8.2.2两角和与差的正弦课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8.2 三角恒等变换 8.2.2 两角和与差的正弦 新授课 1. 理解两角和与差正弦的证明； 2. 熟练运用两角和与差正弦公式 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 1.余弦差角公式：cos(a-b)==cosa cosb + sina sinb 余弦和角公式：cos(a+b) = cosa cosb - sina sinb 2.诱导公式 复习导入 问题1：思考如何从余弦的和差公式推导出正弦的和差公式？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 探索新知1.两角和的正弦： 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 1：两角和的正弦公式 记作 S(α＋β) 问题2：思考正弦差角公式如何推导？ sin(+)= sincos+cossin 新课讲授 学习目标 课堂总结 合作探究 知识点2 ：两角差的正公式 记作S(α－β) sin(-)= sincos-cossin 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：分别求sin15o 和 sin75º的值 ? 典例剖析 新课讲授 学习目标 课堂总结 特别注意公式特征 (1)公式中的α，β是任意角; (2)公式两边正负号相同. (3)正用——拆角；逆用——合角 (4) 和角、差角与单角是相对的： 2α＝(α＋β)＋(α－β)， 2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β， β＝(α＋β)－α等 新课讲授 学习目标 课堂总结 题型一：公式的正用和逆用 例2：计算 (1) cos285ocos15o-sin255osin15o (2) sin7o cos37o+sin83 ocos307o - (3) sin47o -sin17 ocos30o cos17o - 新课讲授 学习目标 课堂总结 题型二：给值求值 例3. （1） 已知sinθ=, θ∈(π),求sin(θ+) 新课讲授 学习目标 课堂总结 （2）已知sin(θ-)=θ∈(),求sinθ的值 新课讲授 学习目标 课堂总结 辅助角公式推导 asinx+bcosx=(asinx+bcosx ) =sinx+cosx (其中令cosφ=, sinφ= ) 则 asinx+bcosx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin(x+φ) 另外可利用tanφ=求出特殊角φ 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点3 ： 辅助角公式：asinx+bcosx=sin(x+φ) （另外可利用tanφ=求出特殊角φ） 新课讲授 学习目标 课堂总结 常见辅助角应用 ① sinx+cosx= ② sinx+cosx= sinx+cosx= 新课讲授 学习目标 课堂总结 常见辅助角应用 ① sinx+cosx= sin(x+) ② sinx+cosx= 2sin(x+) sinx+cosx= 2sin(x+) 新课讲授 学习目标 课堂总结 题型五　辅助角公式的应用 例5　已知f(x)＝sin（x-）＋cos（x-）. (1)求f(x)的最大值及相应x的取值集合； (2)若x∈(-, )，求f(x)的取值范围． 新课讲授 学习目标 课堂总结 新课讲授 学习目标 课堂总结 课后作业 《课时作业》P145-146页 新课讲授 学习目标 课堂总结 和角的正弦公式 sin(α+β) =sinαcosβ + cosαsinβ 差角的正弦公式 sin(α-β) = sinαcosβ－ cosαsinβ 本节课重点 辅助角公式：asinx+bcosx=sin(x+φ) （另外可利用tanφ= 求出特殊角φ 本节课难点：实际应用中凑角变形 2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等 新课讲授 课堂总结 学习目标 解　∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，∴θ－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))， 又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(7\r(2),10)， ∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))＝eq \f(\r(2),10)， ∴sinθ＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))coseq \f(π,4)＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))sineq \f(π,4)＝eq \f(7\r(2),10)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),10)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(4,5). 解　(1)f(x)＝eq \f(\r(2),2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋\f(\r(3),2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))))＝eq \f(\r(2),2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋sin\f(π,3)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))))) ＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12))). 当x＋eq \f(π,12)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即x＝eq \f(5π,12)＋2kπ，k∈Z时，f(x)max＝eq \f(\r(2),2)， 此时x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5π,12)＋2kπ，k∈Z)))). $$