋15°）＋ cos （θ＋15°）－ sin （θ ＋15°）－ cos （θ＋15°）＝0. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. 解给角求值问题的基本思路 （1）逆用公式或运用公式变形，化为特殊角的三角函数值； （2）化为正、负相消的项，消去求值； （3）分子、分母出现公约数时进行约分求值. 2. 对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求 出具体数值，一般有以下三种途径： （1）化为特殊角的三角函数值； （2）化为正负相消的项，消去，求值； （3）化为分子、分母形式，进行约分再求值. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　求下列各式的值： （1） sin ； 解： sin ＝－ sin π＝－ sin ＝ sin ＝ sin ＝ sin cos － cos sin ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2） －2 cos （α＋β）. 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜给值（式）求值 【例2】　设α∈ ，β∈ ，若 cos α＝－ ， sin β＝－ ， 求 sin （α＋β）的值. 解：因为α∈ ， cos α＝－ ，所以 sin α＝ ， 因为β∈ ， sin β＝－ ，所以 cos β＝ . 所以 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ × ＋ × ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【母题探究】 1. （变条件）若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果 如何？ 解：因为β为第三象限角，所以 cos β＝－ . 所以 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ × ＋ × ＝－ ＋ ＝0. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. （变设问）若条件不变，试求 sin （α－β）＋ cos （α－β）的值. 解： sin （α－β）＋ cos （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＋ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × － × ＋ × ＋ × ＝ － － － ＝－1. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 解给值（式）求值的策略 （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的 和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的 和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　（2025·武汉期末）已知 cos （ α＋ ）＝ ，且α∈（ 0， ），则 sin （ α＋ ）的值是（　　） A. B. － C. － D. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　因为α∈（ 0， ），则α＋ ∈（ ， ），且 cos （ α＋ ）＝ ，可得 sin （ α＋ ）＝ ＝ ，所以 sin （ α＋ ）＝ sin ［（ α＋ ）＋ ］＝ sin （ α＋ ） cos ＋ cos （ α＋ ） sin ＝ × ＋ × ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜辅助角公式的应用 【例3】　设函数f（x）＝ sin x＋ sin . （1）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合； 解： f（x）＝ sin x＋ sin x cos ＋ cos x sin ＝ sin x＋ sin x＋ cos x ＝ sin x＋ cos x＝ （ sin x cos ＋ cos x sin ）＝ sin ， 当 sin ＝－1时，f（x）min＝－ ， 此时x＋ ＝ ＋2kπ（k∈Z），所以x＝ ＋2kπ（k∈Z）. 所以f（x）的最小值为－ ，x的集合为{x｜x＝ ＋2kπ，k∈Z}. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求函数f（x）的单调区间. 解： 当2kπ－ ≤x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z）， 即2kπ－ ≤x≤2kπ＋ （k∈Z）时，函数f（x）为增函数； 当2kπ＋ ≤x＋ ≤2kπ＋ ， 即2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ （k∈Z）时，函数f（x）为减函数. 所以函数f（x）的单调递增区间为［2kπ－ ，2kπ＋ ］（k∈Z）， 函数f（x）的单调递减区间为［2kπ＋ ，2kπ＋ ］（k∈Z）. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 辅助角公式及其应用 （1）公式形式：公式a sin α＋b cos α＝ sin （α＋φ）（或a sin α＋ b cos α＝ cos （α－φ））将形如a sin α＋b cos α（a，b不同时为 零）的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式； （2）形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形 后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 若f（x）＝ sin x＋ cos x在区间[－θ，θ]上是增函数，则tan θ的最大 值是（　　） A. B. C. 1 D. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　f（x）＝ sin x＋ cos x＝2 sin （ x＋ ），当x∈[－θ，θ] 时，x＋ ∈［－θ＋ ，θ＋ ］，因为f（x）在区间[－θ，θ]上是增函 数，所以θ＋ ≤ ，则0＜θ≤ ，所以tan θ≤tan ＝ ，则tan θ的最大值 是 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 〔多选〕已知函数f（x）＝｜ sin x＋ cos x｜，则下列关于函数f（x） 的说法，正确的是（　　） A. f（x）的一个周期为 B. f（x）的图象关于直线x＝ （k∈Z）对称 C. f（x）在［－ ， ］上单调递增 D. f（x）的值域为[0， ] √ √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　因为f（ x＋ ）＝｜ sin （ x＋ ）＋ cos （ x＋ ）｜＝｜ cos x－ sin x｜≠f（x），所以 不是函数f（x）的周期，故A错误；因为 f（x）＝｜ sin x＋ cos x｜＝｜ sin （ x＋ ）｜，由x＋ ＝ ＋ ， k∈Z，解得x＝ ，k∈Z，故B正确；因为x∈［－ ， ］，所 以x＋ ∈［0， ］，f（x）＝｜ sin （ x＋ ）｜＝ sin （ x＋ ），所以f（x）在［－ ， ］上单调递增，故C正确；当x∈R时， sin （ x＋ ）∈[－ ， ]，所以f（x）∈[0， ]，故D正确. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 拓视野　两角和与差的三角函数 公式在三角形中的应用 能力提升 目 录 　在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，试探究P＝ sin （A＋B），Q＝ sin A＋ sin B，R＝ cos A＋ cos B的大小，并把P，Q， R按从小到大的顺序排列起来. 【问题探究】 1. 当A＝30°，B＝30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小. 提示：当A＝30°，B＝30°时， P＝ sin （30°＋30°）＝ sin 60°＝ ， Q＝ sin 30°＋ sin 30°＝2 sin 30°＝1， R＝ cos 30°＋ cos 30°＝2 cos 30°＝ ，∴P＜Q＜R. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 当A＝30°，B＝45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小. 提示：当A＝30°，B＝45°时， P＝ sin （30°＋45°）＝ sin 30° cos 45°＋ cos 30° sin 45° ＝ × ＋ × ＝ ， Q＝ sin 30°＋ sin 45°＝ ＋ ＝ ， R＝ cos 30°＋ cos 45°＝ ＋ ＝ ， ∵P－Q＝ － ＝ ＜0， ∴P＜Q，∵Q－R＝ － ＝ ＜0， ∴Q＜R，∴P＜Q＜R. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 由问题1，2你能得到什么结论，并证明你的结论. 提示：由问题1，2猜想P＜Q＜R. 证明：∵C为钝角，∴0＜A＋B＜ ， ∴A＜ －B，B＜ －A，∴ cos A＞ cos ＝ sin B， cos B＞ cos ＝ sin A， ∴R－Q＝ cos A＋ cos B－ sin A－ sin B＞ sin B＋ sin A－ sin A－ sin B＝ 0，即R＞Q. ∵P－Q＝ sin （A＋B）－ sin A－ sin B ＝ sin A cos B＋ cos A sin B－ sin A－ sin B ＝ sin A（ cos B－1）＋ sin B（ cos A－1）＜0， ∴P＜Q. 综上可得P＜Q＜R. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【迁移应用】 已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan ＋ ，若任意交 换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论. 解：任意交换两个角的位置，y的值不变. 证明如下： ∵A，B，C是△ABC的三个内角，A＋B＋C＝π， ∴ ＝ － . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 y＝tan ＋ ＝tan ＋ ＝tan ＋ ＝tan ＋tan ＋tan ， 因此任意交换两个角的位置，y的值不变. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 已知 sin （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝ ，则 sin α cos β＝（　　） A. B. － C. － D. 解析： 　因为 sin （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝ ，所以 sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ， sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ ， 则 sin α cos β＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知α∈（0，π）， cos ＝－ ，则 sin （－α）＝（　　） A. B. － C. － D. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由于α∈（0，π），α＋ ∈ ，而 cos ＝－ ＞－ ＝ cos ，所以 ＜α＋ ＜ ，所以 sin ＝ ＝ .所以 sin （－α）＝ sin ＝ sin cos － cos sin ＝ × － × ＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕（2025·泰安期末）已知函数f（x）＝ sin x＋ cos x，将f （x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数g （x）的图象，则下列选项正确的是（　　） A. g（x）的最大值为2 B. g（x）的图象关于点（ － ，0）对称 C. 函数g（ x＋ ）为偶函数 D. 函数g（x）在［－ ，－π］上单调递增 √ √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　因为函数f（x）＝ sin x＋ cos x＝2 sin （ x＋ ），所 以将f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到 函数g（x）＝2 sin （ 2x＋ ）的图象，则g（x）的最大值为2，故A正 确；因为g（ － ）＝ 2 sin ［2×（ － ）＋ ］ ＝2 sin （ － ） ＝ －2，所以g（x）的图象不关于点（ － ， 0） 对称 ，故B错误 ； 因 为 g（ x＋ ） ＝2 sin ［2（ x＋ ）＋ ］＝2 cos 2x，所以函数g（ x ＋ ）为偶函数，故C正确；因为x∈［－ ，－π］，所以2x＋ ∈［－ ，－ ］⊆［－ ，－ ］，所以函数g（x）在［－ ，－π］上单调递增，故D正确. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. sin 155° cos 35°－ cos 25° cos 235°＝ ⁠. 解析：原式＝ sin 25° cos 35°＋ cos 25° sin 35°＝ sin （25°＋35°） ＝ sin 60°＝ . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 设△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量m＝（ sin A， sin B），n＝（ cos B， cos A），若m·n＝1＋ cos （A＋B），求C. 解：因为m·n＝1＋ cos （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin B，所以 sin （A＋B）＝1＋ cos （A＋B）. 又A＋B＝π－C，整理得 sin ＝ ， 因为0＜C＜π，所以 ＜C＋ ＜ ， 所以C＋ ＝ ，所以C＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 04 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. cos 105° cos 45°＋ cos 15° sin 45°＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　 cos 105° cos 45°＋ cos 15° sin 45°＝ cos （90°＋15°） cos 45°＋ cos 15° sin 45°＝－ sin 15° cos 45°＋ cos 15° sin 45°＝ sin 45° cos 15°－ cos 45° sin 15°＝ sin （45°－15°）＝ sin 30°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 〔多选〕下列四个选项，化简正确的是（　　） A. cos （－15°）＝ B. cos 15° sin 105°－ sin 15° cos 105°＝ sin （15°－105°）＝－1 C. cos （α－35°） cos （α＋25°）＋ sin （α－35°） sin （α＋25°）＝ cos [（α－35°）－（α＋25°）]＝ cos （－60°）＝ cos 60°＝ D. sin （x＋y） sin （y－x）－ cos （x＋y） cos （x－y）＝－[ cos （x＋y） cos （x－y）＋ sin （x＋y） sin （x－y）]＝－ cos [（x ＋y）－（x－y）] √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　∵ cos （－15°）＝ cos 15°＝ cos （45°－30°）＝ cos 45°· cos 30°＋ sin 45°· sin 30°＝ ，故A错.∵ cos 15° sin 105° － sin 15° cos 105°＝ sin 105° cos 15°－ cos 105°· sin 15°＝ sin （105°－15°）＝ sin 90°＝1，故B错.C、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. sin θ＋ sin ＋ sin 的值为（　　） A. 0 B. C. 1 D. 2 解析： 　原式＝ sin θ＋ sin θ cos ＋ cos θ sin ＋ sin θ cos ＋ cos θ sin ＝ sin θ－ sin θ＋ cos θ－ sin θ－ cos θ＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知f（x）＝ sin （3x＋θ）－ cos （3x＋θ）是奇函数，且在 上是减函数，则θ的一个值是（　　） A. B. π C. π D. π 解析： 　f（x）＝ sin ，∵f（x）是奇函数，∴f（0） ＝ sin ＝0，∴θ＝kπ＋ ，k∈Z. ∵f（x）在 上是减函 数，∴k为奇数.当k＝1时，θ＝ π. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 若0＜α＜ ＜β＜π，且 cos β＝－ ， sin （α＋β）＝ ，则 sin α的值是 （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由 ＜β＜π， cos β＝－ 得 sin β＝ .又0＜α＜ ＜β＜π，所 以 ＜α＋β ＜ ，所以 cos （α＋β）＝－ ＝－ ＝－ .所以 sin α＝ sin [（α＋β）－β]＝ sin （α＋β） cos β－ cos （α＋ β） sin β＝ × ＋ × ＝ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 〔多选〕对于函数f（x）＝ sin x＋ cos x，g（x）＝ sin x－ cos x，则（　　） A. f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴 B. f（x）与g（x）有相同的最小正周期 C. 将f（x）图象向右平移 个单位，可得到g（x）图象 D. f（x）图象与g（x）图象在（0，π）上只有一个交点 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　f（x）＝ sin x＋ cos x＝2（ sin x＋ cos x）＝2 sin （ x ＋ ），g（x）＝ sin x－ cos x＝2（ sin x－ cos x）＝2 sin （ x－ ），令x＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，可得x＝kπ＋ ，k∈Z，所以函数f （x）的对称轴方程为x＝kπ＋ ，k∈Z，令x－ ＝kπ＋ ，k∈Z，可 得x＝kπ＋ ，k∈Z，所以函数g（x）的对称轴方程为x＝kπ＋ ， k∈Z，函数f（x）与g（x）的图象的对称轴不相同，A错误；函数f （x）的最小正周期为2π，函数g（x）的最小正周期为2π，f（x）与g （x）有相同的最小正周期，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 将f（x）图象向右平移 个单位，可得函数y＝2 sin （ x－ ＋ ）＝2 sin （ x－ ）的图象，C正确；令f（x）＝g（x）可得2 sin （ x＋ ）＝2 sin （ x－ ），所以 sin （ x－ ＋ ）＝ sin （ x－ ），所以tan（ x－ ）＝ 1，又x∈（0，π），所以x－ ＝ ，故x＝ ，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 已知 cos θ＝ ，则 sin 的值为 　　 　　　， sin 的值为 　　​ 　　. 解析：因为 cos θ＝ ，所以 sin θ＝ ＝ ，所以 sin ＝ sin θ cos ＋ cos θ sin ＝ × ＝ ； sin （θ－ ）＝ sin θ cos － cos θ sin ＝ × － × ＝ . 　 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 若 sin x＋ cos x＝4－m，则实数m的取值范围为 ⁠. 解析：∵ sin x＋ cos x＝4－m，∴ sin x＋ cos x＝ ，∴ sin sin x ＋ cos cos x＝ ，∴ cos ＝ ，∵ ≤1，∴ ≤1，∴2≤m≤6. [2，6] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 已知△ABC的内角为A，B，C. 若2 cos B sin A＝ sin C，则△ABC的形 状一定是 ⁠. 解析：因为2 cos B sin A＝ sin C，所以2 cos B sin A＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin B，所以 cos B sin A－ cos A sin B＝0⇒ sin （A－B）＝0. 因为角A，B，C为△ABC的内角，所以A＝B. 等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 已知 cos （α－β）＝－ ， sin （α＋β）＝－ ， ＜α－β＜π， ＜α ＋β＜2π，求β的值. 解：因为 ＜α－β＜π， cos （α－β）＝－ ， 所以 sin （α－β）＝ . 因为 ＜α＋β＜2π， sin （α＋β）＝－ ， 所以 cos （α＋β）＝ . 所以 cos 2β＝ cos [（α＋β）－（α－β）]＝ cos （α＋β） cos （α－β）＋ sin （α＋β） sin （α－β）＝ × ＋ × ＝－1.因为 ＜α－β＜ π， ＜α＋β＜2π，所以 ＜2β＜ ，2β＝π，所以β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 已知α，β∈（ 0， ）， sin （α－β）＝ ，tan α＝3tan β，则α＋β＝ （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　∵ sin （α－β）＝ ，∴ sin α cos β－ cos α sin β＝ .∵tan α＝ 3tan β，∴ ＝ ，∴ sin α cos β＝3 cos α sin β，∴ sin α cos β＝ ， cos α sin β＝ ，∴ sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝1.∵α，β∈ （ 0， ），∴α＋β∈（0，π），故α＋β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 函数f（x）＝ sin （x＋2φ）－2 sin φ cos （x＋φ）的最大值 为 ，最小值为 ⁠. 解析：因为f（x）＝ sin （x＋2φ）－2 sin φ cos （x＋φ）＝ sin [（x＋ φ）＋φ]－2 sin φ cos （x＋φ）＝ sin （x＋φ） cos φ－ sin φ· cos （x＋φ） ＝ sin x，所以函数f（x）的最大值为1，最小值为－1. 1 －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 已知α∈（ 0， ），β∈（ ，π），tan α＝ ， cos （α－β）＝ . （1）求 sin （ α－ ）； 解： 因为tan α＝ ，即 解得 或 又α∈（ 0， ），所以 则 sin （ α－ ）＝ sin α cos － cos α sin ＝ × － × ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求 sin β. 解： 因为α∈（ 0， ），β∈（ ，π），所以α－β∈（－π，0）， 又 cos （α－β）＝ ，所以α－β∈（ － ，0），所以 sin （α－β）＝ － ＝－ ， 所以 sin β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－β）－ cos α sin （α－β） ＝ × － ×（ － ）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 14. 已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ ，那么β＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　 sin β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－β）－ cos α sin （α －β），由已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，0＜β＜α＜ ，可知 sin α ＝ ， sin （α－β）＝ ，代入上式得 sin β＝ × － × ＝ ＝ ，所以β＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 15. 已知向量a＝（ sin x， cos x－1），b＝（ ，－1），设f（x）＝ a·b. （1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心； （1）f（x）的最小正周期T＝2π， 令x－ ＝kπ（k∈Z），则x＝kπ＋ （k∈Z）， 又f ＝2 sin （kπ）＋1＝1， 因此函数f（x）的对称中心为 ，k∈Z. 解：由题意得f（x）＝a·b＝ sin x－ cos x＋1＝2 sin ＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）已知α为锐角，β∈（0，π），f ＝ ， sin （α＋β）＝－ ， 求 sin （2α＋β）的值. 解： f ＝2 sin ＋1＝2 sin α＋1＝ ⇒ sin α＝ .∵α∈ ，∴ cos α＝ . ∵α∈ ，β∈（0，π），∴α＋β∈ . 又 sin （α＋β）＝－ ＜0，∴α＋β∈ ， ∴ cos （α＋β）＝－ ， ∴ sin （2α＋β）＝ sin [（α＋β）＋α]＝ sin （α＋β） cos α＋ cos （α＋β） sin α＝－ × ＋ × ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $