8.1.2 向量数量积的运算律-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的运算律，通过“没有规矩不成方圆”的生活情境导入，衔接数量积定义，以运算律表格、重要公式及诊断题搭建学习支架，为后续运算和几何证明奠定基础。 其亮点在于情境化导入培养数学眼光，题型分类与通性通法总结发展数学思维，如几何证明题用向量语言表达位置关系。例3证明垂心体现逻辑推理，分层作业满足不同需求，帮助学生提升运算能力，为教师提供系统教学资源。

8.1.2　向量数量积的运算律 1 1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律（逻辑推理）. 2.能利用运算律进行向量数量积的运算（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可 为每个学生创造一个良好的学习生活环境……世间事物都要遵循一定的规 律和法则才能生存. 【问题】　向量数量积的运算又遵循哪些“规律”和“法则”呢？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点　向量数量积的运算律 1. 已知向量a，b，c与实数λ，则 交换律 a·b＝ ⁠ 数乘向量的数量积 （λa）·b＝a·（λb）＝ ⁠ 分配律 （a＋b）·c＝ ⁠ 2. 重要公式 平方差公式 （a＋b）（a－b）＝a2－b2 完全平方公式 （a±b）2＝a2±2a·b＋b2 b·a　 λ（a·b）　 a·c＋b·c　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 式子｜a｜2－｜b｜2＝（a＋b）·（a－b），正确吗？ 提示：正确. 2. “若a·b＝a·c，则b＝c”成立吗？为什么？ 提示：不成立，如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等. 3. 向量数量积满足乘法结合律吗？ 提示：向量数量积不满足乘法结合律：一般地，向量数量积（a·b） c≠a（b·c），这是由于a·b，b·c都是实数，（a·b）c表示与c方向相同 或相反的向量，a（b·c）表示与a方向相同或相反的向量，而a与c不一 定共线. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）（a·b）·c＝a·（b·c）. （　×　） （2）（a·b）2＝a2·b2. （　×　） （3）a·[b（a·c）－c（a·b）]＝0. （　√　） × × √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知｜a｜＝｜b｜＝2，a·b＝2，则｜a－b｜＝（　　） A. 1 B. 解析： 　｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×2＋4＝4，则｜a－b｜＝2. C. 2 D. 或2 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜， cos ＜m，n＞＝ ，若 n⊥（tm＋n），则实数t的值为（　　） A. 4 B. －4 C. D. － 解析： 　由题意知， cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝ ，所以 m·n＝ ｜n｜2＝ n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以tm·n＋n2＝0，即 tn2＋n2＝0，所以t＝－4. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜平面向量数量积的运算 【例1】　（1）已知｜a｜＝4，｜b｜＝7，且向量a与b的夹角为 120°，求（2a＋3b）·（3a－2b）； 解： （2a＋3b）·（3a－2b） ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2 ＝6｜a｜2＋5a·b－6｜b｜2 ＝6×42＋5×4×7· cos 120°－6×72＝－268. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E是CD 的中点，求 · 的值. 解： · ＝ ·（ － ）＝ － － · ＝1－ ×4－ ×2×1× ＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 求两向量的数量积的两种常见题型 （1）类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照向量运算律展 开即可求解； （2）在平面图形中求两向量的数量积，一般先用已知向量线性表示出待 求数量积的两个向量，然后根据运算律或运算公式求解. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知向量a，b满足（a－2b）·（a＋b）＝3，且｜a｜＝2，｜b｜＝ 1，则a与b的夹角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析： 由（a－2b）·（a＋b）＝3，可得a2＋a·b－2b·a－2b2＝3， 即a2－a·b－2b2＝3，又｜a｜＝2，｜b｜＝1，所以22－a·b－2×12＝ 3，解得a·b＝－1，所以 cos ＜a，b＞＝ ＝－ ，又0°≤＜a， b＞≤180°，所以＜a，b＞＝120°，所以a与b的夹角为120°. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 如图所示，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝4，DC＝3，∠ABC＝ 90°，则（ － ）· ＝ ⁠. 28 解析： 因为在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝4，DC＝3，∠ABC＝ 90°，所以（ － ）· ＝ · － · ＝（ ＋ ）· － （ ＋ ）· ＝ ＋ · － · － · ＝ － · ＝42＋4×3＝28. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜向量的模 【例2】　（1）若向量a，b满足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝1， 则｜b｜＝ ⁠； 解析：由｜a－b｜＝5得（a－b）2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25， 结合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝3 . （2）如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB＝3， BC＝1，CD＝2，求AD的长. 3 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解：由向量的性质，知 ＝ ＋ ＋ ，其中 与 的夹角 为60°， 与 的夹角为30°， 与 的夹角为90°， 于是｜ ｜2＝｜ ＋ ＋ ｜2 ＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋2 · ＋2 · ＋2 · ＝9＋ 1＋4＋2×3×1× ＋2×1×2× ＋0＝17＋2 . 则AD的长为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 向量模的常见求法 　　在求向量的模时可直接运用公式｜a｜＝ ，但计算两向量的和与 差的长度时则用｜a±b｜＝ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 两个单位向量e1，e2满足｜e1＋2e2｜＝ ｜e1｜，则｜e1－e2｜ ＝ ⁠. 解析：因为两个单位向量e1，e2满足｜e1＋2e2｜＝ ｜e1｜，由｜e1＋ 2e2｜＝ ｜e1｜两边平方可得 ＋4e1·e2＋4 ＝3 ，即5＋4e1·e2＝ 3，解得e1·e2＝－ ，故｜e1－e2｜＝ ＝ ＝ ＝ . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知正方形ABCD的边长为2，点P满足 ＝ ＋ ，则｜ ｜ ＝ ⁠. 解析：由题意可得∠BAC＝＜ ， ＞＝45°，｜ ｜＝2，｜ ｜ ＝ ＝2 .因为 ＝ ＋ ，所以 ＝（ ＋ ）2＝ ｜ ｜2＋｜ ｜·｜ ｜ cos 45°＋｜ ｜2，所以 ＝ ×4＋ 2×2 × ＋（2 ）2＝13，故｜ ｜＝ . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜利用平面向量的数量积证明几何问题 【例3】　（1）点O是△ABC所在平面上的一点，且满足 · ＝ · ＝ · ，则点O是△ABC的（　　） A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心 解析： 　因为 · ＝ · ，所以 （ － ）＝ · ＝0，所以 ⊥ ，同理 ⊥ ， ⊥ ，所以O是△ABC的垂心. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求 证：AF⊥DE. 证明：设 ＝a， ＝b，则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0， 又 ＝ ＋ ＝－a＋ ， ＝ ＋ ＝b＋ ， 所以 · ＝ · ＝－ a2－ a·b＋ b2＝－ ｜a｜2＋ ｜ b｜2＝0. 故 ⊥ ，即AF⊥DE. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 利用向量法证明几何问题的技巧 （1）利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系、角度关系； （2）进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算； （3）将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平 行，向量的夹角与直线的夹角等. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　已知O为△ABC所在平面内一点，且｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2 ＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2.求证：点O是△ABC的垂心. 证明：设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝c－b， ＝c－a， ＝b－a. 由｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2， 得a2＋（c－b）2＝b2＋（a－c）2＝c2＋（b－a）2， 即a2＋c2＋b2－2c·b＝b2＋a2＋c2－2a·c＝c2＋b2＋a2－2a·b，整理得 c·b＝a· c＝b·a. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 ∴ · ＝（b－a）·c＝b·c－a·c＝0， · ＝（c－b）·a＝c·a －b·a＝0， · ＝（c－a）·b＝c·b－a·b＝0， ∴ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，即OC⊥AB，OA⊥BC， OB⊥AC， ∴点O是△ABC的垂心. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 已知a，b是非零向量，且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a 与b的夹角是（　　） A. B. C. D. 解析： 　由题意知a2＝2a·b，b2＝2a·b，所以｜a｜＝｜b｜，a·b＝ ｜a｜2，所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ ，即＜a，b＞＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，｜a｜＝2，｜c｜＝1，a·c＝ 1，则｜b｜＝（　　） A. 2 B. 7 C. D. 解析： 　因为a＋b＋c＝0，则a＋c＝－b，即（a＋c）2＝b2，计算 得a2＋c2＋2a·c＝b2.又因为｜a｜＝2，｜c｜＝1，a·c＝1，所以4＋1＋ 2＝｜b｜2，所以｜b｜＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知e1，e2是夹角为 的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2， 若a⊥b，则实数k的值为 ⁠. 解析：由a·b＝0得（e1－2e2）·（ke1＋e2）＝0，整理得k－2＋（1－ 2k） cos ＝0，解得k＝ . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 如图，已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB 上的一点，且AE＝2EB. 求证：AD⊥CE. 证明：设此等腰直角三角形的直角边长为a， 则 · ＝ · ＝ · ＋ · ＋ · ＋ · ＝－a2＋0＋a· a· ＋ · a· ＝－a2＋ a2＋ a2＝0.所以AD⊥CE. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知平面向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝4，且（a－2b）⊥a， 则｜a－b｜＝（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 解析： 　依题意，由（a－2b）⊥a，得（a－2b）·a＝a2－2a·b＝0， 则a·b＝ a2＝2，所以｜a－b｜＝ ＝ ＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 在△ABC中，∠BAC＝ ，AB＝2，AC＝3， ＝2 ，则 · ＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ，所以 · ＝ ·（ － ）＝ ×32－ ×22 ＋ · ＝ ＋ ×2×3 cos ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知向量｜a｜＝2｜b｜＝2，a与b的夹角为120°，则｜a＋2b｜＝ （　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 解析： 　因为向量｜a｜＝2｜b｜＝2，a与b的夹角为120°，则｜a＋ 2b｜2＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4｜a｜｜b｜· cos 120°＋4＝ 4.所以｜a＋2b｜＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 若O是△ABC所在平面内一点，且满足｜ － ｜＝｜ ＋ － 2 ｜，则△ABC的形状为（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 解析： 　 ＋ －2 ＝ － ＋ － ＝ ＋ ， － ＝ ＝ － ，于是｜ ＋ ｜＝｜ － ｜，所以｜ ＋ ｜2＝｜ － ｜2，即 · ＝0，从而AB⊥AC. 故△ABC为直角 三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下 列结论，其中正确的是（　　） A. a·c－b·c＝（a－b）·c B. （b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直 C. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　根据向量数量积的分配律知A正确；因为[（b·c）·a－ （c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－（c·a）·（b·c）＝0，所以 （b·c）·a－（c·a）·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以｜ a｜，｜b｜，｜a－b｜组成三角形三边，所以｜a｜－｜b｜＜｜a－ b｜成立，C正确；（3a＋2b）·（3a－2b）＝9a2－4b2＝9｜a｜2－4｜ b｜2，D正确；故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且｜a｜＝2，｜b｜＝2，｜ c｜＝6，则｜a＋b＋c｜＝（　　） A. 4 B. 10 C. 4或10 D. 2或 解析： 因为平面向量a，b，c两两所成的角相等，所以任意两个向量 的夹角为0或 .再由｜a｜＝2，｜b｜＝2，｜c｜＝6，可得①若任意两 个向量的夹角为0，则｜a＋b＋c｜＝2＋2＋6＝10. √ ②若任意两个向量的夹角为 ，则a·b＝2×2× cos ＝－2，a·c＝b·c ＝2×6× cos ＝－6，故｜a＋b＋c｜＝ ＝ ＝4.所以｜a＋b＋c｜＝4或10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 如图，在▱ABCD中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝3，∠DAB＝60°，则 · ＝ ⁠. 解析：因为 ＝ ＋ ， ＝ － ，所以 · ＝（ ＋ ）·（ － ）＝ － ＝9－16＝－7. －7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 已知向量a，b，其中｜a｜＝ ，｜b｜＝2，且（a－b）⊥a，则 向量a和b的夹角是 ，a·（a＋b）＝ ⁠. 解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为｜a｜＝ ，｜b｜＝2，且 （a－b）⊥a，所以（a－b）·a＝｜a｜2－a·b＝｜a｜2－｜a｜｜ b｜· cos θ＝3－2 · cos θ＝0，解得 cos θ＝ .又因为0≤θ≤π，所以θ＝ .则a·（a＋b）＝｜a｜2＋｜a｜｜b｜· cos θ＝3＋2 × ＝6. ​ 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 已知平面向量a，b的夹角为 ，且｜a｜＝ ，｜b｜＝2，在△ABC 中， ＝2a＋2b， ＝2a－6b，D为BC中点，则｜ ｜＝ ⁠. 解析：因为 ＝ （ ＋ ）＝ （2a＋2b＋2a－6b）＝2a－2b， 所以｜ ｜2＝4（a－b）2＝4（a2－2a·b＋b2）＝4×（3－2×2× × cos ＋4）＝4，则｜ ｜＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝ ，（a－b）·（2a＋b）＝2. （1）求｜a＋b｜； 解： 因为｜a｜＝2，｜b｜＝ ，所以（a－b）·（2a＋b）＝2a2 －a·b－b2＝8－a·b－7＝1－a·b＝2，解得a·b＝－1. 所以｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×（－1）＋7＝9， 所以｜a＋b｜＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求向量a与a＋b的夹角. 解： a·（a＋b）＝a2＋a·b＝4－1＝3. 设向量a与a＋b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ . 因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 向量｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝ ，且a＋b＋c＝0，则 cos ＜a－ c，b－c＞＝（　　） A. － B. － C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　因为｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝ ，且a＋b＋c＝0，所以 －c＝a＋b，所以c2＝a2＋b2＋2a·b，即2＝1＋1＋2a·b，解得a·b＝0， 又a－c＝2a＋b，b－c＝a＋2b，（a－c）·（b－c）＝（2a＋ b）·（a＋2b）＝2a2＋2b2＋5a·b＝2＋2＋0＝4，｜a－c｜＝ ＝ ＝ ，｜b－c｜＝ ＝ ＝ ，所以 cos ＜a－c，b－c＞＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 〔多选〕已知不共线的两个非零向量a，b，满足｜a＋b｜＝｜2a－ b｜，则（　　） A. ｜a｜＜｜2b｜ B. ｜a｜＞｜2b｜ C. ｜b｜＝｜a－b｜ D. ｜a｜＝｜a－b｜ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　设向量a，b的夹角为θ，由｜a＋b｜＝｜2a－b｜，得（a ＋b）2＝（2a－b）2，即｜a｜2＋2｜a｜｜b｜ cos θ＋｜b｜2＝4｜a｜ 2－4｜a｜｜b｜ cos θ＋｜b｜2，化简得｜a｜＝2｜b｜ cos θ.因为向 量a，b不共线，所以 cos θ∈（0，1），所以｜a｜＜｜2b｜，故A正 确，B错误；又｜a－b｜2＝｜a｜2－2｜a｜｜b｜ cos θ＋｜b｜2＝｜ a｜2－｜a｜2＋｜b｜2＝｜b｜2，所以｜a－b｜＝｜b｜，故C正确，D 错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，E，F分别为边AB， BC上的点，且AE＝EB，2BF＝FC. （1）用向量方法求证：CE⊥AF； 解： 证明：因为AE＝EB，所以 ＝ ＋ ＝ － ＋ . 又因为2BF＝FC，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ . 因为∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，所以 · ＝0， 所以 · ＝（ － ＋ ）·（ ＋ ）＝－ － · ＋ ＝0，即 · ＝0，得证. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求 cos ∠AFC. 解： 由题意 · ＝（ － － ）·（ － ）＝－ － · ＋ ＝ ， ｜ ｜＝｜－ － ｜＝ ＝ ＝ ， 由勾股定理可得｜ ｜＝BC＝ ＝ ， 所以 cos ∠AFC＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 14. 〔多选〕已知O为坐标原点，△ABC的三个顶点都在单位圆上，且 3 ＋4 ＋5 ＝0，则（　　） A. cos ＜ ， ＞＝ B. ⊥ C. △ABC为锐角三角形 D. 在 上的投影的数量为－ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由于△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，∴｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1.由3 ＋4 ＋5 ＝0，可得（3 ＋4 ）2＝ （－5 ）2，化为9 ＋16 ＋24 · ＝25 ，∴9＋16＋ 24 · ＝25，∴ · ＝0，∴ ⊥ ，故△OAB是等腰直角三角 形，B正确；由3 ＋4 ＋5 ＝0，可得5 ＝－3 －4 ， 5 · ＝－3 －4 · ＝－3，∴ · ＝－ ，故 cos ＜ ， ＞＝ ＝－ ，A错误；由5 ＝－3 －4 得 ＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 － ，∴ · ＝（ － ）·（ － ）＝（ － ）·（ － － ）＝－ ＋ ＝ ＞0， · ＝（ － ）·（ － ）＝（ － ）·（ － － ）＝ － ＝ ＞0， · ＝（ － ）·（ － ）＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ＋ ＝ ＞0，因此A，B，C均为锐角，故△ABC为锐角三角形，C正确；∵5 · ＝（－3 －4 ）·（ － ）＝3 －4 ＝－1，∴ · ＝－ ，∴ 在 上的投影的数量为 ＝ ＝－ ，D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 15. 在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，点E，F在BC边上 且 ＝λ ， ＝μ . （1）若λ＝ ，用 ， 表示 ，并求线段AE的长； 解： 在△ABC中，令 ＝a， ＝b，则 ＝ ＋ ＝a＋ （b－a）＝ a＋ b＝ ＋ . ｜a｜＝2，｜b｜＝1，a·b＝｜a｜｜b｜ cos 120°＝－1， 所以｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若λ＝ ，μ＝ ，求 cos ∠EAF的值； 解： 由 ＝ ， ＝ ，得 ＝ a＋ b， ＝ a＋ b， 因此 · ＝ （a＋b）· （a＋2b）＝ （a2＋2b2＋3a·b）＝ . 又｜ ｜＝ ＝ ＝ ， ｜ ｜＝ ＝ ＝ ， cos ∠EAF＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3）若 · ＝4，求 ＋ 的值. 解： ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ（ － ）＝（1－λ） ＋λ ＝（1－λ）a＋λb， ＝ ＋ ＝ ＋μ ＝ ＋μ（ － ）＝ （1－μ） ＋μ ＝（1－μ）a＋μb， 则 · ＝[（1－λ）a＋λb]·[（1－μ）a＋μb]＝4， 即（1－λ）（1－μ）a2＋[（1－λ）μ＋λ（1－μ）]a·b＋λμb2＝4，4（1－λ）（1－μ）－[（1－λ）μ＋λ（1－μ）]＋λμ＝4，化简得7λμ＝5λ＋5μ，所以 ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $