8.2.1 两角和与差的余弦-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“两角和与差的余弦”，通过电视发射塔高度的实际情境导入，以问题链引导学生从特殊角余弦值关系探究入手，衔接向量数量积知识，搭建从具体问题到公式推导的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理为主线，用向量推导两角差余弦公式并延伸至两角和公式，结合“余余正正符号相反”口诀强化记忆。典例研析中“拆角凑角”等通性通法培养数学思维，自我诊断与分层作业提升数学运算能力，助力学生深化公式理解，也为教师提供系统教学资源。

8.2.1　两角和与差的余弦 1 1.通过感悟利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用（逻辑推理）. 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式（逻辑推理）. 3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米，从点A观测电视发射塔的视角（∠CAD）约为45°，∠CAB＝15°，求这座电视发射塔的高度. 　　设电视发射塔的高度CD＝x.则AB＝AC· cos 15°＝60 cos 15°，BC ＝AC sin 15°＝60 sin 15°，BD＝AB·tan 60°＝60· cos 15°·tan 60°＝ 60 cos 15°，所以x＝BD－BC＝60 cos 15°－60 sin 15°，如果能 求出 cos 15°， sin 15°的值，就可求出电视发射塔的高度了. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【问题】　（1）30°＝60°－30°，那么 cos 30°＝ cos 60°－ cos 30° 成立吗？类似的15°＝45°－30°，那么 cos 15°＝ cos 45°－ cos 30° 成立吗？为什么？ （2）如何用α，β的正弦、余弦值来表示 cos （α－β）呢？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点　两角和与差的余弦 名称 公式 简记符号 使用条件 两角差 的余弦 cos （α－β）＝ ⁠ ⁠ Cα－β α，β∈R 两角和 的余弦 cos （α＋β）＝ ⁠ ⁠ Cα＋β α，β∈R cos α· cos β＋ sin α sin β　 cos α· cos β－ sin α sin β　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.（1）“余余 正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；（2） “符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符 号相反，即两角和的余弦展开后两项之间用“－”，两角差的余弦展开后 两项之间用“＋”. 两角和与差的余弦公式的结构特征 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1） cos （60°－30°）＝ cos 60°－ cos 30°. （　×　） （2）∃α，β∈R， cos （α－β）＝ cos α－ cos β成立. （　√　） （3）∀α，β∈R， cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β都成立. （　√　） × √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. cos 22° cos 38°－ sin 22° sin 38°的值为（　　） A. B. C. D. 解析： 　原式＝ cos （22°＋38°）＝ cos 60°＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. cos （－15°）的值是（　　） A. B. C. D. 解析： 　 cos （－15°）＝ cos 15°＝ cos （45°－30°）＝ cos 45° cos 30°＋ sin 45° sin 30°＝ × ＋ × ＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜给角求值问题 【例1】　求下列各式的值： （1） cos 345°； 解： cos 345°＝ cos （360°－15°）＝ cos 15°＝ cos （45°－ 30°）＝ cos 45° cos 30°＋ sin 45° sin 30°＝ . （2） cos 45° cos 15°＋ sin 45° sin 15°； 解： cos 45° cos 15°＋ sin 45° sin 15°＝ cos （45°－15°）＝ cos 30°＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3） sin 163° sin 223°＋ sin 253° sin 313°. 解： sin 163° sin 223°＋ sin 253° sin 313° ＝ sin （180°－17°） sin （180°＋43°）＋ sin （180°＋73°）· sin （360°－47°）＝－ sin 17° sin 43°＋ sin 73° sin 47° ＝－ sin 17° sin 43°＋ cos 17° cos 43° ＝ cos （17°＋43°）＝ cos 60°＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 含非特殊角的三角函数式求值的解法 （1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值； （2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差（和）的余弦公式 的形式，然后逆用公式求值. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　求值： （1） cos 105°＋ sin 195°； 解： cos 105°＋ sin 195°＝ cos 105°＋ sin （90°＋105°） ＝2 cos 105°＝2 cos （135°－30°）＝2（ cos 135°· cos 30°＋ sin 135° sin 30°）＝2×（ － × ＋ × ）＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2） cos （x＋27°） cos （18°－x）－ sin （x＋27°）· sin （18°－x）. 解： cos （x＋27°） cos （18°－x）－ sin （x＋27°）· sin （18°－x）＝ cos [（x＋27°）＋（18°－x）]＝ cos 45°＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜给值（式）求值 【例2】　（1）已知α∈ ，β是第三象限角， sin α＝ ， cos β＝－ .求 cos （α＋β）的值； 解：∵α∈ ， sin α＝ ， ∴ cos α＝－ ＝－ ＝－ . ∵β是第三象限角， cos β＝－ ， ∴ sin β＝－ ＝－ ＝－ ， ∴ cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ × － × ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）α，β为锐角， cos （α＋β）＝ ， cos （2α＋β）＝ ，求 cos α的值. 解： ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵ cos （α＋β）＝ ，∴0＜α＋β＜ ， 又∵ cos （2α＋β）＝ ，∴0＜2α＋β＜ ， ∴ sin （α＋β）＝ ， sin （2α＋β）＝ ， ∴ cos α＝ cos [（2α＋β）－（α＋β）] ＝ cos （2α＋β）· cos （α＋β）＋ sin （2α＋β）· sin （α＋β） ＝ × ＋ × ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 给值求值的解题步骤 （1）找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数 值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异； （2）拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变 换有： α＝（α＋β）－β，α＝β－（β－α），α＝（2α－β）－（α－β）， α＝ [（α＋β）＋（α－β）]，α＝ [（β＋α）－（β－α）]等； （3）求解.结合公式Cα±β求解. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知 sin （ ＋α）＝ ， ＜α＜ ，则 cos α的值是（　　） A. B. C. D. 解析： 　∵ ＜α＜ ，∴ ＜ ＋α＜π.∴ cos （ ＋α）＝－ ＝－ .∴ cos α＝ cos ［（ ＋α）－ ］＝ cos （ ＋ α） cos ＋ sin （ ＋α） sin ＝－ × ＋ × ＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知α，β∈（ ，π）， sin （α＋β）＝－ ， sin （ β－ ）＝ ，求 cos （ α＋ ）的值. 解：由条件，得 ＜α＋β＜2π， ＜β－ ＜ ，∴ cos （α＋β）＝ ， cos （ β－ ）＝－ ， ∴ cos （ α＋ ）＝ cos ［（α＋β）－（ β－ ）］＝ cos （α＋β）· cos （ β － ）＋ sin （α＋β） sin （ β－ ）＝ ×（ － ）＋（ － ）× ＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜已知三角函数值求角 【例3】　已知α，β均为锐角，且 cos α＝ ， cos β＝ ，求α－β的值. 解：∵α，β均为锐角， cos α＝ ， cos β＝ ， ∴ sin α＝ ， sin β＝ ，∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ .又 sin α＜ sin β，∴0＜α＜β＜ ，∴－ ＜α－β ＜0.故α－β＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【母题探究】 1. （变条件）本例中条件变为“ cos α＝ ， cos β＝－ ，2π＜α＜3π，0 ＜β＜π”，问题不变. 解：因为 cos α＝ ，且2π＜α＜3π， sin 2α＋ cos 2α＝1，所以 sin α＝ ； 因为 cos β＝－ ，且0＜β＜π， sin 2β＋ cos 2β＝1，所以 sin β＝ . 所以 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ ， 因为 cos α＝ ＞0，所以2π＜α＜ π，因为 cos β＝－ ，所以 ＜β＜π， 即－π＜－β＜－ ，所以π＜α－β＜2π，所以α－β＝ π. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. （变条件）本例中条件变为“a＝（ cos α， sin β），b＝（ cos β， sin α），0＜β＜α＜ 且a·b＝ ”，问题不变. 解：a·b＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ cos （α－β）＝ ，又0＜β＜α＜ ， 所以0＜α－β＜ ，故α－β＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 已知三角函数值求角的解题步骤 （1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围； （2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调 的三角函数； （3）结合三角函数值及角的范围求角. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　已知 sin α＋ sin β＝ ， cos α＋ cos β＝ ，0＜α＜β＜π，求α－β的值. 解：因为（ sin α＋ sin β）2＝ ，（ cos α＋ cos β）2＝ ，以上两式 展开两边分别相加得2＋2 cos （α－β）＝1，所以 cos （α－β）＝－ .因为 0＜α＜β＜π，所以－π＜α－β＜0，所以α－β＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 下列式子中，正确的个数为（　　） ① cos （α－β）＝ cos α－ cos β；② cos ＝ sin α； ③ cos （α－β）＝ cos α cos β－ sin α sin β. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 解析： 由 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β知①③错误， cos ＝－ sin α，故②错误，故选A. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 计算 cos 8° cos 38°＋ sin 8° sin 38°＝（　　） A. B. C. D. － 解析： 逆用两角差的余弦公式，得 cos 8° cos 38°＋ sin 8° sin 38° ＝ cos （8°－38°）＝ cos （－30°） ＝ cos 30°＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕已知 sin α＝ ， sin （α－β）＝－ ，α，β均为锐角，则 （　　） A. cos （α－β）＝－ B. cos （α－β）＝ C. cos α＝ D. β＝ √ √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　因为α，β均为锐角，所以0＜α＜ ，0＜β＜ ，所以－ ＜α －β＜ ，又 sin （α－β）＝－ ，所以 cos （α－β）＝ ＝ ，故A错误，B正确；又 sin α＝ ，所以 cos α ＝ ＝ ，所以C正确；因为 cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）＝ × ＋ ×（ － ）＝ ＝ ，所以β＝ ，故D正确. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知 cos ＝ cos α，则tan α＝ 　　​ 　　. 解析：∵ cos ＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ cos α＋ sin α＝ cos α，∴ sin α＝ cos α，∴ ＝tan α＝ . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 设α，β都是锐角，且 cos α＝ ， sin （α＋β）＝ ，求 cos β的值. 解：因为α，β都是锐角且 cos α＝ ＜ ， 所以 ＜α＜ ，0＜β＜ ，所以 ＜α＋β＜π， 又 sin （α＋β）＝ ＜ ，所以 ＜α＋β＜π， 所以 cos （α＋β）＝－ ＝－ ， sin α＝ ＝ ， 所以 cos β＝ cos [（α＋β）－α] ＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α ＝－ × ＋ × ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. cos 80° cos 35°＋ sin 80° cos 55°＝（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　原式＝ cos 80° cos 35°＋ sin 80° sin 35°＝ cos （80°－ 35°）＝ cos 45°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知 sin α＝ ，α∈（ ，π），则下列结论不正确的是（　　） A. cos α＝－ B. tan α＝－ C. cos （ α＋ ）＝－ D. cos （ α－ ）＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　因为 sin α＝ ，α∈（ ，π），所以 cos α＝－ ＝－ ，tan α＝ ＝ ＝－ ，所以 cos （ α＋ ）＝－ × － × ＝－ ， cos （ α－ ）＝－ × ＋ × ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕下列说法中，正确的是（　　） A. 存在α，β的值，使 cos （α＋β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β B. 不存在无穷多个α，β的值，使 cos （α＋β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β C. 对于任意的α，β，都有 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β D. 不存在α，β的值，使 cos （α＋β）≠ cos α cos β－ sin α sin β √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，令α＝β＝0，则 cos （α＋β）＝1， cos α cos β＋ sin α sin β＝1，此时 cos （α＋β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β，故A正确；对于 B，令α＝β＝2kπ（k∈Z）， cos （α＋β）＝1， cos α cos β＋ sin α sin β＝ 1，此时 cos （α＋β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β，故B错误；对于C，由两 角差的余弦公式可知，对于任意的α和β， cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β，故C正确；对于D，不存在α，β的值，使 cos （α＋β）≠ cos α cos β－ sin α sin β，若存在α和β，则与两角和的余弦公式矛盾，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知 cos ＝ ，则 cos x＋ cos ＝（　　） A. －1 B. 1 C. D. 解析： 　∵ cos ＝ ，∴ cos x＋ cos （x－ ）＝ cos x＋ cos x ＋ sin x＝ （ cos x＋ sin x）＝ cos ＝ × ＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 若 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝ ，则tan α·tan β＝（　　） A. 2 B. C. －2 D. － 解析： 由 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝ 可得 则 sin α sin β＝ ， cos α cos β＝ .故tan αtan β ＝ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 〔多选〕已知α，β，γ∈ ， sin α＋ sin γ＝ sin β， cos β＋ cos γ＝ cos α，则下列说法正确的是（　　） A. cos （β－α）＝ B. cos （β－α）＝－ C. β－α＝ D. β－α＝－ 解析： 　由已知，得 sin γ＝ sin β－ sin α， cos γ＝ cos α－ cos β.两式分 别平方相加，得（ sin β－ sin α）2＋（ cos α－ cos β）2＝1，∴－2 cos （β －α）＝－1，∴ cos （β－α）＝ ，∴A正确，B错误；∵α，β，γ∈ ，∴ sin γ＝ sin β－ sin α＞0，∴β＞α，∴β－α＝ ，∴C正确，D错误. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. cos （－40°） cos 20°－ sin （－40°） sin （－20°）＝ ⁠. 解析：原式＝ cos （－40°）· cos （－20°）－ sin （－40°）· sin （－ 20°）＝ cos [－40°＋（－20°）]＝ cos （－60°）＝ cos 60°＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 已知α∈ ，且 cos ＝－ ，则 sin （α＋ ） ＝ 　　​ 　　， cos α＝ 　　​ 　　. 解析：∵α∈ ，∴α＋ ∈ ，∴ sin （α＋ ）＝ ＝ ，∴ cos α＝ cos ［（α＋ ）－ ］＝ cos cos ＋ sin sin ＝ × ＋ × ＝ . ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 已知 cos （ β－ ）＝ ， sin （α＋β）＝ ，其中0＜α＜ ＜β＜π.则 cos （ α＋ ）的值为 　　​ 　　. 解析：∵0＜α＜ ＜β＜π，∴ ＜β－ ＜ ， ＜α＋β＜ .∵ cos （ β－ ）＝ ， sin （α＋β）＝ ，∴ sin （ β－ ）＝ ， cos （α＋β）＝－ ，∴ cos （ α＋ ）＝ cos ［α＋β－（ β－ ）］＝ cos （α＋β） cos （ β － ）＋ sin （α＋β） sin （ β－ ）＝－ × ＋ × ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 已知函数f（x）＝ cos ，x∈R. （1）求f 的值； 解： f ＝ cos ＝ cos ＝ × ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若 cos θ＝ ，θ∈ ，求f . 解： ∵ cos θ＝ ，θ∈ ， ∴ sin θ＜0，∴ sin θ＝－ ＝－ ＝－ . ∴f ＝ cos ＝ cos （θ－ ）＝ ＝ （ cos θ× ＋ sin θ× ）＝ cos θ＋ sin θ＝ － ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 〔多选〕满足 cos α cos β＝ － sin α sin β的一组α，β的值是（　　） A. α＝ π，β＝ π B. α＝ ，β＝ C. α＝ ，β＝ D. α＝ ，β＝ 解析： 由条件 cos α cos β＝ － sin α sin β得 cos α cos β＋ sin α sin β ＝ ，即 cos （α－β）＝ ， α＝ ，β＝ 满足题意，α＝ ，β＝ 也满 足题意，故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝－ ， ＜α＋β＜2π， ＜α－ β＜π，则 cos 2α＝ ⁠. 解析：因为 cos （α＋β）＝ ， ＜α＋β＜2π，所以 sin （α＋β）＝－ ； 因为 cos （α－β）＝－ ， ＜α－β＜π，所以 sin （α－β）＝ ，所以 cos 2α＝ cos [（α＋β）＋（α－β）]＝ cos （α＋β） cos （α－β）－ sin （α＋ β） sin （α－β）＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 在平面直角坐标系中，已知角α，β的顶点都在坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，角α的终边上有一点A，坐标为（1，－1）. （1）求 cos 的值； 解： 角α终边上一点A（1，－1），根据三角函数定义：r＝ ＝ ， ∴ sin α＝ ＝－ ， cos α＝ ＝ ， cos ＝ cos α cos － sin α sin ＝ × ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若角β满足下列三个条件之一. ①锐角β满足tan β＝2；②锐角β的终边在直线y＝2x上；③角β的终边与 π的终边相同.请从上述三个条件中任选一个，你的选择是 　　　　， 求 cos （α－β）的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解： 若选择①，∵tan β＝ ＝2，∴ sin β＝2 cos β， 又∵ sin 2β＋ cos 2β＝1， 即（2 cos β）2＋ cos 2β＝1，即5 cos 2β＝1， cos 2β＝ ， 又∵β为锐角，∴ cos β＝ ， sin β＝ ＝ ＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 ∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝－ . 若选择②，∵锐角β的终边在直线y＝2x上； 即角β的终边在第一象限，不妨在直线上取一点B（1，2），根据三角函数 的定义得r＝ ＝ ， sin β＝ ＝ ， cos β＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 ∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝－ . 若选择③，∵角β的终边与 π的终边相同， 又∵ π＝ π＝336×2π＋ π， 即 π与 终边相同，∴β与 终边相同， ∴ sin β＝ sin ＝－ sin ＝－ ， cos β＝ cos ＝－ cos ＝－ ， ∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 14. 若 sin α＋ sin β＋ sin γ＝0， cos α＋ cos β＋ cos γ＝0，且0≤α＜β＜γ＜ 2π，则β－α＝ ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析：∵ cos α＋ cos β＋ cos γ＝ sin α＋ sin β＋ sin γ＝0，∴ cos γ＝－ cos α － cos β， sin γ＝－ sin α－ sin β.∵ sin 2γ＋ cos 2γ＝1，∴（ cos α＋ cos β） 2＋（ sin α＋ sin β）2＝1，整理得2＋2（ cos α cos β＋ sin α sin β）＝1，即 cos α cos β＋ sin α sin β＝－ ，∴ cos （β－α）＝－ .∵0≤α＜β＜2π， ∴0＜β－α＜2π，∴β－α＝ 或 ①.同理可得 cos （γ－β）＝－ ，解得γ －β＝ 或 ②. cos （γ－α）＝－ ，解得γ－α＝ 或 ③.∵0≤α＜β＜ γ＜2π，∴由①②③可知β－α＝ ，γ－β＝ ，γ－α＝ .故β－α的值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 15. 如图，设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两点，O 为坐标原点，∠AOP＝ ，∠AOQ＝α，α∈ . （1）若Q ，求 cos 的值； 解： 因为Q ，∠AOQ＝α，所以 sin α＝ ， cos α＝ ， 则 cos ＝ cos α· ＋ sin α· ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）设函数f（α）＝ · ，求f（α）的值域. 解： 由题意得Q（ cos α， sin α），∠AOP＝ ， 则P ，所以 · ＝ cos α＋ sin α，即函数f （α）＝ cos α＋ sin α＝ cos . 由α∈ ，得α－ ∈ ， 所以f（α）∈ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $