7.3.1 第1课时 正弦函数的性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦正弦函数的性质，从周期函数定义切入，通过钱塘江潮等周期现象情境导入，引导学生建立生活现象与数学概念的联系，以“基础落实—典例研析—课时作业”为支架，逐步深化对定义域、值域、奇偶性等性质的理解。 其亮点在于融入数学抽象与逻辑推理素养，通过“想一想”“自我诊断”及时巩固，典例研析分类清晰，如奇偶性判断、单调性应用等，通性通法总结规律，助力学生提升数学运算能力，教师可借助结构化内容高效教学，学生通过分层练习扎实掌握知识。

7.3.1　正弦函数的性质与图象 1 1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点（数学抽象、数学运算） 2.能正确使用“五点法”作出正弦函数的图象（逻辑推理、直观想象） 课标要求 第一课时　正弦函数的性质 3 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 4 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片，思考波浪是怎样变化的？ 【问题】　（1）波浪每隔一段时间会重复出现，波浪是一种周期现象 吗？ （2）你还能举出生活中存在周期现象的例子吗？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点一　函数的周期性 1. 周期函数：对于函数f（x），如果存在一个 ，使得对定 义域内的 x，都满足 ，那么函数f （x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 2. 最小正周期：对于一个 函数f（x），如果在它的 ⁠ 存在一个 ，那么这个 ⁠就叫做它的最小 正周期. 非零常数T　 每一个　 f（x＋T）＝f（x）　 周期　 所有周期 中　 最小的正数　 最小的正数　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？ 提示：不一定唯一. 2. 对非零常数T，若存在x0，使f（x0＋T）＝f（x0），那么T是函数的 周期吗？为什么？ 提示：不是，必须对定义域内的每一个值成立. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 　已知函数f（x）是定义域为R的周期函数，其最小正周期为2，且当 x∈[0，2]时，f（x）＝（x－1）2，则f（3）＝ ⁠. 解析：因为f（x）是周期为2的函数，所以f（3）＝f（3－2）＝f（1） ＝0. 0 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点二　正弦函数的性质 1. 正弦函数的定义：对于任意一个角x，都有 确定的正弦 sin x与 之对应，因此y＝ sin x是一个函数，一般称为 ⁠. 2. 正弦函数的性质 函数 y＝ sin x 定义域 ⁠ 值域 ⁠ 最值 当x＝ ＋2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； 当x＝ ＋2kπ（k∈Z）时，ymin＝－1 唯一　 正弦函数　 R [－1，1] 数学·必修第三册（B 版） 目 录 函数 y＝ sin x 奇偶性 ⁠函数 周期性 最小正周期： ⁠ 单调性 在 （k∈Z）上递增； 在 （k∈Z）上递减 零点 kπ（k∈Z） 奇　 2π　 　 　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 　　提醒：正弦函数单调性的说明：①正弦函数在定义域R上不是单调函 数，但存在单调区间；②求解（或判断）正弦函数的单调区间（或单调 性）是求值域（或最值）的关键一步；③确定含有正弦函数的较复杂的函 数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 1. －2π是正弦函数的周期吗？ 提示：是.2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期. 2. 正弦函数的零点是点吗？若不是，是什么？ 提示：不是，是实数kπ，k∈Z. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正弦函数在其定义域上是单调的. （　×　） （2）由于 sin ＝ sin ，则 是正弦函数y＝ sin x 的一个周期. （　×　） （3）函数f（x）＝ sin 3x是奇函数. （　√　） 2. 函数f（x）＝3＋ sin x的最小正周期是（　D　） A. B. π C. D. 2π × × √ D 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 函数y＝1－2 sin x的最小值，最大值分别是（　　） A. －1，3 B. －1，1 解析： 　∵x∈R，∴ sin x∈[－1，1]，∴当 sin x＝1时，ymin＝－1；当 sin x＝－1时，ymax＝3.故选A. √ C. 0，3 D. 0，1 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 函数y＝－ sin x＋1的值域为 ，单调递增区间 为 ⁠. 解析：∵函数y＝ sin x的值域为[－1，1]，∴函数y＝－ sin x＋1的值域为 [0，2].由函数y＝ sin x在区间 （k∈Z）上单调递 减，知函数y＝－ sin x＋1的单调递增区间为［2kπ＋ ，2kπ＋ ］ （k∈Z）. [0，2] （k∈Z） 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜正弦函数的奇偶性与周期性 【例1】　（1）判断函数f（x）＝ cos ＋x2 sin x的奇偶性； 解： f（x）＝ sin 2x＋x2 sin x. ∵x∈R，f（－x）＝ sin （－2x）＋（－x）2 sin （－x） ＝－ sin 2x－x2 sin x＝－f（x），∴f（x）是奇函数. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）如果 sin ＝ sin ，那么 是否为函数y＝ sin x的一个周期？ 解： 在函数周期性的定义中，要求对定义域中的每一个x值都有f （x＋T）＝f（x）成立，对于个别的x0，虽说满足f（x0＋T）＝f （x0），但不能说T是函数f（x）的周期.如 sin （0＋ ）＝ sin ＝1，而 sin 0＝0，故 sin （0＋ ）≠ sin 0，所以 不是函数y＝ sin x的一个周期. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. 判断正弦函数奇偶性的方法 2. 判断正弦函数周期性的方法 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 下列函数中，最小正周期为π的是（　　） A. y＝ sin x B. y＝｜ sin x｜ C. y＝x D. y＝ln x 解析： 　A选项，函数的最小正周期为2π，所以该选项错误；B选项，根 据函数的图象得函数的最小正周期为π，所以该选项正确；C、D选项中的 函数不存在周期，所以C、D选项都错误. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知函数f（x）＝ax3＋ sin x＋2（a≠0），若f（b）＝3，求f（－ b）的值. 解：设g（x）＝f（x）－2，则g（x）＝ax3＋ sin x. 则对任意x∈R，都有g（－x）＝a（－x）3＋ sin （－x）＝－ax3－ sin x＝－（ax3＋ sin x）＝－g（x）， ∴函数g（x）是奇函数. ∴g（－b）＝－g（b），即f（－b）－2＝g（－b）＝－g（b）＝－ [f（b）－2]， ∴f（－b）＝－f（b）＋4＝－3＋4＝1. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜正弦函数的单调性及应用 【例2】　比较大小： （1） sin 250°与 sin 260°； 解： sin 250°＝ sin （180°＋70°）＝－ sin 70°， sin 260°＝ sin （180°＋80°）＝－ sin 80°， 因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y＝ sin x，x∈[0°，90°]是增函 数，所以 sin 70°＜ sin 80°， 所以－ sin 70°＞－ sin 80°，即 sin 250°＞ sin 260°. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2） sin 与 sin . 解： sin ＝－ sin ＝－ sin ＝－ sin （π－ ）＝－ sin ， sin ＝－ sin ＝－ sin . 因为0＜ ＜ ＜ ，且函数y＝ sin x，x∈ 是增函数， 所以 sin ＜ sin ，－ sin ＞－ sin ， 即 sin ＜ sin . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. 利用正弦函数的单调性比较大小的方法 （1）同名函数：比较 sin α与 sin β的大小，若α，β在函数y＝ sin x的同一 单调区间内，则直接由单调性得大小；若α，β不在同一单调区间内，则要 把它们转化到同一个单调区间来讨论； （2）异名函数：比较 sin α与 cos β的大小，应先把 cos β转化成 sin ，再依据正弦函数的单调性进行比较. 2. 求正弦函数与其他函数复合而成的函数的单调区间时，要注意使用复合 函数的“同增异减”来判断，同时要注意函数的定义域，单调区间是在定 义域范围内求解，与定义域取交集. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　下列关系式中正确的是（　　） A. sin 11°＜ cos 10°＜ sin 168° B. sin 168°＜ sin 11°＜ cos 10° C. sin 11°＜ sin 168°＜ cos 10° D. sin 168°＜ cos 10°＜ sin 11° 解析： 　∵ cos 10°＝ sin 80°， sin 168°＝ sin 12°，且y＝ sin x在 ［0， ］上递增，∴ sin 11°＜ sin 12°＜ sin 80°，即 sin 11°＜ sin 168°＜ cos 10°. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜正弦函数的值域与最值问题 【例3】　求函数y＝1－2 sin 2x＋ sin x的值域. 解：y＝1－2 sin 2x＋ sin x，令 sin x＝t，则－1≤t≤1， y＝－2t2＋t＋1＝－2 ＋ . 由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图象可知－2≤y≤ ，即函数y＝1－2 sin 2x ＋ sin x的值域为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【母题探究】 　（变条件）本例条件变为“函数y＝｜ sin x｜＋ sin x”，问题不变. 解：当 sin x≥0时，｜ sin x｜＝ sin x；当 sin x＜0时，｜ sin x｜＝－ sin x，∴原解析式可化为y＝ 由－1≤ sin x≤1，可知 0≤y≤2，∴函数y＝｜ sin x｜＋ sin x的值域为[0，2]. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 利用正弦函数值域求复合函数值域、最值的常用方法 （1）求解形如y＝a sin x＋b的函数的最值或值域问题，利用正弦函数 的有界性（－1≤ sin x≤1）求解，此时有－｜a｜＋b≤y≤｜a｜＋b. 求三角函数取得最值时相应的自变量x的集合时，要注意考虑三角函数 的周期性； （2）求解形如y＝a sin 2x＋b sin x＋c，x∈D的函数的值域或最值时，通 过换元，令t＝ sin x，将所给三角函数转化为二次函数，再利用配方法求 值域或最值即可.这里应当注意换元之后变量的范围一般会随之改变，求 解过程中要注意t＝ sin x的有界性. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 函数f（x）＝ sin x－2｜ sin x｜在区间［ ， ］上的值域为 ⁠ ⁠. 解析：当x∈［ ，π］时，f（x）＝ sin x－2 sin x＝－ sin x∈[－1，0]， 当x∈［π， ］时，f（x）＝ sin x＋2 sin x＝3 sin x∈［－ ，0］，所以 f（x）的值域为［－ ，0］. ［－ ，0］ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 设｜x｜≤ ，求函数f（x）＝ cos 2x＋ sin x的最小值. 解：f（x）＝ cos 2x＋ sin x＝1－ sin 2x＋ sin x＝－ ＋ . ∵｜x｜≤ ，∴－ ≤ sin x≤ ， ∴当 sin x＝－ 时，f（x）取得最小值，最小值为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 函数y＝4 sin （2x－π）的图象关于（　　） A. x轴对称 B. 原点对称 C. y轴对称 D. 直线x＝ 对称 解析： 　y＝4 sin （2x－π）＝－4 sin 2x是奇函数，其图象关于原点 对称. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 函数y＝9－ sin x的单调递增区间是（　　） A. （k∈Z） B. （k∈Z） C. [2kπ，2kπ＋π]（k∈Z） D. [2kπ－π，2kπ]（k∈Z） 解析： 　y＝9－ sin x的单调递增区间与y＝ sin x的单调递减区间相同. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 设函数f（x）＝ （a≠0），若f（－2 025）＝2，则f（2 025）＝ （　　） A. 2 B. －2 C. 2 023 D. －2 023 解析： 　f（x）＝ （a≠0），f（－x）＝ ＝－f（x）， f（x）为奇函数，f（2 025）＝－f（－2 025）＝－2，故选B. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 函数f（x）＝ sin x－1的最小值为 ⁠. 解析：当x＝2kπ－ ，k∈Z时， sin x取得最小值－1，所以f（x）＝ sin x－1取得最小值－2. 5. 函数f（x）＝ ，x∈[0，2π]的定义域为 　　［⁠. －2 ［ ， ］ 解析：由2 sin x－1≥0，得 sin x≥ ，因为x∈[0，2π]，所以 ≤x≤ ， 所以f（x）的定义域为［ ， ］. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 函数f（x）＝ 是（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 解析： 　函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点 对称，且f（－x）＝f（x），故f（x）为偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 函数y＝－2 sin x＋5，x∈ 的值域是（　　） A. [3，7] B. [5，7] C. [－7，5] D. [3，5] 解析： 　当0≤x≤ 时，0≤ sin x≤1，∴3≤－2 sin x＋5≤5.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 函数y＝－ sin x－7的单调递减区间是（　　） A. [2kπ，2kπ＋π]（k∈Z） B. [2kπ－π，2kπ]（k∈Z） C. （k∈Z） D. （k∈Z） 解析： 　y＝－ sin x－7的单调递减区间与y＝ sin x的单调递增区间相同. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 定义在R上的函数f（x）既是偶函数，又是周期函数，若f（x）的最 小正周期为π，且当x∈［0， ）时，f（x）＝ sin x，则f（ ）等于 （　　） A. － B. 解析： 　由已知，函数f（x）既是偶函数又是周期函数，f（x）的最小 正周期是π，当x∈［0， ）时，f（x）＝ sin x，所以f（ ）＝f（ － 2π）＝f（ － ）＝f（ ）＝ sin ＝ . √ C. － D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 已知a∈R，函数f（x）＝ sin x－｜a｜，x∈R为奇函数，则a等于 （　　） A. 0 B. 1 C. －1 D. ±1 解析： 　法一　易知y＝ sin x在R上为奇函数， ∴f（0）＝0，∴a＝0. √ 法二　∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即 sin （－x）－｜ a｜＝－ sin x＋｜a｜，－ sin x－｜a｜＝－ sin x＋｜a｜.∴｜a｜＝0， 即a＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 〔多选〕已知函数f（x）＝2a sin x＋a＋b的定义域是 ，值域为 [－5，－1]，则a，b的值为（　　） A. a＝2，b＝－7 B. a＝－2，b＝2 C. a＝－2，b＝1 D. a＝1，b＝－2 √ √ 解析： 　当a＞0时，由条件知 ∴ 当a＜0时， 由条件知 ∴ 故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 函数f（x）＝ sin 2x＋1的奇偶性是 ⁠. 解析：f（－x）＝[ sin （－x）]2＋1＝ sin 2x＋1＝f（x），所以f（x） 为偶函数. 偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. sin sin （填“＞”“＜”或“＝”）. 解析：因为－ ＞－ ，且y＝ sin x在 内为增函数，所以 sin ＞ sin . ＞ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 不等式 cos 2x＋2 sin x－1－m≤0在［－ ， ］上恒成立，则实数m 的取值范围是 ⁠. 解析：由不等式 cos 2x＋2 sin x－1－m≤0在［－ ， ］上恒成立可得 m≥（ cos 2x＋2 sin x－1）max.令y＝ cos 2x＋2 sin x－1，可得y＝－ sin 2x＋2 sin x＝－（ sin x－1）2＋1，若x∈［－ ， ］，则 sin x∈［－ ，1］，由二次函数性质可得y＝－（ sin x－1）2＋1∈［－ ，1］，因此 （ cos 2x＋2 sin x－1）max＝1，所以m≥1. [1，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 已知f（x）是以π为周期的偶函数，且x∈ 时， f（x）＝1－ sin x，求当x∈ 时，f（x）的解析式. 解：当x∈ 时，3π－x∈ ， ∵当x∈ 时，f（x）＝1－ sin x， ∴f（3π－x）＝1－ sin （3π－x）＝1－ sin x. 又∵f（x）是以π为周期的偶函数， ∴f（3π－x）＝f（－x）＝f（x）. ∴f（x）的解析式为f（x）＝1－ sin x，x∈ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 已知α，β∈ ，且 cos α＞ sin β，则α＋β与 的大小关系为 （　　） A. α＋β≥ B. α＋β＞ C. α＋β≤ D. α＋β＜ 解析： 　∵α，β∈ ，∴ －α∈ .∵ cos α＞ sin β，∴ sin ＞ sin β.∵y＝ sin x在 上是增函数，∴ －α＞β，即α＋β＜ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝lg （ sin x），则（　　） A. 函数f（x）是周期函数，最小正周期为2π B. 函数f（x）是奇函数 C. 函数f（x）有最大值，无最小值 D. 函数f（x）在（ 2kπ，2kπ＋ ）（k∈Z）上单调递增 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，根据对数函数的性质，对数中的真数大于0，即 sin x ＞0.解不等式 sin x＞0，得2kπ＜x＜（2k＋1）π，k∈Z. 因为y＝ sin x的 最小正周期是2π，且f（x）＝lg（ sin x）的定义域是2kπ＜x＜（2k＋1） π，k∈Z，所以f（x）是周期函数，最小正周期为2π，A正确.对于B，函 数f（x）＝lg（ sin x）的定义域为（2kπ，（2k＋1）π），k∈Z，定义域 不关于原点对称，所以f（x）不是奇函数，B错误.对于C，因为0＜ sin x≤1，当x∈（2kπ，（2k＋1）π），k∈Z时，令u＝ sin x，则y＝lg u在 （0，1]上单调递增，当 sin x＝1时，f（x）取得最大值lg 1＝0，无最小 值，C正确.对于D，令t＝ sin x，y＝lg t.y＝lg t在（0，＋∞）上单调递 增.t＝ sin x在（ 2kπ，2kπ＋ ）（k∈Z）上单调递增，且 sin x＞0在此 区间成立.根据复合函数“同增异减”的原则，函数f（x）＝lg（ sin x） 在（ 2kπ，2kπ＋ ）（k∈Z）上单调递增，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 函数y＝a sin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3. （1）求实数a的值； 解： ∵ymax＝1－a，∴a＜0， 故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4，∴y＝－4 sin x＋1. （2）求该函数的单调递增区间； 解：当 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z时，函数y＝－4 sin x＋1递增， ∴y＝－4 sin x＋1的递增区间为 （k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3）若x∈[－π，π]，求该函数的递增区间. 解： ∵x∈[－π，π]， （k∈Z）∩[－π，π]＝ ∪ . ∴当x∈[－π，π]时，y＝－4 sin x＋1的递增区间为 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 14. 函数y＝ 的定义域是 ，单 调递减区间是 ⁠. 解析：由－2 sin x≥0，得 sin x≤0，∴2kπ－π≤x≤2kπ（k∈Z），即函 数的定义域是[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）.∵y＝ 与y＝ sin x的单调 性相反，∴函数的单调递减区间为［2kπ－ ，2kπ］（k∈Z）. [2kπ－π，2kπ]（k∈Z） ［2kπ－ ，2kπ］（k∈Z） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 15. （2025·杭州期末）设a为常数，函数f（x）＝2 cos 2x－a sin x－1. （1）当a＝1时，求f（x）的值域； 解： 由题意f（x）＝2 cos 2x－a sin x－1＝－2 sin 2x－a sin x＋1， 令t＝ sin x，t∈[－1，1]， 令g（t）＝－2t2－at＋1， 当a＝1时，g（t）＝－2t2－t＋1，对称轴t＝－ ，所以g（－1）＝0， g（1）＝－2， g（ － ）＝－2×（ － ）2－（ － ）＋1＝ ，所以g（t）∈［－2， ］，故f（x）的值域为［－2， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）讨论f（x）在区间（0，π）上的零点的个数； 解： 对于方程－2t2－at＋1＝0，Δ＝a2＋8＞0，记g（t）＝－2t2－ at＋1的两零点为t1＜0，t2＞0， g（－1）＝－1＋a，g（0）＝1，g（1）＝－a－1， 当g（1）＞0，即a＜－1时，则t2＞1，f（x）无零点； 当g（1）＝0，即a＝－1时，则t2＝1，f（x）有1个零点； 当g（1）＜0，即a＞－1时，则t2＜1，f（x）有2个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3）设n为正整数，f（x）在区间（0，nπ）上恰有2 025个零点，求所 有可能的正整数n的值. 解： 由（1）（2）知，g（t）＝－2t2－at＋1有两个零点t1＜0，t2 ＞0，当t1＝－1，即a＝1时，得t2＝ ，f（x）在（0，2kπ）（k为正整 数）内零点个数为3k， 在（0，（2k＋1）π）（k为正整数）内零点个数为3k＋2，因为2 025＝ 3×675，所以n＝675×2＝1 350； 当t2＝1，即a＝－1时，t1＝－ ，f（x）在（0，2kπ）（k为正整数）内 零点个数为3k， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 在（0，（2k＋1）π）（k为正整数）内零点个数为3k＋1，因为2 025＝ 3×675，所以n＝675×2＝1 350； 当a＜－1时，则－1＜t1＜0，t2＞1，f（x）在（0，2kπ）和（0，（2k＋ 1）π）（k为正整数）内零点个数均为2k，此时没有满足题意的n； 当－1＜a＜1时，则－1＜t1＜0，0＜t2＜1，f（x）在（0，kπ）（k为正 整数）内零点个数均为2k，此时没有满足题意的n； 当a＞1，则t1＜－1，0＜t2＜1，f（x）在（0，2kπ）和（0，（2k－1） π）（k为正整数）内零点个数均为2k，此时没有满足题意的n. 综上，n的所有可能取值为1 350. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $