8.2.4 三角恒等变换的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦三角恒等变换的应用，涵盖半角公式及积化和差、和差化积公式。通过电脑输入法“半角”“全角”情境导入，引导学生从生活现象抽象出数学问题，在和差倍角公式基础上构建知识支架，形成完整知识脉络。 其亮点在于以情境激发兴趣，通过自我诊断、典例研析（含母题探究与通性通法）及分层课时作业，培养学生逻辑推理与数学运算核心素养。例如例1结合角的范围确定半角公式符号，例2用和差化积公式解决三角函数求值问题，帮助学生提升解题能力，也为教师提供系统教学资源，优化教学效果。

8.2.4　三角恒等变换的应用 1 1.了解半角公式及其推导过程，并能推导出积化和差与和差化积公式 （逻辑推理）. 2.灵活运用和、差、倍角公式、积化和差与和差化积公式进行相关计算及化简、证明（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全 角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节， 但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了 全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字 母、数字键、符号键都是半角字符. 【问题】　任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数 量关系？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点一　半角公式 ： sin ＝ 　± 　； ： cos ＝ 　± 　； ：tan ＝ 　± 　＝ 　 　＝ 　 　. ± 　 ± 　 ± 　 　 　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 　如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？ 提示：（1）如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个 符号； （2）若给出角α的具体范围（即某一区间）时，则先求角 所在范围，然 后再根据角 所在象限确定符号. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1） cos ＝ . （　×　） （2）存在α∈R，使得 cos ＝ cos α. （　√　） （3）对于任意α∈R， sin ＝ sin α都不成立. （　×　） （4）若α是第一象限角，则tan ＝ . （　√　） × √ × √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 若 cos α＝ ，α∈（0，π），则 cos ＝（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　由题意知 ∈ ，所以 cos ＞0， cos ＝ ＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知 sin θ＝－ ，3π＜θ＜ π，则tan 的值为（　　） A. 3 B. －3 C. D. － 解析： ∵3π＜θ＜ ， sin θ＝－ ，∴ cos θ＝－ ，tan ＝ ＝－3. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点二　积化和差、和差化积公式 1. 积化和差公式 cos α cos β＝ ⁠； sin α sin β＝ ⁠； sin α cos β＝ ⁠； cos α sin β＝ ⁠. [ cos （α＋β）＋ cos （α－β）]　 － [ cos （α＋β）－ cos （α－β）]　 [ sin （α＋β）＋ sin （α－β）]　 [ sin （α＋β）－ sin （α－β）]　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 和差化积公式 cos x＋ cos y＝ ⁠； cos x－ cos y＝ ⁠； sin x＋ sin y＝ ⁠； sin x－ sin y＝ ⁠. 2 cos cos 　 －2 sin sin 　 2 sin cos 　 2 cos sin 　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 　和差化积公式的适用条件是什么？ 提示：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成 积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成 同名函数后再运用公式. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 计算 sin 105° cos 75°＝（　　） A. B. C. － D. － 解析： 　 sin 105° cos 75°＝ （ sin 180°＋ sin 30°）＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. sin cos 化成和差的形式为（　　） A. sin （α＋β）＋ cos （α－β） B. cos （α＋β）＋ sin （α－β） C. sin （α＋β）＋ sin （α－β） D. cos （α＋β）＋ cos （α－β） √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　 sin cos ＝ ［ sin （ ＋α＋ ＋β）＋ sin （ ＋α － －β）］＝ ［ sin （ ＋α＋β）＋ sin （α－β）］＝ cos （α＋β）＋ sin （α－β）.故选B. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. cos 2α－ cos 3α化为积的形式为 ⁠. 解析： cos 2α－ cos 3α＝－2 sin sin ＝－2 sin sin ＝2 sin sin . 2 sin sin 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜应用半角公式求值 【例1】　已知 sin α＝－ ，π＜α＜ ，求 sin ， cos ，tan 的值. 解：∵π＜α＜ ， sin α＝－ ，∴ cos α＝－ ，且 ＜ ＜ ，∴ sin ＝ ＝ ， cos ＝ － ＝－ ，tan ＝ ＝－2. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【母题探究】 （变条件）本例条件变为“已知 cos α＝ ，α为第四象限角”，问题不变. 解：∵α为第四象限角，∴ 为第二、四象限角. 当 为第二象限角时， sin ＝ ＝ ， cos ＝－ ＝－ ， tan ＝－ ＝－ ； 当 为第四象限角时， sin ＝－ ＝－ ， cos ＝ ＝ ， tan ＝－ ＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则 求解时常常借助半角公式求解； （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据 角的范围，求出相应半角的范围. 注意：已知 cos α的值可求 的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. （1） sin ＝ 　​ 　； 解析： sin ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . （2）tan ＝ 　 －1　. 解析： tan ＝ ＝ ＝ －1. ​ －1 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，求tan 的值. 解：因为 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，依半角公式得 sin θ＝ ＝ ＝ ， cos θ＝－ ＝－ ＝－ ， 所以tan ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜积化和差、和差化积问题 【例2】　（1）已知α满足 cos 2α＝ ，则 cos · cos ＝ （　A　） A. B. C. － D. － 解析： 法一　∵ cos 2α＝ ，∴ cos cos （ －α）＝ cos cos ［ － ］＝ cos · sin ＝ sin ＝ cos 2α＝ . A 法二　 cos cos ＝ ［ cos （ ＋α＋ －α）＋ cos ］＝ cos 2α＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2） sin α＋ sin β＝ ， cos α＋ cos β＝ ，则tan（α＋β）的值为 　​ 　. 解析： 由 sin α＋ sin β＝ ，得2 sin cos ＝ ， ① 由 cos α＋ cos β＝ ，得2 cos cos ＝ ， ② 由①②两式相除得tan ＝ ， 则tan（α＋β）＝ ＝ ＝ . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 积化和差、和差化积公式应用时的注意事项 （1）关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消， 从而化为特殊角的三角函数； （2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　求下列各式的值： （1） cos ＋ cos －2 sin cos ； 解： cos ＋ cos －2 sin cos ＝2 cos · cos － cos ＝2 cos cos － cos ＝ cos － cos ＝0. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2） sin 138°－ cos 12°＋ sin 54°. 解： sin 138°－ cos 12°＋ sin 54°＝ sin 42°－ cos 12°＋ sin 54° ＝ sin 42°－ sin 78°＋ sin 54°＝－2 cos 60° sin 18°＋ sin 54°＝ sin 54°－ sin 18°＝2 cos 36° sin 18°＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜积化和差、和差化积公式的应用 【例3】　已知函数f（x）＝ sin cos . （1）求f（x）的值域； 解： 由积化和差公式可知 f（x）＝ ［ sin ＋ sin （x－ －x－ ）］ ＝ ＝ sin － ， ∵ sin ∈[－1，1]，∴f（x）的值域为[－1，0]. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若x∈[0，2π]，求f（x）的零点. 解： 令f（x）＝0，∴ sin ＝1， ∴2x－ ＝ ＋2kπ，k∈Z， ∴x＝ ＋kπ，k∈Z， ∵x∈[0，2π]，∴x＝ 或x＝ ， ∴f（x）的零点为 ， . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 函数y＝ cos cos 的最大值是 　​ 　. 解析：由题意知，y＝ ［ cos （2x＋π）＋ cos （－ ）］＝ ＝ － cos 2x.因为－1≤ cos 2x≤1，所以ymax＝ . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知在△ABC中， cos A＋ cos B＝ sin C，求证：△ABC是直角三角形. 证明：在△ABC中，A＋B＋C＝π， ∴ sin C＝ sin （A＋B）＝ cos A＋ cos B， 由和差化积公式，得 cos A＋ cos B＝2 cos cos ， ∴2 sin cos ＝2 cos cos . 显然 cos ≠0，∴ sin ＝ cos . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 两边平方，得 sin 2 ＝ cos 2 ， ∴ ＝ ， ∴ cos （A＋B）＋ cos （A－B）＝0， ∴2 cos A cos B＝0，∴ cos A＝0或 cos B＝0. ∵A，B为△ABC的内角，∴A，B中必有一个是直角. ∴△ABC是直角三角形. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 已知 cos α＝ ，α∈ ，则 sin ＝（　　） A. B. － C. D. 解析： 　∵α∈ ，∴ ∈ ， sin ＝ ＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知 sin 2α＝ ，则 cos 2 ＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　 cos 2 ＝ ＝ ＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知 cos α＝ ，α为第四象限角，则tan 的值为 　　​ 　　. 解析：因为α为第四象限角，所以 sin α＜0，所以 sin α＝－ ＝ － ＝－ ，所以tan ＝ ＝ ＝ . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 若 cos 2α－ cos 2β＝m，则 sin （α＋β） sin （α－β）＝ ⁠. 解析： sin （α＋β） sin （α－β）＝－ （ cos 2α－ cos 2β）＝－ [（2 cos 2α－1）－（2 cos 2β－1）]＝ cos 2β－ cos 2α＝－m. －m 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 证明：tan －tan ＝ . 证明：法一　tan －tan ＝ － ＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 法二　 ＝ ＝ ＝ ＝ － ＝tan －tan . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 若π＜α＜2π，则化简 的结果是（　　） A. sin B. cos C. － cos D. － sin 解析： 　∵π＜α＜2π，∴ ＜ ＜π，∴ cos ＜0，原式＝ ＝｜ cos ｜＝－ cos .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. cos 37.5°· cos 22.5°的值是（　　） A. ＋ B. C. D. 解析： 　原式＝ （ cos 60°＋ cos 15°）＝ （ ＋ ）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕下列命题是真命题的有（　　） A. ∃x∈R， sin 2 ＋ cos 2 ＝ B. ∃x，y∈R， sin （x－y）＝ sin x－ sin y C. ∀x∈[0，π]， ＝ sin x D. sin x＝ cos y⇒x＋y＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 因为 sin 2 ＋ cos 2 ＝1≠ ，所以A为假命题；当x＝y＝0 时， sin （x－y）＝ sin x－ sin y，所以B为真命题；因为 ＝ ＝｜ sin x｜＝ sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x ＝ ，y＝2π时， sin x＝ cos y，但x＋y≠ ，所以D为假命题.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知α－β＝ ，且 cos α＋ cos β＝ ，则 cos （α＋β）等于（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　∵ cos α＋ cos β＝ ，∴2 cos cos ＝ .∵α－β＝ ， ∴ cos ＝ ，∴ cos ＝ ，∴ cos （α＋β）＝2 cos 2 －1＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 在△ABC中， sin C＝ ，则此三角形的形状是（　　） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 解析： 　∵C＝π－（A＋B），∴ sin C＝ sin （A＋B）＝ ， ∴2 sin cos ＝ ，∴2 cos 2 ＝1，即 cos （A＋ B）＝0，∴A＋B＝ ，∴C＝ .故此三角形为直角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 若x＋y＝1，则 sin x＋ sin y与1的大小关系是（　　） A. sin x＋ sin y＞1 B. sin x＋ sin y＝1 C. sin x＋ sin y＜1 D. 不确定 解析： 　∵ sin x＋ sin y＝2 sin · cos ＝2 sin · cos ，又0＜ ＜ ＜ ，∴ sin ＜ sin .∴2 sin ＜2 sin ＝1.∴ sin x＋ sin y＝2 sin · cos ＜ cos ≤1.∴ sin x＋ sin y＜1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 已知 cos （ x－ ）＝－ ，则 cos x＋ cos （ x－ ）＝ ⁠. 解析：法一 cos x＋ cos （ x－ ）＝ cos x＋ cos x cos ＋ sin x sin ＝ cos x ＋ cos x＋ sin x＝ cos x＋ sin x＝ （ cos x＋ sin x）＝ cos （ x－ ）＝ ×（ － ）＝－1. 法二 cos x＋ cos （ x－ ）＝2 cos · cos ＝2 cos （ x － ） cos ＝2×（ － ）× ＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 求值： cos 47°－ cos 61°－ cos 11°＋ cos 25°－ sin 7°＝ ⁠. 解析：原式＝（ cos 47°－ cos 61°）－（ cos 11°－ cos 25°）－ sin 7° ＝2 sin 54° sin 7°－2 sin 18° sin 7°－ sin 7°＝2 sin 7°·（ sin 54°－ sin 18°）－ sin 7°＝2 sin 7°·2 cos 36° sin 18°－ sin 7°＝ sin 7°· － sin 7°＝ sin 7°· － sin 7°＝ sin 7°－ sin 7°＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 设a，b是非零实数，且满足 ＝tan ，则 ＝ ⁠. 解析：∵tan ＝ ＝tan ，tan θ＝ ，∴ ＋θ＝kπ＋ ， k∈Z，解得θ＝kπ＋ .∴tan θ＝tan ＝ .∴ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 已知函数f（x）＝－ ＋ ，x∈（0，π）. （1）将f（x）表示成 cos x的多项式； 解： f（x）＝ ＝ ＝2 cos cos ＝ cos 2x＋ cos x ＝2 cos 2x＋ cos x－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求f（x）的最小值. 解： ∵f（x）＝2 － 且－1＜ cos x＜1， ∴当 cos x＝－ 时，f（x）取最小值－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 在△ABC中，若B＝45°，则 cos A sin C的取值范围是（　　） A. [－1，1] B. C. D. 解析： 　在△ABC中，B＝45°，所以 cos A sin C＝ [ sin （A＋C）－ sin （A－C）]＝ [ sin B－ sin （A－C）]＝ － sin （A－C），因为 B＝45°，所以－135°＜A－C＜135°，所以－1≤ sin （A－C）≤1， 所以 ≤ cos A sin C≤ ，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 已知A＋B＝ ，那么 cos 2A＋ cos 2B的最大值是 　​ 　，最小值 是 ⁠. 解析：∵A＋B＝ ，∴ cos 2A＋ cos 2B＝ （1＋ cos 2A＋1＋ cos 2B） ＝1＋ （ cos 2A＋ cos 2B）＝1＋ cos （A＋B）· cos （A－B）＝1＋ cos cos （A－B）＝1－ cos （A－B），∴当 cos （A－B）＝－1 时，原式取得最大值 ；当 cos （A－B）＝1时，原式取得最小值 . ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 已知函数f（x）＝2 sin x cos x－2 cos · cos . （1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程； （1）函数f（x）的最小正周期T＝ ＝π， 由2x－ ＝kπ＋ ，k∈Z，得对称轴方程为x＝ ＋ ，k∈Z. 解：f（x）＝ sin 2x＋2 sin cos ＝ sin 2x＋ sin ＝ sin 2x－ cos 2x＝2 sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解：因为－ ≤x≤ ，所以－ ≤2x－ ≤ ， 所以当2x－ ＝ ，即x＝ 时，f（x）max＝2， 当2x－ ＝－ ，即x＝－ 时，f（x）min＝2× ＝－ ，所以f （x）的值域是[－ ，2]. （2）求函数f（x）在区间 上的值域. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 14. 〔多选〕下列各式与tan α相等的是（　　） A. B. C. · （α∈（0，π）） D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　A项， ＝ ＝ ＝｜tan α｜，不符合；B 项， ＝ ＝tan ，不符合；C项，因为α∈（0，π），所以原 式＝ · ＝ ＝tan α，符合；D项， ＝ ＝tan α，符合；故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 15. 在△ABC中，求证： （1）tan nA＋tan nB＋tan nC＝tan nAtan nBtan nC，其中n∈Z； 证明： ∵A＋B＝π－C， ∴tan（nA＋nB）＝tan（nπ－nC）＝－tan nC， ∴ ＝－tan nC，∴tan nA＋tan nB＝－tan nC＋tan nAtan nBtan nC， ∴tan nA＋tan nB＋tan nC＝tan nAtan nBtan nC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）tan tan ＋tan tan ＋tan tan 为定值. 证明： 原式＝tan ＋tan tan ＝tan tan ＋tan ·tan . ∵ ＋ ＝ ，∴ sin ＝ cos ， cos ＝ sin ，∴tan tan ＝ · ＝ · ＝1， ∴原式＝1－tan tan ＋tan tan ＝1（定值）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $